系统辨识基础课程作业

《系统辨识基础》课程作业
■ 课程编号：40250203 ■ 课程序号：0
■ 课程名称：系统辨识基础
Fundamentals of System Identification
■ 任课教师：萧德云
■ 学 时：总学时48，3学时/周 ■ 学 分：3学分
■ 教 材：方崇智 萧德云，《过程辨识》，清华大学出版社，1988
■ 说 明：本课程作业可分两次交给辅导教师杜宇健批改，第一次（1、2、3、4章）
讲完第4章后交，第二次（5、13、6章）讲完第6章后交，期末考试之前作业必须交齐。

作业与实验共占总成绩的20％。

■ 课程作业 第1章
1、举例说明数学模型的定义及其用途。

2、建模有哪两种基本方法，它们有什么本质的区别？
3、辨识建模的基本出发点是什么？
4、叙述辨识所用模型的含义，并用数学表达式给出辨识模型的满意度描述。

5、叙述利用辨识方法建立系统数学模型所应该遵循的基本原则。

6、论述“过程辨识”P11图1.7和1.8各自对问题的描述含义和区别。

7、最小二乘格式输入向量h ()k 的元素应满足什么要求？
8、“过程辨识”P520 1.3。

9、试解释辨识定义的实用意义（突出辨识的三要素概念）。

10、“过程辨识”P520 1.4。

11、“过程辨识”P520 1.5。

12、“过程辨识”P520 1.6。

13、“过程辨识”P520 1.7。

14、若一个过程的输入、输出关系可以用MA 模型描述，请将该过程的输入输出模型写成最小
二乘格式。

提示：① MA 模型z k D z u k ()()()=-1
② 定义ττθ)](,),1(),([)(,],,,[10n k u k u k u k d d d n --== h
15、将下列模型写成最小二乘格式
A z z k
B z u k D z v k ()()()()()()---=+111 16、“过程辨识”P520 1.9。

提示：①最小二乘格式z H w L L L =+θ
②数据矩阵H L u u u N u L u L u L N =-----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦
⎥⎥
⎥()
()()()()()01112 ③概率密度 )]()(21exp[)2()|(222
θθσπσθτH z H z z ---=-w
L w p
④Fisher 矩阵⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=θ∂θ∂θ∂θ∂τ
)|(log )|(log E z z M p p
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=H H w H w H ττ
ττσσσ2221E 11E w w w
17、举例说明有关模型方程误差的概念。

18、“过程辨识“P520 1.12。

19、叙述应该如何选择辨识所用的输入信号。

20、进行辨识时，一般需要预先获得过程的一些先验知识。

请针对一两个具体的先验知识，
说明为什么要预先知道它们，有什么用？ 21、证明由实际测量数据估计其直流成分的递推公式为
() ()[() ()]z
k z k k
z k z k 00011
1=-+-- 其中， ()z
k 0为直流成份的估计值，z k ()为实际测量值。

第2章
1、“过程辨识“P522 2.1。

提示：C xy =0
2、 设x t ()和y t ()是两个平稳随机过程，如果x t ()和y t ()相互独立，证明x t ()和y t ()是两个不
相关的随机过程。

反之，如果x t ()和y t ()是两个不相关的随机过程，问它们互相独立吗？ 12 请用随机过程矩的概念，描述随机过程的宽平稳含义。

12 请用数学式子描述谱密度的物理意义。

5、如果可以获得各态遍历平稳随机序列的一个实现},,,),({L k k x 21=,请给出利用这个随机实现来计算)}({k x 自相关函数的数值计算式。

6、“过程辨识”P523 2.9。

7、“过程辨识”P523 2.16。

提示：①R t t t t z ()[cos cos ()sin sin ()]cos τσωωτωωτσωτ=+++=2000020 ②S R e d z z j ()()[()()]ωττπσδωωδωωωτ==++-∞
-⎰0200
③ 1的Fourier 变换等于2πδω() 8、“过程辨识”P524 2.18。

提示：①R R z x ()()cos ττωτ=0，因z (t )为宽平稳过程，R z ()τ必与t 无关，故只能
R R x y ()()ττ=。

②S R e d S S z z j x x ()()[()()]ωττωωωωωτ==++-∞-⎰0001
2
9、“过程辨识”P524 2.20。

10、“过程辨识”P524 2.24（不限计算机语言）。

11、“过程辨识”P524 2.25（不限计算机语言）。

12、“过程辨识”P525 2.27。

13、“过程辨识”P525 2.31。

14、请判断下面序列是否为正确的一个周期的M 序列，并说明原因。

① 111100010011011 ② 111100*********
15、给定一种M 序列特征多项式12345⊕⊕⊕⊕=s s s s s F )(，请画出利用移位寄存器生成这
种M 序列的结构图。

第3章
1、“过程辨识“P525 3.2。

2、“过程辨识“P525 3.3。

3、设)}({k e 是一个平稳的有色噪声序列，为了考虑这种噪声对辨识的影响，需要用一种模型
来描述它。

请解释如何用白噪声和表示定理把)(k e 表示成AR 模型、MA 模型和ARMA 模型。

第4章
1、“过程辨识”P526 4.4。

2、“过程辨识”P526 4.5。

3、“过程辨识”P526 4.6。

4、根据离散Wiener-Hopf 方程，证明
∑-=∆-∆+=10
221P N j P P P Mz j g N t a k g N t a N k R )(ˆ
)(ˆ)()( 5、证明“过程辨识“P117 (4.5.45)式。

6、若采用M 序列作为辨识的输入信号，M 序列的参数应如何选择？
第5章
1、“过程辨识”P527 5.3
2、“过程辨识”P527 5.4
3、“过程辨识”P527 5.5
4、“过程辨识”P527 5.6
5、“过程辨识”P527 5.7
6、“过程辨识”P528 5.12
7、“过程辨识”P528 5.13
8、“过程辨识”P529 5.18
9、“过程辨识”P530 5.19 10、“过程辨识”P530 5.20 11、“过程辨识”P530 5.21
12、比较遗忘因子法和加权最小二乘法的区别和联系。

13、利用最小二乘递推算法，证明
~()()()~()()()()θθk k k j v j j k
=--=∑P P P h 1
1
00
并论述该式的物理意义。

14、论述最小二乘参数估计算法的初值为什么可取εθ==)(ˆ
,)(002
I P a 。

15、利用最小二乘算法辨识如下模型参数
z k z k z k u k u k v k ().().()().()()--+-=-+-+1510721052
其中，v (k )是零均值白噪声。

当模型噪声为零、模型阶次为2时，可以获得准确的辨识结果，而模型噪声为零、模型阶次取3时，只能得到如下一组模型参数辨识结果(括号内为模型参数真值)：
a 1 = - 1.08884 (-1.5)
b 1 = 1.00000 (1.0) a 2 = 0.08326 ( 0.7) b 2 = 0.91116 (0.5) a 3 = 0.28781 ( 0.0) b 3 = 0.20558 (0.0)
显然，辨识结果已经远远偏离了模型参数真值，试从理论上解释为什么会出现这种现象。

第13章
1、“过程辨识”P534 13.1
2、“过程辨识”P535 13.2
第6章
1、“过程辨识”P531 6.5
2、“过程辨识”P531 6.6
3、考虑如下模型
d
d c c b
b a a n n n n n n n n z d z d z D z
c z c z C z
b z b z B z a z a z A k v z C z D k u z B k z z A ----------------+++=+++=++=+++=+= 1111111111111
11
1
1)(,1)()(,1)()()
()
()()()()(
其中，u (k )和z (k )是模型的输入输出变量，v (k )是零均值白噪声。

定义参数向量
[
]θτ
=a a b b c c d d n n n n
a
b
c
d
1111,,,,,,,,,,,
请利用增广最小二乘思想，写出模型参数θ的递推辨识算法。

4、考虑如下模型
n
n n n n n n n z d z d z D z c z c z C z b z b z B z a z a z A k v z C k u z B k z z A ---------------+++=+++=++=+++=+
= 1111111111111
111)(,1)()(,1)()()
(1
)()()()(
其中，u (k )和z (k )分别为模型的输入和输出变量，它们是可测的；v (k )是零均值白噪声，它是不可测的。

试从Markov 估计概念出发，证明该模型的参数向量θτ=[,,,,]a a b b n n 11 的
估计值 θ
可以写成如下加权最小二乘算法的形式 ()θ
ττ=-H H H z L
L
L
L
L
L
ΛΛ1 式中，H L 为数据矩阵，z L 为输出向量，加权矩阵取ΛL v
=
1
2
σ
τC C ，其中矩阵C 为
C =
--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥11110112111110
c c c c c c c c c n n n n
5、辅助变量法的一次完成算法可写成
()**θττIV L L L L
=-H H H z 1 式中， θIV
称辅助变量参数估计值，H L 为数据矩阵，z L 为输出数据向量，H L *为辅助矩阵。

试问该算法可否看成是加权矩阵取ΛL L L L
=1H H **τ
的加权最小二乘法的一种特例。

如果可以，其条件是什么？。