2020版高中数学 第二章 推理与证明 2.1.2 演绎推理练习(含解析)新人教A版选修2-2

2.1.2 演绎推理
课时过关·能力提升
基础巩固
1.由于正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数.以上推理()
A.结论正确
B.大前提不正确
C.小前提不正确
D.全不正确
解析:因为函数f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提不正确.故选C.
答案:C
2.下面几种推理过程是演绎推理的是()
A.两条直线平行,同旁内角互补,因为∠A和∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角,所以∠A+∠B=180°
B.我国某地质学家发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似,而中亚细亚有丰富的石油,由此,他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油
C.由6=3+3,8=3+5,10=3+7,12=5+7,14=7+7,……得出结论:一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和
D.在数列{a n}中,a1=1,a n=1
2(a a-1+1
a a-1
)(n≥2),由此归纳出{a n}的通项公式
解析:选项A中“两条直线平行,同旁内角互补”这是大前提,是真命题,该推理为演绎推理,选项B 为类比推理,选项C,D都是归纳推理.
答案:A
3.在三边不相等的三角形中,a为最大边,要想得到∠A为钝角的结论,三边a,b,c应满足的条件是()
B.a 2
=b 2
+c 2
C.a 2
>b 2
+c 2
D.a 2
≤b 2
+c 2
解析:由余弦定理的推论cos A =
a 2+a 2-a 2
2aa
,要使∠A 为钝角,当且仅当cos A<0,而2bc>0,∴b 2
+c 2
-a 2
<0.
∴a ,b ,c 应满足的条件是a 2>b 2+c 2.故选C.
答案:C
4.推理过程“大前提: ,小前提:四边形ABCD 是菱形,结论:四边形ABCD 的对角线互相垂直.”应补充的大前提是 . 答案:菱形的对角线互相垂直
5.已知a =
√5-12
,函数f (x )=a x
,若实数m ,n 满足f (m )>f (n ),则m ,n 的大小关系为 .
解析:因为当0<a<1时,函数f (x )=a x
为减函数,
大前提 a =
√5-1
2
∈(0,1), 小前提
所以函数f (x )=(√5-12)
a
为减函数. 结论
故由f (m )>f (n ),得m<n. 答案:m<n
6.命题“若空间两条直线a ,b 分别垂直于平面α,则a ∥b.” 学生小夏这样证明:
设直线a ,b 与平面α分别相交于A ,B 两点,连接AB ,
∵a ⊥α,b ⊥α,AB ⊂α,① ∴a ⊥AB ,b ⊥AB.② ∴a ∥b.③
这里的证明有两个推理,即:①⇒②和②⇒③.老师评改认为小夏的证明推理不正确,这两个推理中不正确的是 .
7.用三段论证明通项公式为a n=a1+(n-1)d的数列{a n}为等差数列.
分析:明确本题的大前提是等差数列的定义,而且要准确利用三段论的形式.
证明若数列{a n}满足a n+1-a n=d(常数),则数列{a n}为等差数列, 大前提通项公式为a n=a1+(n-1)d的数列{a n},满足a n+1-a n=a1+nd-a1-(n-1)d=d, 小前提所以通项公式为a n=a1+(n-1)d的数列{a n}为等差数列.结论
8.当a,b为正数时,求证:a+a
2
≥√aa.
证明一个实数的平方是非负数, 大前提
a+a
2−√aa是实数(√a
√2
√a
√2
)的平方, 小前提
所以a+a
2
−√aa是非负数.结论
即a+a
2
−√aa≥0,
所以a+a
2
≥√aa.
能力提升
1.因为指数函数y=a x(a>1)在R上单调递增,y=2|x|是指数函数,所以y=2|x|在R上单调递增.以上推理()
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.正确
解析:此推理形式正确,但是,函数y=2|x|不是指数函数,所以小前提错误,故选B.
答案:B
2.“因为对数函数y=log a x(a>0,a≠1)在区间(0,+∞)内单调递增(大前提),又因为
y=l og1
3a是对数函数(小前提),所以y=l og1
3
a在区间(0,+∞)内单调递增(结论).”下列说法正确的是
()
A.大前提错误导致结论错误
B.小前提错误导致结论错误
C.推理形式错误导致结论错误
D.大前提和小前提都错误导致结论错误
解析:此推理形式正确,但大前提是错误的(因为当0<a<1时,对数函数y=log a x是减函数),所以所得的结论是错误的,故选A.
答案:A
3.已知f(x)是定义在区间(0,+∞)内的非负可导函数,且满足xf'(x)+f(x)<0.对任意的正数a,b,若a<b,则必有()
A.bf(a)<af(b)
B.af(b)<bf(a)
C.af(a)<f(b)
D.bf(b)<f(a)
解析:构造函数F(x)=xf(x),
则F'(x)=xf'(x)+f(x).
由题设条件知F(x)=xf(x)在区间(0,+∞)内单调递减.
若a<b,则F(a)>F(b),即af(a)>bf(b).
又f(x)是定义在区间(0,+∞)内的非负可导函数,
所以bf(a)>af(a)>bf(b)>af(b).故选B.
答案:B
4.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线x=1
2
对称,
则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=.
解析:f(0)=0,f(1)=f(0)=0,f(2)=f(-1)=0,f(3)=f(-2)=0,f(4)=f(-3)=0,f(5)=f(-4)=0,则
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0.
答案:0
5.★设f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(a,b,c是两两不相等的常数),则a
a'(a)+a
a'(a)
+a
a'(a)
的值是
________________.
解析:∵f'(x )=(x-b )(x-c )+(x-a )(x-c )+(x-a )(x-b ),
∴f'(a )=(a-b )(a-c ), f'(b )=(b-a )(b-c ), f'(c )=(c-a )(c-b ),
∴a a '(a )+a a '(a )+a a '(a )=a (a -a )(a -a )+a (a -a )(a -a )+a
(a -a )(a -a )=a (a -a )-a (a -a )+a (a -a )
(a -a )(a -a )(a -a )
=
0. 答案:0
6.已知f (x )=a (1
2
a
-1+1
2
),求证:f (x )是偶函数. 证明f (x )=x ·
2a +1
2(2a -1)
,其定义域为{x|x ≠0}.
因为f (-x )=(-x )·
2-a +1
2(2-a -1)
=-x ·1+2a 2(1-2a )=x ·2a +1
2(2a -1)=a (x ),
所以f (x )为偶函数.
7.★如图,在四棱锥P-ABCD 中,AP ⊥平面PCD ,AD ∥BC ,AB=BC =1
2aa ,E ,F 分别为线段AD ,PC 的中
点.求证:
(1)AP ∥平面BEF ; (2)BE ⊥平面PAC.
证明(1)如图,设AC ∩BE=O ,连接OF ,EC.
因为E 为AD 的中点,AB=BC =1
2aa ,AD ∥BC , 所以AE ∥BC ,AE=AB=BC ,
所以四边形ABCE为菱形,
所以O为AC的中点.
又F为PC的中点,
所以在△PAC中,可得AP∥OF.
又OF⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,
所以AP∥平面BEF.
(2)由题意知ED∥BC,ED=BC.
所以四边形BCDE为平行四边形,
所以BE∥CD.
又AP⊥平面PCD,
所以AP⊥CD,所以AP⊥BE.
因为四边形ABCE为菱形,所以BE⊥AC.
又AP∩AC=A,AP,AC⊂平面PAC,
所以BE⊥平面PAC.
8.★设函数f(x)=x3+ax2-a2x+1,g(x)=ax2-2x+1,其中实数a≠0.
(1)若a>0,求函数y=f(x)的单调区间;
(2)当函数y=f(x)与y=g(x)的图象只有一个公共点,且g(x)存在最小值时,记g(x)的最小值为h(a),求h(a)的值域;
(3)若f(x)与g(x)在区间(a,a+2)内均单调递增,求a的取值范围.
分析:第(1)问可利用导数来求单调区间;第(2)问可将只有一个公共点转化为方程有唯一根的问题;第(3)问可以利用第(1)问中的结论来推断.
解:(1)∵f'(x)=3x2+2ax-a2=3(a-a
3
)(x+a),
又a>0,∴当x<-a或x>a
3
时,f'(x)>0;
当-a<x<a
3
时,f'(x)<0,
∴f(x)的单调递增区间为(-∞,-a)和(a
3,+∞),单调递减区间为(-a,a
3
).
(2)由题意,知x 3+ax 2-a 2x+1=ax 2
-2x+1, 即x [x 2
-(a 2
-2)]=0恰有一个根(含重根).
∴a 2-2≤0,即−√2≤a ≤√2.
又a ≠0,
∴a ∈[−√2,0)∪(0,√2].
当a>0时,g (x )才存在最小值,
∴a ∈(0,√2].
∵g (x )=a (a -1a )2
+1−1
a , ∴h (a )=1−1
a ,a ∈(0,√2], ∴h (a )的值域为(-∞,1-√2
2].
(3)当a>0时,f (x )在(-∞,-a )和(a
3,+∞)内单调递增,g (x )在(1
a ,+∞)内单调递增.
由题意,得{
a >0,
a ≥a
3,a ≥1
a ,
解得a ≥1;
当a<0时,f (x )在(-∞,a 3)和(-a ,+∞)内单调递增,g (x )在(-∞,1
a
)内单调递增.
由题意,得{
a <0,a +2≤a
3,a +2≤1
a
,
解得a ≤-3.
综上,实数a 的取值范围为(-∞,-3]∪[1,+∞).。