高三数学：6.1不等式与线性规划+6.2推理与证明+6.3算法框图与复数
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专题九
不等式与线性规划
考向聚焦
3
高频考点
核心整合
4 课后强化作业
考向聚焦
考向分析 (1)考查含绝对值不等式的解法和证明． (2)考查证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析 法． 命题规律 单独命制含绝对值不等式的解法或含参数的讨论问题及 证明不等式，其中恒成立问题和不等式有解的讨论是重点考 查、经常考查内容．
3．不等式的证明方法：比较法、分析法、综合法、反证 法、放缩法．
疑难误区警示 1．应用不等式的性质时，要注意限制条件． 2．|a－b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件是a·b≤0；|a＋ b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件是ab≥0； ||a|－|b||≤|a－b|等号成立的条件是ab≥0. 3．用基本不等式求最值时，若连续进行放缩，只有各等 号成立的条件保持一致时，结论的等号才成立．
a＋b＋c 3
≥
3
abc
，当且仅当a
＝b＝c时，等号成立．
2．绝对值不等式 (1)设a、b为实数，则|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|. (2)设a、b、c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|. (3)含绝对值不等式的解法 ①|ax＋b|>c或|ax＋b|<c型，利用a>0时|x|<a⇔－a<x<a， |x|>a⇔x<－a或x>a求解． ②|x－a|±|x－b|≥c或|x－a|±|x－b|≤c型，可利用定义分段 讨论，也可构造函数图解或利用几何意义求解．
核心整合
知识方法整合 1．不等式的基本性质 (1)对于任意两个实数a、b有且只有以下三种情况之一成 立：a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，a＝b⇔a－b＝0. (2)不等式的基本性质 ①a>b⇔b<a. ②a>b，b>c⇒a>c. ③a>b⇒a＋c>b＋c.
④a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc. ⑤a>b>0⇒an>bn>0(n∈N*，n≥2)．
2＋6 m＝－2， ∴2－2 m＝－2<m2 或m2 <2＋6 m，
2－m m 2 >2 .
∴m＝6或m＝－14.
(文)(2013·哈三中模拟)设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－3|. (1)解不等式f(x)>0； (2)已知关于x的不等式a＋3<f(x)恒成立，求实数a的取值 范围．
－5x，x<12， y＝－x－2，12≤x≤1，
3x－6，x>1.
其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x∈(0,2)时， y<0，所以原不等式的解集是{x|0<x<2}．
(2)当x∈[－a2，12)时，f(x)＝1＋a. 不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3. 所以x≥a－2对x∈[－a2，12]都成立． 故－a2≥a－2，即a≤43. ∴a的取值范围是(－1，43].
高频考点
含绝对值不等式的解法
(2013·唐徕回中模拟)设函数f(x)＝|2x－m|＋4x. (1)当m＝2时，解不等式：f(x)≤1； (2)若不等式f(x)≤2的解集为{x|x≤－2}，求m的值．
[分析] (1)不等式f(x)≤1，即|2x－2|＋4x≤1，令2x－2＝
0得x＝1，可按x≥1与x<1分段讨论．
不等式有解与恒成立问题
(2012·河南乡、平顶山、许昌三调)已知函数f(x) ＝|x－3|＋|x－a|，a∈R.
(2)令2x－m＝0得x＝
m 2
，按x≤
m 2
及x>
m 2
，将f(x)表示为分
段函数，求出f(x)≤2的解集，再由解集为{x|x≤－2}确定m的
值．
[解析] (1)当x≥1时，原不等式化为：2x－2＋4x≤1，即 x≤12，此时无解；
当x<1时，原不等式化为：2－2x＋4x≤1， 即x≤－12，∴不等式的解x≤－12， 综上：不等式的解集为{x|x≤－12}．
6x－m 解法2：∵f(x)＝
2x＋m
x≥m2 ， m
x< 2 .
∴不等式f(x)≤2化为
6x－m≤2， 2x＋m≤2，
x≥m2 ，
或 m x< 2 .
∴x≤2＋6 m， x≥m2 ，
或x≤2－2 m， x<m2 .
∵f(x)≤2的解集为{x|x≤－2}，
(理)(2013·新课标Ⅰ，24)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|， g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)<g(x)的解集； (2)设a>－1，且当x∈[－ a2 ， 12 )时，f(x)≤g(x)，求a的取值 范围．
[解析] (1)当a＝－2时，不等式f(x)<g(x)化为 |2x－1|＋|2x－2|－x－3<0. 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则
6x－m (2)解法1：f(x)＝
2x＋m
x≥m2 ， m
x< 2 .
函数f(x)在(－∞，
m 2
)上为增函
数，且在x＝
m 2
时，函数是连续的，所以，函数f(x)在(－∞，
＋∞)上是单调递增的．
若不等式f(x)≤2的解集为{x|x≤－2}，
若m2 ≥－2，则2×(－2)＋m＝2，此时m＝6， 若m2 <－2，则6×(－2)－m＝2，此时m＝－14， 所以，m＝6或m＝－14时，不等式f(x)≤2的解集为 {x|x≤2}．
[解析] (1)∵f(x)＝|2x＋1|－|x－3|
x＋4， x≥3， ＝3x－2， －12≤x<3，
－x－4，
x<－12.
∴不等式f(x)>0化为
x＋4>0， x≥3，
3x－2>0， 或－12≤x<3，
－x－4>0， 或x<－12.
∴x<－4或x>23， 即不等式的解集为(－∞，－4)∪(23，＋∞)． (2)∵f(x)min＝－72，∴要使a＋3<f(x)恒成立，只要a＋3<－ 72，∴a<－123.
⑥a>b>0⇒n a>n b>0(n∈N*，n≥2)．
2．基本不等式
(1)如果a、b都是正数，那么
a＋b 2
≥
ab ，当且仅当a＝b
时取等号．
(2)已知x、y都是正数，①如果积xy是定值P，那么当x＝y
时，和x＋y有最小值2 P；②如果和x＋y是定值S，那么当x＝ y时，积xy有最大值S42.
(3)如果a、b、c∈R＋，那么
不等式与线性规划
考向聚焦
3
高频考点
核心整合
4 课后强化作业
考向聚焦
考向分析 (1)考查含绝对值不等式的解法和证明． (2)考查证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析 法． 命题规律 单独命制含绝对值不等式的解法或含参数的讨论问题及 证明不等式，其中恒成立问题和不等式有解的讨论是重点考 查、经常考查内容．
3．不等式的证明方法：比较法、分析法、综合法、反证 法、放缩法．
疑难误区警示 1．应用不等式的性质时，要注意限制条件． 2．|a－b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件是a·b≤0；|a＋ b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件是ab≥0； ||a|－|b||≤|a－b|等号成立的条件是ab≥0. 3．用基本不等式求最值时，若连续进行放缩，只有各等 号成立的条件保持一致时，结论的等号才成立．
a＋b＋c 3
≥
3
abc
，当且仅当a
＝b＝c时，等号成立．
2．绝对值不等式 (1)设a、b为实数，则|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|. (2)设a、b、c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|. (3)含绝对值不等式的解法 ①|ax＋b|>c或|ax＋b|<c型，利用a>0时|x|<a⇔－a<x<a， |x|>a⇔x<－a或x>a求解． ②|x－a|±|x－b|≥c或|x－a|±|x－b|≤c型，可利用定义分段 讨论，也可构造函数图解或利用几何意义求解．
核心整合
知识方法整合 1．不等式的基本性质 (1)对于任意两个实数a、b有且只有以下三种情况之一成 立：a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，a＝b⇔a－b＝0. (2)不等式的基本性质 ①a>b⇔b<a. ②a>b，b>c⇒a>c. ③a>b⇒a＋c>b＋c.
④a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc. ⑤a>b>0⇒an>bn>0(n∈N*，n≥2)．
2＋6 m＝－2， ∴2－2 m＝－2<m2 或m2 <2＋6 m，
2－m m 2 >2 .
∴m＝6或m＝－14.
(文)(2013·哈三中模拟)设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－3|. (1)解不等式f(x)>0； (2)已知关于x的不等式a＋3<f(x)恒成立，求实数a的取值 范围．
－5x，x<12， y＝－x－2，12≤x≤1，
3x－6，x>1.
其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x∈(0,2)时， y<0，所以原不等式的解集是{x|0<x<2}．
(2)当x∈[－a2，12)时，f(x)＝1＋a. 不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3. 所以x≥a－2对x∈[－a2，12]都成立． 故－a2≥a－2，即a≤43. ∴a的取值范围是(－1，43].
高频考点
含绝对值不等式的解法
(2013·唐徕回中模拟)设函数f(x)＝|2x－m|＋4x. (1)当m＝2时，解不等式：f(x)≤1； (2)若不等式f(x)≤2的解集为{x|x≤－2}，求m的值．
[分析] (1)不等式f(x)≤1，即|2x－2|＋4x≤1，令2x－2＝
0得x＝1，可按x≥1与x<1分段讨论．
不等式有解与恒成立问题
(2012·河南乡、平顶山、许昌三调)已知函数f(x) ＝|x－3|＋|x－a|，a∈R.
(2)令2x－m＝0得x＝
m 2
，按x≤
m 2
及x>
m 2
，将f(x)表示为分
段函数，求出f(x)≤2的解集，再由解集为{x|x≤－2}确定m的
值．
[解析] (1)当x≥1时，原不等式化为：2x－2＋4x≤1，即 x≤12，此时无解；
当x<1时，原不等式化为：2－2x＋4x≤1， 即x≤－12，∴不等式的解x≤－12， 综上：不等式的解集为{x|x≤－12}．
6x－m 解法2：∵f(x)＝
2x＋m
x≥m2 ， m
x< 2 .
∴不等式f(x)≤2化为
6x－m≤2， 2x＋m≤2，
x≥m2 ，
或 m x< 2 .
∴x≤2＋6 m， x≥m2 ，
或x≤2－2 m， x<m2 .
∵f(x)≤2的解集为{x|x≤－2}，
(理)(2013·新课标Ⅰ，24)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|， g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)<g(x)的解集； (2)设a>－1，且当x∈[－ a2 ， 12 )时，f(x)≤g(x)，求a的取值 范围．
[解析] (1)当a＝－2时，不等式f(x)<g(x)化为 |2x－1|＋|2x－2|－x－3<0. 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则
6x－m (2)解法1：f(x)＝
2x＋m
x≥m2 ， m
x< 2 .
函数f(x)在(－∞，
m 2
)上为增函
数，且在x＝
m 2
时，函数是连续的，所以，函数f(x)在(－∞，
＋∞)上是单调递增的．
若不等式f(x)≤2的解集为{x|x≤－2}，
若m2 ≥－2，则2×(－2)＋m＝2，此时m＝6， 若m2 <－2，则6×(－2)－m＝2，此时m＝－14， 所以，m＝6或m＝－14时，不等式f(x)≤2的解集为 {x|x≤2}．
[解析] (1)∵f(x)＝|2x＋1|－|x－3|
x＋4， x≥3， ＝3x－2， －12≤x<3，
－x－4，
x<－12.
∴不等式f(x)>0化为
x＋4>0， x≥3，
3x－2>0， 或－12≤x<3，
－x－4>0， 或x<－12.
∴x<－4或x>23， 即不等式的解集为(－∞，－4)∪(23，＋∞)． (2)∵f(x)min＝－72，∴要使a＋3<f(x)恒成立，只要a＋3<－ 72，∴a<－123.
⑥a>b>0⇒n a>n b>0(n∈N*，n≥2)．
2．基本不等式
(1)如果a、b都是正数，那么
a＋b 2
≥
ab ，当且仅当a＝b
时取等号．
(2)已知x、y都是正数，①如果积xy是定值P，那么当x＝y
时，和x＋y有最小值2 P；②如果和x＋y是定值S，那么当x＝ y时，积xy有最大值S42.
(3)如果a、b、c∈R＋，那么