阶段综合测评2

阶段综合测评(二)
(时间90分钟，总分值120分)
一、填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)
1．动圆：x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0(a ，b 是正常数，a ≠b ，θ是参数)，那么圆心的轨迹是________．
【答案】 椭圆
2．圆⎩⎨⎧
x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2
的圆心坐标是________．
【解析】 消去参数θ，得圆的方程为x 2＋(y －2)2＝4，所以圆心坐标为(0,2)． 【答案】 (0,2)
3．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨
⎧
x ＝5cos θ，y ＝5sin θ
⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ为参数，0≤θ≤π2和⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1－2
2t ，y ＝－2
2t
(t 为参数)，那么曲线C 1
与C 2的交点坐标为________．
【解析】 C 1的普通方程为x 2＋y 2＝5(x ≥0，y ≥0)． C 2的普通方程为x －y －1＝0. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x －y －1＝0，
x 2＋y 2＝5(x ≥0，y ≥0)，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(2,1)． 【答案】 (2,1)
4．直线⎩⎨⎧
x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t 上对应t ＝0和t ＝1两点间的间隔 是________．
【答案】
10
5．方程⎩⎨⎧
x ＝a ＋t cos θ，
y ＝b ＋t sin θ分别以t 为参数(t ≠0)和θ为参数，得到两条曲线，
那么这两条曲线公共点的个数是________．
【答案】 2个
6．点P (x ，y )在椭圆x 24＋y 2
＝1上，那么2x ＋y 的最大值________． 【解析】 设x ＝2cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜2π)，
2x ＋y ＝4cos θ＋sin θ＝17sin(θ＋φ)，所以2x ＋y 最大值为17. 【答案】
17
7．直线⎩⎨⎧
x ＝3＋at ，
y ＝－1＋4t (t 为参数)过定点________．
【答案】 (3，－1)
8．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎨⎧
x ＝3＋cos θ，
y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，那么
AB 的最小值为________．
【解析】 曲线C 1的方程是(x －3)2＋(y －4)2＝1，曲线C 2的方程是x 2＋y 2＝1，两圆外离，所以AB 的最小值为
32＋42－1－1＝3.
【答案】 3
9．过曲线⎩⎨⎧
x ＝3cos θ，
y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P 和原点连线的倾斜角
为π
4，那么点P 的坐标为________．
【解析】 由于y x ＝4sin θ3cos θ＝tan π
4＝1，
所以tan θ＝34，cos θ＝45，sin θ＝35，点P 的坐标为(125，12
5)． 【答案】 (125，12
5)
10．直线⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t 2
，
y ＝－3＋t (t 为参数)与圆⎩⎨⎧
x ＝5cos θ，
y ＝5sin θ
(θ为参数)相交，弦长
为________．
【解析】 圆的普通方程为x 2＋y 2＝5， 将⎩⎨
⎧
x ＝t 2，y ＝－3＋t
代入上式，得5t 2－24t ＋16＝0，
|t 1－t 2|＝
242－4×5×1625
＝16
5，所以相交弦长为
(12)2＋1|t 1－t 2|＝85 5.
【答案】 85
5
11．在平面直角坐标系xOy 中，假设直线l ：⎩⎨⎧
x ＝t ，
y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：
⎩⎨⎧
x ＝3cos φ，y ＝2sin φ
(φ为参数)的右顶点，那么常数a 的值为________． 【解析】 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t ，
y ＝t －a 消去参数t 后得y ＝x －a .
椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 2
4＝1.
又椭圆C 的右顶点为(3,0)，代入y ＝x －a 得a ＝3. 【答案】 3
12．在平面直角坐标系下，曲线C 1：⎩⎨⎧
x ＝2t ＋2a ，
y ＝－t (t 为参数)和曲线C 2：
⎩
⎨⎧
x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)，假设曲线C 1，C 2有公共点，那么实数a 的取值范围为________．
【解析】 C 1可化为x ＋2y －2a ＝0，C 2可化为x 2＋(y －1)2＝4，曲线C 1，
C 2有公共点，那么|2－2a |
5
≤2，所以1－5≤a ≤1＋5，
故应填[1－5，1＋5]． 【答案】 [1－5，1＋5]
13．直线⎩⎨⎧
x ＝1＋3t ，
y ＝－2－3t (t 为参数)的倾斜角是______．
【答案】 5
6π
14．如图1，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，那么圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．
图1
【解析】 将x 2
＋y 2
－x ＝0配方，得⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122＋y 2＝1
4，
∴圆的直径为1.设P (x ，y )，那么x ＝|OP |cos θ＝1×cos θ×cos θ＝cos 2θ， y ＝|OP |sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ， ∴圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝cos 2θ，
y ＝sin θcos θ
(θ为参数)． 【答案】 ⎩⎨⎧
x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ
(θ为参数)
二、解答题(本大题共4小题，共50分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题总分值12分)直线l 经过P (1,1)，倾斜角为π
6. (1)写出直线l 的参数方程；
(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A ，B ，求弦AB 中点M 的坐标及点M 到A ，B 两点的间隔 之积．
【解】
(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋3
2t ，
y ＝1＋12t
(t 为参数)．
(2)将直线l 的参数方程代入圆方程x 2＋y 2＝4中得t 2＋(3＋1)t －2＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，那么AB 中点M 所对应的参数为t 1＋t 2
2.又∵AB 中点M 所对应的参数为t 1＋t 22＝－3＋12，
∴AB 中点M 的坐标为(1－34，3－3
4)．
于是MA ·MB ＝⎪
⎪⎪⎪⎪⎪t 1－t 1＋t 22·⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2－t 1＋t 22＝(t 1－t 2)2
4＝6＋3
2.
16．(本小题总分值12分)在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π4，
以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝－1＋a cos θ，
y ＝－1＋a sin θ
(θ是参数)，假设圆C 1与圆C 2相切，务实数a 的值．
【导学号：98990042】
【解】 C 1：(x －2)2＋(y －2)2＝8，圆心C 1(2,2)，半径r 1＝22，
C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，圆心C 2(－1，－1)，半径r 2＝|a |.圆心距C 1C 2＝32， 两圆外切时，C 1C 2＝r 1＋r 2＝22＋|a |＝32，a ＝±2； 两圆内切时，C 1C 2＝|r 1－r 2|＝|22－|a ||＝32， a ＝±5 2.
综上，a ＝±2，或a ＝±5 2.
17．(本小题总分值13分)P 为抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，F 为其焦点，以PF 的长t 为参数，写出抛物线的参数方程．
【解】 设P (x ，y )，那么由抛物线的定义知x ＝t －p 2，y 2＝2p (t －p
2)＝2pt －
p 2，
所以y ＝±2pt －p 2，因此抛物线的参数方程是
⎩⎨
⎧
x ＝t －p 2，y ＝2pt －p 2
和⎩⎨
⎧
x ＝t －p 2，y ＝－2pt －p 2，
其中t 为参数且t ≥p
2.
18．(本小题总分值13分)曲线C 1：⎩⎨⎧
x ＝－4＋cos t ，
y ＝3＋sin t (t 是参数)，
C 2：⎩⎨⎧
x ＝8cos θ，
y ＝3sin θ
(θ是参数)
(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)假设C 1上的点P 对应的参数为t ＝π
2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎨⎧
x ＝3＋2t ，
y ＝－2＋t
(t 是参数)间隔 的最小值．
【解】 (1)C 1：(x ＋4)2
＋(y －3)2
＝1，C 2：x 264＋y 2
9＝1，
C 1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．
C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆． (2)当t ＝π
2时，P (－4,4)，Q (8cos θ，3sin θ)， 故M (－2＋4cos θ，2＋3
2sin θ)． C 3为直线x －2y －7＝0，
M 到C 3的间隔 d ＝5
5|4cos θ－3sin θ－13|. 从而当cos θ＝45，sin θ＝－3
5时， d 获得最小值85
5.。