2017-2018学年江苏省淮安市涟水中学高一(上)期中数学试卷

2017-2018学年江苏省淮安市涟水中学高一（上）期中数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.
1．（5分）设全集U={1，3，5}，集合A={1，5}，则∁U A=．
2．（5分）已知幂函数的图象过点（2，），则幂函数的解析式f（x）=．3．（5分）函数y=+lg（4﹣x）的定义域为．
4．（5分）函数f（x）=lg（x+2）﹣3的图象恒过定点．
5．（5分）计算：=．
6．（5分）若0＜a＜1，b＜﹣1，则函数f（x）=a x+b的图象不经过第象限．
7．（5分）若函数f（x）=x2+ax﹣1在x∈[1，3]是单调递减函数，则实数a的取值范围是．
8．（5分）设，则a，b，c的大小关系是．（按从小到大的顺序）
9．（5分）已知方程lgx=3﹣x的解所在区间为（k，k+1）（k∈N*），则k=．10．（5分）已知集合A={﹣1，2}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则m的取值集合为．
11．（5分）已知指数函数y=a x（a＞0，a≠1）在区间[﹣1，1]上的最大值比最小值大1，则实数a的值为．
12．（5分）若不等式x2﹣4x﹣a≤0对x∈（0，1]有解，则a的取值范围是．13．（5分）对于给定的函数f（x）=2x﹣2﹣x，有下列四个结论：
①f（x）的图象关于原点对称；
②f（x）在R上是增函数；
③f（|x|）的图象关于y轴对称；
④f（|x|）的最小值为0；
其中正确的是（填写正确的序号）．
14．（5分）已知函数f（x）=，若函数y=2[f（x）]2+3mf（x）
+1有6个不同的零点，则实数m的取值范围是．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（14分）已知集合A={x|x＜﹣2或3＜x≤4}，B={x|x2﹣2x﹣15≤0}
求：（1）∁R A；
（2）A∩B；
（3）若C={x|x＞a}，且B∩C=B，求a的范围．
16．（14分）求解下列各式的值：
（1）
（2）．
17．（14分）已知函数
（1）求f[f（﹣2）]的值；
（2）求f（a2+1）（a∈R）的值；
（3）当﹣4≤x＜3时，求函数f（x）的值域．
18．（16分）某批发公司批发某商品，每件商品进价80元，批发价120元，该批发商为鼓励经销商批发，决定当一次批发量超过100个时，每多批发一个，批发的全部商品的单价就降低0.04元，但最低批发价不能低于102元．求下列问题：
（1）当一次订购量为多少个时，每件商品的实际批发价为102元？
（2）当一次订购量为x个，每件商品的实际批发价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；
（3）根据市场调查发现，经销商一次最大定购量为500个，则当经销商一次批发多少个零件时，该批发公司可获得最大利润．
19．（16分）已知函数（x∈R）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）①判断函数f（x）的奇偶性；②用定义判断函数f（x）的单调性；
（3）解不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0．
20．（16分）已知函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1（a为实常数）．
（1）若a=1，求f（x）的单调区间；
（2）若a＞0，设f（x）在区间[1，2]的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（3）设h（x）=，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．
2017-2018学年江苏省淮安市涟水中学高一（上）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.
1．（5分）设全集U={1，3，5}，集合A={1，5}，则∁U A={3} ．
【分析】根据补集的定义写出运算结果即可．
【解答】解：全集U={1，3，5}，集合A={1，5}，
则∁U A={3}．
故答案为：{3}．
【点评】本题考查了集合的定义与应用问题，是基础题．
2．（5分）已知幂函数的图象过点（2，），则幂函数的解析式f（x）=．【分析】用待定系数法，设出幂函数的解析式，求出α的值即可．
【解答】解：设幂函数的解析式为y=xα，（α∈R）；
∵函数的图象过点（2，），
∴2α=，
∴α=；
∴y=，
故答案为：．
【点评】本题考查了求幂函数的解析式的问题，解题时应用待定系数法，是容易题．
3．（5分）函数y=+lg（4﹣x）的定义域为{x|﹣2≤x＜4} ．
【分析】由即可求得函数y=+lg（4﹣x）的定义域．
【解答】解：依题意得，解得﹣2≤x＜4．
故函数y=+lg（4﹣x）的定义域为{x|﹣2≤x＜4}．
故答案为：{x|﹣2≤x＜4}．
【点评】本题考查对数函数的定义域，考查解不等式组的能力，属于基础题．
4．（5分）函数f（x）=lg（x+2）﹣3的图象恒过定点（﹣1，﹣3）．
【分析】由对数函数的性质可得f（﹣1）=﹣3，可得定点．
【解答】解：由对数的性质可得log a1=0，
∴令x+2=1可得x=﹣1，
∴f（﹣1）=log a（﹣1+2）﹣3=﹣3，
∴函数图象恒过定点（﹣1，﹣3），
故答案为：（﹣1，﹣3）．
【点评】本题考查对数函数恒过定点问题，由对数的性质可得log a1=0是解题的关键，属基础题．
5．（5分）计算：=8．
【分析】直接利用对数的运算性质化简求值．
【解答】解：=．
故答案为：8．
【点评】本题考查了对数的运算性质，关键是对公式的掌握，是基础题．
6．（5分）若0＜a＜1，b＜﹣1，则函数f（x）=a x+b的图象不经过第一象限．【分析】函数f（x）=a x（0＜a＜1）是指数函数，在R上单调递减，过定点（0，1），过一、二象限，函数f（x）=a x+b的图象由函数f（x）=a x的图象向下平移|b|个单位得到，与y轴相交于原点以下，可知图象不过第一象限．
【解答】解：函数f（x）=a x（0＜a＜1）的是减函数，图象过定点（0，1），在x 轴上方，过一、二象限，
函数f（x）=a x+b的图象由函数f（x）=a x的图象向下平移|b|个单位得到，
∵b＜﹣1，∴|b|＞1，∴函数f（x）=a x+b的图象与y轴交于负半轴，
如图，函数f（x）=a x+b的图象过二、三、四象限．
故答案为一．
【点评】本题考查指数函数的图象和性质，利用图象的平移得到新的图象，其单调性、形状不发生变化，结合图形，一目了然．
7．（5分）若函数f（x）=x2+ax﹣1在x∈[1，3]是单调递减函数，则实数a的取值范围是a≤﹣6．
【分析】先用配方法转化为f（x）=x2+ax﹣1=（x+）2﹣﹣1，得到其对称轴，再“函数f（x）=x2+ax﹣1在x∈[1，3]是单调递减函数
”，则有=﹣≥3求解．
【解答】解：∵f（x）=x2+ax﹣1=（x+）2﹣﹣1
∴其对称轴：x=﹣
∵函数f（x）=x2+ax﹣1在x∈[1，3]是单调递减函数
∴x=﹣≥3
∴a≤﹣6
故答案为：a≤﹣6
【点评】本题主要考查二次函数的单调性的应用，研究性要明确开口方向及对称轴，然后研究对称轴与区间的相对位置，属中档题．
8．（5分）设，则a，b，c的大小关系是b
＜a＜c．（按从小到大的顺序）
【分析】由0=log41＜a=log43＜log44=1，b=log0.34＜log0.31=0，c=0.3﹣2=＞1，能判断a，b，c的大小关系．
【解答】解：∵0=log41＜a=log43＜log44=1，
b=log0.34＜log0.31=0，
c=0.3﹣2=＞1，
∴b＜a＜c，
故答案为：b＜a＜c．
【点评】本题考查对数值、指数值大小的比较，是基础题，解题地要认真审题，注意指数函安息、对数函数性质的灵活运用．
9．（5分）已知方程lgx=3﹣x的解所在区间为（k，k+1）（k∈N*），则k=2．【分析】构造函数f（x）=lgx﹣3+x，利用f（2）=lg2﹣1＜0，f（3）=lg3＞0，可得方程lgx=3﹣x的解所在区间．
【解答】解：构造函数f（x）=lgx﹣3+x，则
f（2）=lg2﹣1＜0，f（3）=lg3＞0
∴方程lgx=3﹣x的解所在区间为（2，3）
∴k=2
故答案为：2
【点评】本题考查函数零点的判定定理，解题的关键是构造函数，利用函数零点的判定定理进行求解．
10．（5分）已知集合A={﹣1，2}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则m的取值集合
为．
【分析】当m=0时，B=∅，满足A∪B=A；当m≠0时，B={}，由A∪B=A，得B⊆A，从而B={﹣1}或B={2}，进而或=2．由此能求出m的取值集合．【解答】解：∵集合A={﹣1，2}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，
∴当m=0时，B=∅，满足A∪B=A；
当m≠0时，B={}，由A∪B=A，得B⊆A，
∴B={﹣1}或B={2}，∴或=2．
解得m=﹣1或m=．
∴m的取值集合为．
故答案为：．
【点评】本题考查实数的取值集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集、子集定义的合理运用．
11．（5分）已知指数函数y=a x（a＞0，a≠1）在区间[﹣1，1]上的最大值比最
小值大1，则实数a的值为．
【分析】分a＞1和0＜a＜1两种情况分别讨论y=a x在[﹣1，1]上的最大值和最小值，结合题意求解即可．
【解答】解：当a＞1时，y=a x在[﹣1，1]上单调递增，
∴当x=﹣1时，y取到最小值a﹣1，当x=1时，y取到最大值a，
∴a﹣a﹣1=1，
解得a=；
当0＜a＜1时，y=a x在[﹣1，1]上单调递减，
∴当x=﹣1时，y取到最大值a﹣1，当x=1时，y取到最小值a，
∴a﹣1﹣a=1，
解得a=；
故答案为：；
【点评】本题考查了指数函数y=a x的单调性，当a＞1时，y=a x在R上单调递增，当0＜a＜1时，y=a x在R上单调递减，同时考查了分类讨论数学思想及学生的运算能力
12．（5分）若不等式x2﹣4x﹣a≤0对x∈（0，1]有解，则a的取值范围是a
≥﹣3．
【分析】根据不等式有解，构造函数f（x）=x2﹣4x，x∈（0，1]，求f（x）的最小值，从而得出实数m的取值范围．
【解答】解：不等式x2﹣4x﹣a≤0对x∈（0，1]有解，
∴x2﹣4x≤a对x∈（0，1]有解，
令f（x）=x2﹣4x，x∈（0，1]，
∵f（x）的对称轴为x=2，
∴f（x）在（0，1]上单调递减，
∴x=1时取得最小值为﹣3；
∴实数m的取值范围是a≥﹣3．
故答案为：a≥﹣3．
【点评】本题考查了不等式有解的应用问题，也考查了求函数的最值应用问题，是基础题．
13．（5分）对于给定的函数f（x）=2x﹣2﹣x，有下列四个结论：
①f（x）的图象关于原点对称；
②f（x）在R上是增函数；
③f（|x|）的图象关于y轴对称；
④f（|x|）的最小值为0；
其中正确的是①②③④（填写正确的序号）．
【分析】根据函数f（x）=2x﹣2﹣x，运用定义判断奇偶性，转化为y=2x在R上是增函数，判断单调性，运用f（x）与f（|x|）关系判断
【解答】解：∵函数f（x）=2x﹣2﹣x，
∴f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，故①正确，
∵y=2x在R上是增函数，
∴y==2﹣x在R上是减函数，
∴函数f（x）=2x﹣2﹣x在R上是增函数，故②正确；
∵f（|﹣x|）=f（|x|）∴f（|x|）为偶函数，故③正确；
∵当x≥0时，f（|x|）=f（x），f（x）在R上是增函数
∴f（|x|）在（0，+∞）上递增，在（﹣∞，0）递减，
f（|x|）的最小值为f（0）=0，故④正确；
故答案为：①②③④
【点评】本题综合考察了函数的单调性，奇偶性，最大最小值问题，属于中档题．14．（5分）已知函数f（x）=，若函数y=2[f（x）]2+3mf（x）+1有6个不同的零点，则实数m的取值范围是m＜﹣．
【分析】先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题．结合函数f（x）的图象，从而确定m的取值．
【解答】解：令t=f（x），则原函数等价为y=2t2+3mt+1．
做出函数f（x）的图象如图，
图象可知
当t＜0时，函数t=f（x）有一个零点．
当t=0时，函数t=f（x）有三个零点．
当0＜t＜1时，函数t=f（x）有四个零点．
当t=1时，函数t=f（x）有三个零点．
当t＞1时，函数t=f（x）有两个零点．
要使关于x的函数y=2f2（x）+3mf（x）+1有6个不同的零点，
则函数y=2t2+3mt+1有两个根t1，t2，
且0＜t1＜1，t2＞1或t1=0，t2=1，
令g（t）=2t2+3mt+1，则由根的分布可得，
将t=1，代入得：m=﹣1，
此时g（t）=2t2﹣3t+1的另一个根为t=，不满足t1=0，t2=1，
若0＜t1＜1，t2＞1，则，
解得：m＜﹣，
故答案为：m＜﹣．
【点评】本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，换元是解决问题的关键，属中档题．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（14分）已知集合A={x|x＜﹣2或3＜x≤4}，B={x|x2﹣2x﹣15≤0}
求：（1）∁R A；
（2）A∩B；
（3）若C={x|x＞a}，且B∩C=B，求a的范围．
【分析】（1）由集合A={x|x＜﹣2或3＜x≤4}，能求出C R A．
（2）分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．
（3）由B={x|﹣3≤x≤5}，C={x|x＞a}，B⊆C，能求出a的范围．
【解答】解：（1）∵集合A={x|x＜﹣2或3＜x≤4}，
B={x|x2﹣2x﹣15≤0}={x|﹣3≤x≤5}，
∴C R A={x|﹣2≤x≤3或x＞4}．…（3分）
（2）∵A={x|x＜﹣2或3＜x≤4}，B={x|﹣3≤x≤5}…（6分）
∴A∩B={x|﹣3≤x＜﹣2或3＜x≤4}…（10分）
（3）∵B={x|﹣3≤x≤5}，C={x|x＞a}，
B⊆C，
∴a＜﹣3，
∴a的范围是（﹣∞，﹣3）．…（14分）
【点评】本题考查补集、交集的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、补集、子集定义的合理运用．
16．（14分）求解下列各式的值：
（1）
（2）．
【分析】（1）直接由分数指数幂的运算性质求解即可；
（2）直接由对数的运算性质求解即可．
【解答】解：（1）；
（2）=|lg3﹣2|+lg300
=2﹣lg3+lg3+2=4．
【点评】本题考查了有理指数幂的化简求值，考查了对数的运算性质，是基础题．17．（14分）已知函数
（1）求f[f（﹣2）]的值；
（2）求f（a2+1）（a∈R）的值；
（3）当﹣4≤x＜3时，求函数f（x）的值域．
【分析】（1）先求解f（﹣2）=5，在求f（5）=﹣21，即可得f[f（﹣2）]的值为﹣21；
（2）由a2+1≥1，可得f（a2+1）=4﹣（a2+1）2．
（3）对x的范围进行分段求解即可．
【解答】解：由函数
（1）∴f[f（﹣2）]=f（5）=4﹣52=﹣21．
（2）由a2+1≥1，∴f（a2+1）=4﹣（a2+1）2=﹣a4﹣2a2+3．
（3）①当﹣4≤x＜0时，∵f（x）=1﹣2x，
∴1＜f（x）≤9，
②当x=0时，f（0）=2，
③当0＜x＜3时，∵f（x）=4﹣x2，
∴﹣5＜x＜4，
综上所述﹣5＜f（x）≤9．
【点评】本题考查了函数的呆滞计算和分段函数值域的求解，属于基础题．
18．（16分）某批发公司批发某商品，每件商品进价80元，批发价120元，该批发商为鼓励经销商批发，决定当一次批发量超过100个时，每多批发一个，批发的全部商品的单价就降低0.04元，但最低批发价不能低于102元．求下列问题：
（1）当一次订购量为多少个时，每件商品的实际批发价为102元？
（2）当一次订购量为x个，每件商品的实际批发价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；
（3）根据市场调查发现，经销商一次最大定购量为500个，则当经销商一次批发多少个零件时，该批发公司可获得最大利润．
【分析】（1）设一次订购量为100+n（n∈N），求出批发价，建立等量关系可求出n的值；
（2）直接根据题目条件可知该批发价的函数是一分段函数，用分段函数表示出P=f（x）即可；
（3）当经销商一次批发个零件x时，该批发公司可获得利润为y，根据利润=（批发价﹣进价）×个数求出利润函数，然后根据分段函数的最值的求法求出所求．【解答】解：（1）设一次订购量为100+n（n∈N），
则批发价为120﹣0.04n，令120﹣0.04n=102，∴120﹣102=0.04n，∴n=450，
所以当一次订购量为550个时，每件商品的实际批发价为102元．…（5分）（2）由题意知…（10分）
（3）当经销商一次批发x个零件时，该批发公司可获得利润为y，根据题意知：
…（12分）
设f1（x）=40x，在x=100时，取得最大值为4000；
设f2（x）=﹣0.04x2+44x=﹣0.04（x﹣550）2+0.04×5502
所以当x=500时，f2（x）取最大值12000．…（15分）
答：当经销商一次批发500个零件时，该批发公司可获得最大利润．…（16分）【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及二次函数的性质，同时考查计算能力和建模能力，属于中档题．
19．（16分）已知函数（x∈R）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）①判断函数f（x）的奇偶性；②用定义判断函数f（x）的单调性；
（3）解不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0．
【分析】（1）先由原函数式反解出2x，再利用2x的取值范围建立关于y的不等关系，解不等式即可；
（2）分别利用函数奇偶性和单调性的定义求解即可，对于奇偶性的判断，只须考虑f（﹣x）与f（x）的关系即得；对于单调性的证明，先在定义域中任取两个实数x1，x2，且x1＜x2，再比较f（x1）﹣f（x2）即可；
（3）先依据函数y=f（x）在R上单调性化掉符号：“f”，将问题转化为关于m的整式不等式，再利用一元二次不等式的解法即可求得m的取值范围．
【解答】解：（1）∵，（2分）
又2x＞0，∴﹣1＜y＜1
∴函数f（x）的值域为（﹣1，1）（4分）
（2）证明：①∵，（6分）
∴函数f（x）为奇函数（7分）
②=
在定义域中任取两个实数x1，x2，且x1＜x2，（8分）
则（10分）
∵x1＜x2，∴0＜，
从而f（x1）﹣f（x2）＜0（11分）
∴函数f（x）在R上为单调增函数（12分）
（3）由（2）得函数f（x）为奇函数，在R上为单调增函数
∴f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0即f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m2），
∴f（1﹣m）＜f（m2﹣1），1﹣m＜m2﹣1（14分）
∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）（16分）
【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法、函数的值域等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．
20．（16分）已知函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1（a为实常数）．
（1）若a=1，求f（x）的单调区间；
（2）若a＞0，设f（x）在区间[1，2]的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（3）设h（x）=，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．
【分析】（1）a=1，f（x）=x2﹣|x|+1，对x分类讨论，通过配方，利用二次函数的单调性即可得出．
（2）由于a＞0，当x∈[1，2]时，f（x）=ax2﹣x+2a﹣1=a+2a﹣﹣1．对a分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．
（3）h（x）=ax+﹣1在区间[1，2]上任取x1、x2，可得h（x2）﹣h（x1）=
[ax1x2﹣（2a﹣1）]＞0，可得：ax1x2﹣（2a﹣1）＞0对任意x1、x2∈[1，2]，且x1＜x2都成立，即ax1x2＞2a﹣1．对a分类讨论即可得出．
【解答】解：（1）a=1，f（x）=x2﹣|x|+1=
=．
∴f（x）的单调增区间为（，+∞），（﹣，0）．
f（x）的单调减区间为（﹣∞，]，（0，）．
（2）由于a＞0，当x∈[1，2]时，f（x）=ax2﹣x+2a﹣1=a+2a﹣﹣1．
①若＜1，即a，则f（x）在[1，2]为增函数g（a）=f（2）=6a﹣3．
②若≤，即，g（a）=f（2）=6a﹣3．
③若≤2，即时，g（a）=f（1）=3a﹣2．
④若，即时，f（x）在[1，2]上是减函数：g（a）=f（1）=3a﹣2．
综上可得g（a）=．
（3）h（x）=ax+﹣1在区间[1，2]上任取x1、x2，
则h（x2）﹣h（x1）=ax2+﹣1﹣=[ax1x2﹣（2a﹣1）]
（*）
∵h（x）在[1，2]上是增函数，∴h（x2）﹣h（x1）＞0，
∴（*）可转化为ax1x2﹣（2a﹣1）＞0对任意x1、x2∈[1，2]，且x1＜x2都成立，即ax1x2＞2a﹣1．
①当a=0时，上式显然成立．
②a＞0，x1x2＞，由1＜x1x2＜4得≤1，解得0＜a≤1．
③a＜0，x1x2＜，由1＜x1x2＜4得，≥4，解得﹣a＜0．
所以实数a的取值范围是．
【点评】本题考查了函数的单调性、二次函数的单调性、不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．。