2019年上海交通大学附属中学高一数学文期末试题含解析

2019年上海交通大学附属中学高一数学文期末试题含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为、，则塔高为（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
2. 若P（A）+P（B）=1，则事件A与B的关系是（）
D
3. 函数的图象大致为
参考答案：
A
4. （5分）在空间内，可以确定一个平面的条件是（）
A．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点
B．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交
C．三个点
D．两两相交的三条直线
参考答案：
A
考点：平面的基本性质及推论．
专题：空间位置关系与距离．
分析：利用确定平面的条件度四个选项分别分析，得到正确答案．
解答：对于选项A，三条直线，它们两两相交，但不交于同一点，满足不共线的三点确定一个平面；
对于选项B，如果三条直线过同一个点，可以确定一个或者三个平面；
对于选项C，如果三个点在一条直线上，可以有无数个平面；
对于选项D，如果三条直线两两相交于一点，确定一个或者三个平面；
故选A．
点评：本题考查了确定平面的条件，关键是正确利用平面的基本性质解答．
5. 如图，在△ABC中，，，若，则
（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
∴λ=，μ=．.
故答案为：D。

6. 函数满足，则的值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
7. 若函数在区间上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）
A．若，不存在实数使得；
B．若，存在且只存在一个实数使得；
C．若，有可能存在实数使得；
D．若，有可能不存在实数使得；
参考答案：
C解析：对于A选项：可能存在；对于B选项：必存在但不一定唯一
8. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的结果是（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
考点：程序框图．
专题：计算题；概率与统计．
分析：根据题意，该程序框图的意图是求S=1+++的值，由此不难得到本题的答案．
解答：解：由题意，k、S初始值分别为1，0．当k为小于5的正整数时，用S+的值代替S，k+1代替k，
进入下一步运算．由此列出如下表格
因此，最后输出的s=1+++=
故选：C
点评：本题给出程序框图，求最后输出的s值，着重考查了分数的加法和程序框图的理
解等知识，属于基础题．
9. 从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在［4.8，4.85）g范围内的概率
是（）
A. 0.38
B. 0.62
C. 0.7
D. 0.68
参考答案：
A
略
10. 下列四个关系中，正确的是（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数f(x)=的定义域为。

参考答案：
（2，3）
12. 函数的最大值为_______.
参考答案：
13. 已知数列中，，则________
参考答案：
14. 不等式5﹣x2＞4x的解集为．
参考答案：
（﹣5，1）
【分析】先移项化成一般形式，再直接利用一元二次不等式的解法，求解即可．
【解答】解：不等式5﹣x2＞4x化为：x2+4x﹣5＜0，解得﹣5＜x＜1．
所以不等式的解集为：{x|﹣5＜x＜1}；
故答案为（﹣5，1）．
【点评】本题是基础题，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力．
15. 已知函数定义域是，则的定义域
是
参考答案：
16. 定义在R上的偶函数满足，且当时，则等于．
参考答案：
2
略
17. 已知，，用“二分法”求方程在区间
内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是 .
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[3m，m+2]上不单调，求实数m的取值范围；
（3）求函数f（x）在区间[t﹣1，t]上的最小值g（t）．
参考答案：
【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；二次函数在闭区间上的最值．
【专题】综合题；分类讨论；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】（1）由已知可得函数图象的顶点为（1，1），将f（0）=3代入，可得f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[3m，m+2]上不单调，则1∈（3m，m+2），解得实数m的取值范围；
（3）结合二次函数的图象和性质，分析各种情况下，函数f（x）在区间[t﹣1，t]上的最小值g（t），综合讨论结果，可得答案．
【解答】解：（1）∵f（0）=f（2）=3，
∴函数图象关于直线x=1对称，
又∵二次函数f（x）的最小值为1，
∴设f（x）=a（x﹣1）2+1，
由f（0）=3得：a=2，
故f（x）=2（x﹣1）2+1=2x2﹣4x+3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣
（2）要使函数在区间[3m，m+2]上不单调，
则1∈（3m，m+2），
解得：m∈（﹣1，）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（3）由（1）知f（x）=2（x﹣1）2+1，
所以函数f（x）图象开口向上，对称轴方程为x=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
①当t﹣1≥1即t≥2时，函数f（x）在区间[t﹣1，t]上单调递增
当x=t﹣1时，f（x）的最小值g（t）=2t2﹣4t+9﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
②当t﹣1＜1＜t．即1＜t＜2时，函数f（x）在区间[t﹣1，1]上单调递减，在区间[1，t]上单调递增，
当x=1时，f（x）的最小值g（t）=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
③当t≤1时，函数f（x）在区间[t﹣1，t]上单调递减
当x=t时，f（x）的最小值g（t）=2t2﹣4t+3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
综上所述，g（t）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
19. 随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7.
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;
(2)计算甲班的样本方差
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.
参考答案：
（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于之间，而乙班身高集中于之间。

因此乙班平均身高高于甲班;
(2)
甲班的样本方差为
＝57
（3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；
从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，
173）（181，176）
（181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，
178）（178，173）
(178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件；
20. 己知O为坐标原点，倾斜角为的直线l与x，y轴的正半轴分别相交于点A，B，△AOB的面积为8．
（I ）求直线l的方程；
（II）直线l′过点O且与l平行，点P在l′上，求|PA|+|PB|的最小值．
参考答案：
【考点】IG：直线的一般式方程．
【分析】（I）由题意可得：直线l的斜率k=tan=﹣，设直线l的方程为：y=﹣x+b．可得直线l与坐标轴的正半轴交点为A，B（0，b），其中b＞0．可
得S△OAB=b×b=8，解得b即可得出．
（II）由（I）可得：A（4，0），B（0，4）．直线l′的方程为：y=﹣x．设点A
关于直线l′的对称点A′（m，n），则，解得A′（﹣2，﹣
2）．|PA|+|PB|=|PA′|+|PB′|，当A′，B，P三点共线时，|PA|+|PB|取得最小值．即可得出．
【解答】解：（I）由题意可得：直线l的斜率k=tan=﹣，设直线l的方程为：y=﹣x+b．
可得直线l与坐标轴的正半轴交点为A，B（0，b），其中b＞0．
∴S△OAB=b×b=8，解得b=4．
∴直线l的方程为：y=﹣x+4．
（II）由（I）可得：A（4，0），B（0，4）．
直线l′的方程为：y=﹣x．
设点A关于直线l′的对称点A′（m，n），
则，
解得，∴A′（﹣2，﹣2）．
∵|PA|+|PB|=|PA′|+|PB′|，
∴当A′，B，P三点共线时，|PA|+|PB|取得最小值．
∴（|PA|+|PB|）min=|A′B|=4．
21. （12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3=24，a6=18．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n；
（Ⅲ）当n为何值时，S n最大，并求S n的最大值．
参考答案：
考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差是d，有等差数列的通项公式和题意求出d，再求出a n；
（Ⅱ）先（Ⅰ）求出a1，代入化简即可；
（Ⅲ）根据S n和n的取值范围，利用二次函数的性质，求出S n的最大值及n的值．
解答：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差是d，
因为a3=24，a6=18，所以d==﹣2，
所以a n=a3+（n﹣3）d=30﹣2n…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a1=28，
所以…（9分）
（Ⅲ）因为，所以对称轴是n=，
则n=14或15时，s n最大，
所以s n的最大值为=210…（12分）
点评：本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，以及利用二次函数的性质求出前n 项和S n的最值问题．
22. 等比数列满足：
（1）求数列的通项公式
（2）当时，记。

求数列的前n项和
参考答案：
解：（1），，
（2）b=2，，，由错位相减法得：
=
略。