2018年北京各区高三二模文科数学分类汇编--概率统计
2018北京各城区高三二模数学(文)分类汇编--概率统计解答题
2018北京各城区高三二模数学（文）分类汇编--概率统计解答题【西城二模】17．（本小题满分13分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a ，b 的值；（Ⅱ）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；（III ）某研究机构提出，可以选取常数0 4.5X =，若一名从业者该项身体指标检测值大于0X ，则判断其患有这种职业病；若检测值小于0X ，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率． 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为3.4100408.5⨯=人．……………… 2分 10.100.350.250.150.100.05a =-----=， 10.100.200.300.40b =---=．………………4分（Ⅱ）指标检测值不低于5的样本中，有患病者40(0.300.40)28⨯+=人，未患病者60(0.100.05)9⨯+=人，共37人．……………… 6分此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数约为378500031450100⨯=人． ……………… 8分（Ⅲ）当0 4.5X =时，在100个样本数据中，有40(0.100.20)12⨯+=名患病者被误判为未患病，………………10分 有60(0.100.05)9⨯+=名未患病者被误判为患病者， ………………12分因此判断错误的概率为21100． ………………13分【海淀二模】（18）（本小题13分）某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：（Ⅰ）从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90 分的概率；（Ⅱ）从考核成绩大于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率； （Ⅲ）记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为1x ，21s ，考核成绩的平均数和方差分别为2x ，22s ，试比较1x 与2x ， 21s 与22s 的大小.（只需写出结论） 18. （本小题13分）解：（Ⅰ）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人. 所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率是63105=. 从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6.…………………4分（Ⅱ）设事件A 为“从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，这2名同学两轮测试成绩均大于等于90分”，由（Ⅰ）知，考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人. 因此，从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，包含（1号，5号）、（1号，7号）、（1号，8号）、（1号，9号）、（1号、10号）、（5号，7号）、（5号，8号）、（5号，9号）、（5号，10号）、（7号，8号）、（7号，9号）、（7号，10号）、（8号，9号）、（8号，10号）、（9号，10号）共15个基本事件，而事件A 包含（1号，8号）、（1号、10号）、（8号，10号）共3个基本事件， 所以31()155P A ==. ………………9分 （Ⅲ）12=x x2212s s > ………………13分【东城二模】（17）（本小题13分）2017年北京市百项疏堵工程基本完成．有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A 组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B 组．A 组：128，100，151，125，120．B 组：100，102，96，101， a ．已知B 组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是45. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”．从A ，B 两组数据中各随机抽取一个数据，求这两个数据对应的两次运行中至少有一次“正点运行”的概率； （Ⅲ）试比较A ，B 两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义． （17）（共13分）解：（Ⅰ）因为B 组数据的中位数为100，所以100a ≤．因为从B 组中随机抽取一个数不小于100的概率是45， 所以100a ≥． 所以100a =. …………5分 （Ⅱ）从A 组中取到128,151,125,120时，B 组中符合题意的取法为100,96,100，共4312⨯=种；从A组中取到100时，B组中符合题意的取法为100,102,96,101,100，共155⨯=种；因此符合题意的取法共有12517+=种，而所有不同的取法共有5525⨯=种，所以该路公交车至少有一次“正点运行”的概率1725P=. …………10分（Ⅲ）B组的方差小于A组的方差，说明疏堵工程完成后，该路公交车全程所用时间更加稳定，而且“正点运行”率高，运行更加有保障．…………13分【朝阳二模】17.（本小题满分14分）某市的一个义务植树点,统计了近10年栽种侧和银杏的数据（单位:株）,制表如下:（Ⅰ）根据表中数据写出这10年内栽种银杏数量的中位数,并计算这10年栽种银杏数量的平均数;（Ⅱ）从统计的数据中,在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于300株的年份中,任意抽取2年,恰有1年栽种侧柏的数量比银杏数量多的概率.【解析】解:（Ⅰ）这10年栽种银杏数量从小到大排列为:3300,3400,3600,3600,3700,3700,4200,4200,4200,4400中位数为3700平均数为3830（Ⅱ）栽种侧柏与银杏数量之差绝对值不小于300株的年份有:2009,2010,2011,2013,2014共5年任意抽取2年的基本事件如下:（2009,2010）,（2009,2011）,（2009,2013）,（2009,2014）（2010,2011）,（2010,2013）,（2010,2014）（2011,2013）,（2011,2014）（2013,2014）共10种情况恰有1年栽种侧柏数量比银杏数量多的情况为 （2009,2010）,（2009,2013）,（2009,2014） （2010,2011）,（2011,2013）,（2011,2014） 共6种情况 所以63105P == 【丰台二模】（18）（本小题共13分）某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取8位归为A 组，从年龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取8位归为B 组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成如下茎叶图：注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值． （Ⅰ）分别求出A 组客户与B 组客户“实际平均续航里程数”的平均值；（Ⅱ）在A ，B 两组客户中，从“实际平均续航里程数”大于335的客户中各随机抽取1位客户，求A 组客户的“实际平均续航里程数”不小于B 组客户的“实际平均续航里程数”的概率； （Ⅲ）试比较A ，B 两组客户数据方差的大小．（结论不要求证明） （18）（本小题共13分） 解：（Ⅰ）A 组平均值为：2808340338332330230225225220=+++++++；………1分B 组平均值为：2002202303323383403603803008+++++++=．……2分（Ⅱ）将A 组客户中实际平均续航里程数为338, 340的客户分别记为1a ，2a ；将B 组客户中实际平均续航里程数为338, 340, 360, 380的客户分别记为1b ，2b ，3b ，4b ． 从A ，B 两组实际平均续航里程数大于335km 的客户中各随机抽取1位客户的事件包括：11b a ，21b a ，31b a ，41b a ，12b a ，22b a ，32b a ，42b a ，共8种，……………5分其中A 组客户的实际平均续航里程数不小于B 组客户的实际平均续航里程数的事件包括：11b a ，12b a ，22b a ，共3种． …………………7分设“A 组客户的实际平均续航里程数不小于B 组客户的实际平均续航里程数”为事件M ， …………………8分 则3()8P M =． …………………10分 所以A 组客户的实际平均续航里程数不小于B 组客户的实际平均续航里程数的概率为38． （III ）A 组数据的方差小于B 组数据的方差． …………………13分 【昌平二模】 17.（本小题13分）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A ，B 两地区分别随机抽取了20天的观测数据，得到A ，B 两地区的空气质量指数（AQI ），绘制如下频率分布直方图：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：（I (II) 若分别在A 、B 两地区上述20天中，且空气质量指数均不小于的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率. 17.（共13分）解：（Ⅰ）从A 地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为(0.0080.007)500.75+⨯=，估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为3650.75274⨯≈天 .150图1 A 地空气质量指数（AQI ）0.0050.0030.0020.008图2 B 地空气质量指数（AQI ）--------------------4分（Ⅱ）A 地20天中空气质量指数在[150,200)内，为200.003503⨯⨯=个，设为123,,a a a ，空气质量指数在[200,250)内，为200.001501⨯⨯=个，设为4a ， B 地20天中空气质量指数在[150,200)内，为200.002502⨯⨯=个，设为12,b b ， 空气质量指数在[200,250)内，为200.003503⨯⨯=个，设为345,,b b b ， 设“A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C ， 则基本事件空间1112131415212223242531323334354142434445{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b Ω=，基本事件个数为20n =，434445{,,}C a b a b a b =，包含基本事件个数为3m =，所以A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为()P C =【顺义二模】17. （本小题满分13分）2018年2越25日第23届冬季奥运会在韩国平昌闭幕,中国以1金6银2铜的成绩结束本次冬奥会的征程.某校体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种）,按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11人,具体的调查结果如下表:（Ⅰ）若该班女生人数比男生多4人,求该班男生人数和女生人数;（Ⅱ）在该班全体学生中随机抽取一名学生,由以上统计数据估计该生持满意态度的概率;（Ⅲ）若从该班调查对象的女生中随机选取2人进行追踪调查,记选中的2人中对“本届冬奥会中国队表现”满意的人数为ξ,求1ξ=时对应事件的概率..【房山二模】（17）（本小题13分）1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权。
北京市海淀区2018年高三二模数学(文科)试卷及答案汇编
海淀区高三年级第二学期期末练习数学（文科）2018.5第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集{1,2,3,4,5,6},U = 集合{1,2,4},{1,3,5}A B ==，则()U A B I ð= （A ）{1} （B ）{3,5} （C ）{1,6} （D ）{1,3,5,6} （2）已知复数z 在复平面上对应的点为(1,1)-，则（A ） 1i z =-+ （B ） 1i z =+ （C ） +i z 是实数 （D ） +i z 是纯虚数 （3）若直线0x y a ++=是圆2220x y y +-=的一条对称轴，则a 的值为 （A ） 1 （B ） 1- （C ） 2 （D ） 2- （4）已知0x y >>，则 （A ）11x y>（B ） 11()()22x y >（C ） cos cos x y >（D ） ln(1)ln(1)x y +>+（5）如图，半径为1的圆内有一阴影区域，在圆内随机撒入一大把豆子，共n 颗，其中落在阴影区域内的豆子共m 颗，则阴影区域的面积约为（A ）m n （B ） n m（C ）m n π （D ） n mπ （6）设C 是双曲线，则 “C 的方程为2214y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）某校为了解高一年级300名学生对历史、地理学科的选课情况，对学生进行编号，用1，2，……300表示，并用(,i i x y ）表示第i 名学生的选课情况.其中01,i i i x ⎧=⎨⎩第名学生不选历史第名学生选历史，，01,i i i y ⎧=⎨⎩第名学生不选地理第名学生选地理.， 根据如图所示的程序框图，下列说法中错误的是 （A ）m 为选择历史的学生人数 （B ）n 为选择地理的学生人数（C ）S 为至少选择历史、地理一门学科的学生人数（D ）S 为选择历史的学生人数与选择地理的学生人数之和（8）如图，已知直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点，函数()(0)g x kx m m =+>，则函数()()()F x g x f x =- （A ）有极小值，没有极大值 （B ）有极大值，没有极小值（C ）至少有两个极小值和一个极大值 （D ）至少有一个极小值和两个极大值第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2018年北京市高三期末文科数学试题分类汇编之概率统计
． [ 10 分 ]
7（. 2018·丰台期末· 18）某校为了鼓励学生热心公益， 服务社会， 成立了“慈善义工社” .2017 年 12 月，该校“慈善义工社”为学生提供了 4 次参加公益活动的机会，学生可通过网路平 台报名参加活动 . 为了解学生实际参加这 4 次活动的情况，该校随机抽取 100 名学生进行调 查，数据统计如下表，其中“√”表示参加， “×”表示未参加 .
试估计该商品日平均需求量为
A． 16 B． 16.2
【答案】 D
C． 16.6 D． 16.8
3.（ 2018·海淀期末· 4）下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各 5 各同学在一次 数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题 5 分，共 8 道题）：
已知两组数据的平均数相等，则 x,y 的值分别为 A.0 ， 0B.0， 5C.5，0D.5， 5
2018·海淀期末· 17
2018·通州期末· 16
2018·昌平期末· 17
2018·房山期末· 17
十一、概率统计
类型
考点 分层抽样 平均数 茎叶图、平均数 分层抽样 频率分布直方图 频率分布直方图、 古 典概型 古典概型、 抽样方法 分层抽样、 频率 分布直方图、 古典概 型 折线图、古典概
型、 方差
A，B 两类（评定标准见表 1）．根据男女
学生比例， 使用分层抽样的方法随机抽取了 10000 名学生的得分数据， 其中等级为 A1的学生
中有 40% 是男生，等级为 A2 的学生中有一半是女生． 等级为 A1和 A2 的学生统称为 A 类学生，
等级为 B1和 B2 的学生统称为 B 类学生．整理这 10000 名学生的得分数据，得到如图
2018北京市各城区二模数学(文科)分类汇编之数列含答案
2018市各城区二模数学（文科）分类汇编之数列含答案【西城二模】15．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，111a b ==，22a b =，432a b +=． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．依题意，得21,2(13).d q d q +=⎧⎨++=⎩………………2分 解得2,3,d q =⎧⎨=⎩或1,0.d q =-⎧⎨=⎩（舍去）………………4分所以21n a n =-，13n n b -=．………………6分 （Ⅱ）因为1213n n n a b n -+=-+，………………7分所以21[135(21)](1333)n n S n -=++++-+++++………………9分[1(21)]13213nn n +--=+-………………11分 2312n n -=+．………………13分【海淀二模】（15）（本小题13分）已知等差数列{}n a 满足1223n n a a n +-=+ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和.15．（本小题13分） 解：（Ⅰ）方法1： 因为数列{}n a 是等差数列，所以212n n n a a a +++=. 因为3221+=-+n a a n n ，所以223n a n +=+. 所以，当3n ≥时，2(2)321n a n n =-+=-. 所以21(1,2,3,).n a n n =-=………………6分方法2：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为3221+=-+n a a n n ，所以21322527.a a a a -=⎧⎨-=⎩所以11+2537.a d a d =⎧⎨+=⎩所以112.a d =⎧⎨=⎩所以1(1)21(1,2,3,)n a a n d n n =+-=-=………………6分（Ⅱ）因为数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n n a b -+=因为21n a n =-，所以12(21)n n b n -=--.设数列{}n b 的前n 项和为n S ， 则1(1242)[135(21)]n n S n -=++++-++++-12(121)122n n n -+-=-- 221n n =--所以数列{}n b 的前n 项和为221.n n --. ………………13分 【东城二模】（15）（本小题13分）已知{}n a 是公差为2等差数列，数列{}n b 满足11b =，212b =，且1(1)n n n a b nb ++=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求{}n b 的前n 项和n S ． （15）（共13分）解：（Ⅰ）因为1(1)n n n a b nb ++=，所以121(1)1a b b +=⨯． 因为11b =，212b =， 所以11a =．因为等差数列{}n a 的公差为2，所以21n a n =-，*n ∈N ．……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知21n a n =-．因为1(1)n n n a b nb ++=， 所以11(21)12n n b n b n +==-+． 所以数列{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列． 所以数列{}n b 的前n 项和n S 11()122[1()]1212nn -==--，*n ∈N ．……………13分 【XX 二模】16.已知数列{}n a 的前n 项和2n S pn qn =+（p ，q ∈R ，*n ∈N ）且13a =，424S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解析】解:（Ⅰ）∵数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn =+∴当1n =时,11a S p q ==+当2n ≥时,21(1)(1)n S p n q n -=-+-∴221()[(1)(1)]2nn n a S S pn qn p n q n pn q p -=-=---+-=+-检验1a p q =+符合2n a pn q p =+-∴数列{}n a 的通项公式为2n a pn q p =+-∵12(1)(2)2,()n na a p n q p pn q p p p +-=++--+-=∈R∴{}n a 是等差数列,设公差为d ∵143,24a S ==∴414342S a d ⨯=+解得2d = ∴数列{}n a 的通项公式为*3(1)221()n a n n n =+-⨯=+∈N（Ⅱ）由（Ⅰ）可知21n a n =+∴2122n a n nb +==设数列{}n b 的前n 项和为n T , 则12124242424n n nT -=⨯+⨯++⨯+⨯1212(4444)n n -=++++4(14)214n -=⨯- 8(41)3n -=所以数列{}n b 的前n 项和为8(41).3n n T -=【丰台二模】 （16）（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和2=3n S n ，等比数列{}n b 满足11=3a b ，242b b a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列21{}n b -的前n 项和n T ． （16）（本小题共13分） 解：（Ⅰ）因为23n S n =，所以113a S ==．…………………1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=-2233(1)n n =--63n =-．…………………3分因为当1n =时，16133a ⨯-==，…………………4分 所以数列{}n a 的通项公式是63n a n =-．…………………5分 （Ⅱ）设数列{}n b 的公比为q ．因为113a b =，所以11b =．…………………6分 因为242b b a ⋅=，所以239b =．…………………8分因为2310b b q =>，所以33b =，且23q =．…………………10分因为{}n b 是等比数列，所以21{}n b -是首项为11b =，公比为23q =的等比数列．…………………11分所以212(1())131(31)1132n n nn b q T q --===---． 即1(31)2nn T =-．…………………13分 【昌平二模】 16.（本小题13分） 已知数列{}n a 满足1211,2a a ==，数列{}n b 是公差为2的等差数列，且11n n n n b a a na +++=. （I ）求数列{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n a 前n 项的和n S . 16.（共13分）解：（Ⅰ）因为11n n n nb a a na +++=，所以1221b a a a += . 又因为1212a a =1，=, 所以11b =.所以数列{}n b 的通项公式是2-1n b n =. --------------------7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2-1n b n =，且11n n n n b a a na +++=.所以11(21)n n nn a a na ++-+=，得到112n n a a += .所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列. 那么数列{}n a 前n 项和111()222112nn n S --==--.--------------------13分 【顺义二模】15.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且151, 3.a a =-=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式;（Ⅱ）若数列{}n b 满足2n a n b =,求数列{}n b 的前n 项和.【房山二模】 （15）（本小题13分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =．问：5b 与数列{}n a 的第几项相等？解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．因为432a a -=，所以2d =．又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =． 所以42(1)22n a n n =+-=+(1,2,)n =．…………6分 （Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ．因为238b a ==，3716b a ==，所以2q =，14b =． 所以5154264b -=⨯=． 由6422n =+得31n =．所以5b 与数列{}n a 的第31项相等．…………13分。
2018北京高三二模数学理分类汇编-概率
2018北京高三二模数学理分类汇编--概率与统计二、解答题1、（2018西城二模）（本小题满分13分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a ，b 的值；（Ⅱ）在该指标检测值为4的样本中随机选取2人，求这2人中有患病者的概率； （III ）某研究机构提出，可以选取常数*00.5()X n n =+∈N ，若一名从业者该项身体指标检测值大于0X ，则判断其患有这种职业病；若检测值小于0X ，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病．写出使得判断错误的概率最小的0X 的值及相应的概率（只需写出结论）．2、（2018海淀二模）（本小题13分）某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：（Ⅱ）从考核成绩大于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；（Ⅲ）记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为1x ，21s ，考核成绩的平均数和方差分别为2x ，22s ，试比较1x 与2x ， 21s 与22s 的大小.（只需写出结论）3、（2018东城二模）（本小题13分）某银行的工作人员记录了3月1号到3月15日上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数，如图所示：从这15天中，随机选取一天，随机变量X 表示当天上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数.（Ⅰ）请把X 的分布列补充完整；（Ⅱ）令m 为X 的数学期望，若()0.5,P n Xn m m -＃+>求正整数n 的最小值；（Ⅲ）由图判断，从哪天开始的连续五天上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数的均值最大？（结论不要求证明）4、（2018朝阳二模）（本小题满分13分）某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量,对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分.每项评分最低分0分,最高分100分.每个景点总分为这五项得分之和,根据考核评分结果,绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下:请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（Ⅰ）若从交通得分排名前5名的景点中任取1个,求其安全得分大于90分的概率; （Ⅱ）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个,记安全得分不大于90分的景点个数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望;（Ⅲ）记该市26个景点的交通平均得分为1x ,安全平均得分为2x ,写出1x 与2x 的大小关系.（只写出结果）5、（2018丰台二模）（本小题共13分）某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A 组，从年龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取10位归为B 组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A 组的客户，“⊙”表示B 组的客户．注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值． （Ⅰ）记A ，B 两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m ，n ，根据图中数据，试比较m ，n 的大小（结论不要求证明）； （Ⅱ）从A ，B 两组客户中随机抽取2位，求其中至少有一位是A 组的客户的概率；年龄（岁）70605040302010（III）如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”．从A，B两组客户中，各随机抽取1位，记“驾驶达人”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．（16）（本小题共13分）6、（2018昌平二模）（本小题13分）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A，B两地区一年的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到A，B两地区的空气质量指数（AQI）如下图所示：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：（Ⅰ）试估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；（Ⅱ）假设两地区空气质量状况相互独立，记事件C：“A地区空气质量等级优于B地区空气质量等级”. 根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率.（Ⅲ）若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择A，B两地区哪个地区.（只需写出结论）7、（2018顺义二模）（本小题满分13分）2018年2月25日第23届冬季奥运会在韩国平昌闭幕，中国以1金6银2铜的成绩结束本次冬奥会的征程.某校体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11人，具体的调查结果如下表：（Ⅱ）在该班全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；（Ⅲ）若从该班调查对象中随机选取2人进行追踪调查，记选中的2人中对“本届冬奥会中国队表现”满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望．8、（2018房山二模）（本小题13分）1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权。
北京2018各区二模概率统计汇编
【东城二模】 （16）（本小题13分）某银行的工作人员记录了3月1号到3月15日上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数，如图所示：从这15天中，随机选取一天，随机变量X 表示当天上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数.（Ⅰ）请把X 的分布列补充完整；（Ⅱ）令m 为X 的数学期望，若()0.5,P n Xn m m -＃+>求正整数n 的最小值；（Ⅲ）由图判断，从哪天开始的连续五天上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数的均值最大？（结论不要求证明） （16） （共13分） 解：（I ）X 的分布列分别为………………………4分（Ⅱ）由（I ）可得X 的数学期望1211211()891011121314103155********E X =???????.所以10m =.因为62(101101)0.5155P X -＃+==<, 5231213(102102)0.5,1515P X ++++-＃+==>所以2n =. ………………………10分（Ⅲ）第10日或第11日. ………………………13分 【西城二模】17．（本小题满分13分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a ，b 的值；（Ⅱ）在该指标检测值为4的样本中随机选取2人，求这2人中有患病者的概率； （III ）某研究机构提出，可以选取常数*00.5()X n n =+∈N ，若一名从业者该项身体指标检测值大于0X ，则判断其患有这种职业病；若检测值小于0X ，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病．写出使得判断错误的概率最小的0X 的值及相应的概率（只需写出结论）． 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为 3.4100408.5⨯=人．… 2分10.100.350.250.150.100.05a =-----=，10.100.200.300.40b =---=． ……………… 4分（Ⅱ）指标检测数据为4的样本中，有患病者400.208⨯=人，未患病者600.159⨯=人． ……………… 6分 设事件A 为“从中随机选择2人，其中有患病者”．则 29217C 9(A)C 34P ==， ……………… 8分所以 25(A)1(A)34P P =-=． ……………… 9分 （Ⅲ）使得判断错误的概率最小的0 4.5X =． ………………11分 当0 4.5X =时，判断错误的概率为21100． ………………13分【海淀二模】（16）（本小题13分）某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：（Ⅰ）从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90 分的概率；（Ⅱ）从考核成绩大于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；（Ⅲ）记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为1x ，21s ，考核成绩的平均数和方差分别为2x ，22s ，试比较1x 与2x ， 21s 与22s 的大小.（只需写出结论）16. （本小题共13分）解：（Ⅰ）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人.所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率为：60.610， 从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6.………………………………………….4分（Ⅱ）设事件A ：从上述考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分.由（Ⅰ）知，上述考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人.所以，232631()155C P A C ===. ·················· 9分 （Ⅲ）12x x =，2212s s >. ····················· 13分【朝阳二模】16.（本小题满分13分）某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量,对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分.每项评分最低分0分,最高分100分.每个景点总分为这五项得分之和,根据考核评分结果,绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下:请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（Ⅰ）若从交通得分排名前5名的景点中任取1个,求其安全得分大于90分的概率;（Ⅱ）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个,记安全得分不大于90分的景点个数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望; （Ⅲ）记该市26个景点的交通平均得分为1x ,安全平均得分为2x ,写出1x 与2x 的大小关系.（只写出结果） 【解析】（Ⅰ）由图可知,交通得分前5名的景点中安全得分大于90分的景点有3个.故从交通得分前5名的景点中任取1个,其安全得分大于90分的概率为35（Ⅱ）由图可知,景点总分前6名的安全得分不大于90分的景点有2个.设从景点总分前6名的景点中任取3个,安全得分不大于90分的个数为ξ,则ξ的取值为0,1,2所以34361(0)5C P C ξ===2142363(1)5C C P C ξ===1242361(2)5C C P C ξ===故ξ的分布列为所以1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=（Ⅲ）12x x >【丰台二模】（16）（本小题共13分）某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A 组，从年龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取10位归为B 组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A 组的客户，“⊙”表示B 组的客户．年龄（岁）70605040302010注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值． （Ⅰ）记A ，B 两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m ，n ，根据图中数据，试比较m ，n 的大小（结论不要求证明）；（Ⅱ）从A ，B 两组客户中随机抽取2位，求其中至少有一位是A 组的客户的概率； （III ）如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”．从A ，B 两组客户中，各随机抽取1位，记“驾驶达人”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ． （16）（本小题共13分） 解：（Ⅰ）m n <． …………………3分（Ⅱ）设“从抽取的20位客户中任意抽取2位，至少有一位是A 组的客户”为事件M ，则11210101022029()38C C C P M C +==． …………………6分所以从抽取的20位客户中任意抽取2位至少有一位是A 组的客户的概率是2938． （III ）依题意ξ的可能取值为0，1，2．则119811101018(0)25C C P C C ξ===； 1111189211101013(1)50C C C C P C C ξ+===； 11121110101(2)50C C P C C ξ===． …………………10分所以随机变量ξ的分布列为：所以随机变量ξ的数学期望18131301225505010E ξ=⨯+⨯+⨯=． …………………12分 即103=ξE ．【昌平二模】16.（本小题13分）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A ，B 两地区一年的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到A ，B 两地区的空气质量指数（AQI ）如下图所示：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：（Ⅰ）试估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；（Ⅱ）假设两地区空气质量状况相互独立，记事件C ：“A 地区空气质量等级优于B 地区空气质量等级”. 根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 的概率.（Ⅲ）若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择A ，B 两地区哪个地区.（只需写出结论） 16．（共13分）解：（Ⅰ）从A 地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况为“优良”的频率为510.7520-=，估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为3650.75274⨯≈天. -----------4分（Ⅱ）记1A 表示事件：“A 地区空气质量等级为优良”；2A 表示事件：“A 地区空气质量等级为轻中度污染”；1B 表示事件：“B 地区空气质量等级为轻中度污染”； 2B 表示事件：“B 地区空气质量等级为重度污染”，则1A 与1B 独立，2A 与2B 独立，1B 与2B 互斥，111222C A B A B A B =U U . 所以111222()()P C P A B A B A B =U U111222()()()P A B P A B P A B =++111222()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++.由所给数据得1A ，2A ，1B ，2B 发生的频率分别为34，15，15，320. 故13()4P A =，21()5P A =，11()5P B =，23()20P B =， 所以31313()()0.2925.4520520P C =⨯++⨯= --------------------10分 （Ⅲ）从空气质量角度，建议选择A 地区居住 . --------------------13分【顺义二模】16．（本小题满分13分）2018年2月25日第23届冬季奥运会在韩国平昌闭幕，中国以1金6银2铜的成绩结束本次冬奥会的征程.某校体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11人，具体的调查结果如下表：（Ⅰ）若该班女生人数比男生人数多4人，求该班男生人数和女生人数（Ⅱ）在该班全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率； （Ⅲ）若从该班调查对象中随机选取2人进行追踪调查，记选中的2人中对“本届冬奥会中国队表现”满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望．16．（Ⅰ）不妨设女生人数为X ，男生人数为Y ，则可得X-Y=4 （1）又由分层抽样可知，65X Y=（2）联立（1）（2）可解得X=24，Y=20（Ⅱ）设该生持满意态度为事件A ，则基本事件的总数有11种，事件A 中包含的基本事件有6种，所以()611P A =（Ⅲ）ξ的可能取值有0，1，2=0ξ对应的事件为从该班11名调查对象中抽取2人，2人中恰好有0人持满意态度基本事件的总数为211C =55，其中包含的基本事件数有2510C =种所以()10205511P ξ=== 同理：()116521*********C C P C ξ⋅====，()26211C 1532=C 5511P ξ=== 所以分布列为： 所以期望E =0+1+2=11111111ξ⨯⨯⨯【房山二模】 （16）（本小题13分）1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权。
2018年北京市西城区高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2018年北京市西城区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|x2﹣2x＜0}，则下列结论中正确的是（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．A⊆B D．B⊆A2．（5分）复数＝（）A．B．C．D．3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y＝x2C．y＝cos x D．y＝﹣ln|x| 4．（5分）某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧棱长是（）A．B．C．D．5．（5分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若向量λ与共线，则实数λ＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．26．（5分）设a，b∈R，且ab≠0．则“ab＞1”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）设不等式组表示的平面区域为D．若直线ax﹣y＝0上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．[1，2]D．[2，3]8．（5分）地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）A．A B．B C．D D．E二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）函数的最大值是．10．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为．11．（5分）在△ABC中，a＝3，b＝2，，则sin A＝．12．（5分）双曲线的焦距是；若圆（x﹣1）2+y2＝r2（r＞0）与双曲线C的渐近线相切，则r＝．13．（5分）为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4万棵，计划3年后全年植树12.5万棵．若植树的棵数每年的增长率均为a，则a＝．14．（5分）已知函数，其中a∈R．如果函数f（x）恰有两个零点，那么a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1＝b1＝1，a2＝b2，2+a4＝b3．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）求f（x）的取值范围．17．（13分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a，b的值；（Ⅱ）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；（III）某研究机构提出，可以选取常数X0＝4.5，若一名从业者该项身体指标检测值大于X0，则判断其患有这种职业病；若检测值小于X0，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率．18．（14分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD，G为AB的中点．CD＝DA＝AF＝FE＝2，AB ＝4．（Ⅰ）求证：DF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCF⊥平面GCE；（Ⅲ）求多面体AFEBCD的体积．19．（13分）已知函数，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线经过点（2，﹣1）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设b＞1，求f（x）在区间上的最大值和最小值．20．（14分）已知椭圆C：的离心率为，经过点（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线y＝x与椭圆C交于A，B两点，斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，与直线y＝x交于点P（点P与点A，B，M，N不重合）．（ⅰ）当k＝﹣1时，证明：|P A||PB|＝|PM||PN|；（ⅱ）写出以k为自变量的函数式（只需写出结论）．2018年北京市西城区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|x2﹣2x＜0}，则下列结论中正确的是（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．A⊆B D．B⊆A【解答】解：∵集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，∴A⊆B．故选：C．2．（5分）复数＝（）A．B．C．D．【解答】解：原式＝＝i．故选：C．3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y＝x2C．y＝cos x D．y＝﹣ln|x|【解答】解：y＝为奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递减；y＝x2为偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递增；y＝cos x为偶函数，且在区间（0，+∞）上不具单调性；y＝﹣ln|x|为偶函数，且在区间（0，+∞）上y＝﹣lnx单调递减．故选：D．4．（5分）某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧棱长是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知几何体是正四棱锥，底面边长为2，高为：3，所以正四棱锥的侧棱长为：＝．故选：B．5．（5分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若向量λ与共线，则实数λ＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【解答】解：根据图形可看出；满足与共线；∴λ＝2．故选：D．6．（5分）设a，b∈R，且ab≠0．则“ab＞1”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“ab＞1”当a＝﹣2，b＝﹣1时，不能得到“”，若“”，例如当a＝1，b＝﹣1时，不能得到“ab＞1“，故“ab＞1”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D．7．（5分）设不等式组表示的平面区域为D．若直线ax﹣y＝0上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．[1，2]D．[2，3]【解答】解：由不等式组作出可行域如图，∵直线ax﹣y＝0过定点O（0，0），要使直线ax﹣y＝0上存在区域D上的点，则直线ax﹣y＝0的斜率a∈[k OB，k OA]，联立，得A（1，3），联立，得B（2，1），∴，．∴a，故选：B．8．（5分）地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）A．A B．B C．D D．E【解答】解：同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放D、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s，得到D疏散乘客比A快；同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，得到A疏散乘客比E快；同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，得到A疏散乘客比C快；同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，同时开放C、D两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，得到D疏散乘客比B快．综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是D．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）函数的最大值是．【解答】解：函数是偶函数，x＜0时是增函数，x＞0时是减函数，所以x＝0时函数取得最大值：．故答案为：．10．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为5．【解答】解：在执行首次循环时，S＝1+12＝2，k＝1则：在执行第二次循环时，S＝2+32＝11，k＝3，在执行第三次循环时，S＝11+52＝36，k＝5．由于：S＞20，所以：输出k＝5．故答案为：511．（5分）在△ABC中，a＝3，b＝2，，则sin A＝．【解答】解：在△ABC中，a＝3，b＝2，，sin B＝＝，由正弦定理可得：，可得sin A＝＝．故答案为：．12．（5分）双曲线的焦距是10；若圆（x﹣1）2+y2＝r2（r＞0）与双曲线C的渐近线相切，则r＝．【解答】解：双曲线的焦距是：2c＝2×＝10；双曲线的渐近线方程为：3x±4y＝0，圆（x﹣1）2+y2＝r2（r＞0）与双曲线C的渐近线相切，可得：r＝＝．故答案为：10；．13．（5分）为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4万棵，计划3年后全年植树12.5万棵．若植树的棵数每年的增长率均为a，则a＝25%．【解答】解：由题意可知6.4（1+a）3＝12.5，∴（1+a）3＝，∴1+a＝，故a＝＝25%．故答案为：25%．14．（5分）已知函数，其中a∈R．如果函数f（x）恰有两个零点，那么a的取值范围是．【解答】解：x≤1时，y＝a+2x∈（a，2+a]，x＞1时，y＝+a∈（，+∞），两个函数都是增函数，函数f（x）恰有两个零点，可得：，解得a∈[﹣2，）．故答案为：[﹣2，）．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1＝b1＝1，a2＝b2，2+a4＝b3．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．依题意，得………………（2分）解得或（舍去）………………（4分）所以a n＝2n﹣1，．………………（6分）（Ⅱ）因为，………………（7分）所以………………（9分）＝………………（11分）＝．………………（13分）16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）求f（x）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由sin x+cos x≠0，得所以，其中k∈Z．所以f（x）的定义域为（Ⅱ）因为＝cos x﹣sin x＝由（Ⅰ）得，其中k∈Z，所以，所以f（x）的取值范围是．17．（13分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a，b的值；（Ⅱ）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；（III）某研究机构提出，可以选取常数X0＝4.5，若一名从业者该项身体指标检测值大于X0，则判断其患有这种职业病；若检测值小于X0，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为人．………………（2分）a＝1﹣0.10﹣0.35﹣0.25﹣0.15﹣0.10＝0.05，b＝1﹣0.10﹣0.20﹣0.30＝0.40．………………（4分）（Ⅱ）指标检测值不低于5的样本中，有患病者40×（0.30+0.40）＝28人，未患病者60×（0.10+0.05）＝9人，共37人．………………（6分）此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数约为人．………………（8分）（Ⅲ）当X0＝4.5时，在100个样本数据中，有40×（0.10+0.20）＝12名患病者被误判为未患病，………………（10分）有60×（0.10+0.05）＝9名未患病者被误判为患病者，………………（12分）因此判断错误的概率为．………………（13分）18．（14分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD，G为AB的中点．CD＝DA＝AF＝FE＝2，AB ＝4．（Ⅰ）求证：DF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCF⊥平面GCE；（Ⅲ）求多面体AFEBCD的体积．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为CD∥EF，且CD＝EF，所以四边形CDFE为平行四边形，所以DF∥CE．……（2分）因为DF⊄平面BCE，……（3分）所以DF∥平面BCE．……（4分）（Ⅱ）连接FG．因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AD⊥AB，所以AD⊥平面ABEF，所以BF⊥AD．………………（6分）因为G为AB的中点，所以AG∥CD，且AG＝CD；EF∥BG，且EF＝BG，所以四边形AGCD和四边形BEFG均为平行四边形．所以AD∥CG，所以BF⊥CG．………………（7分）因为EF＝EB，所以四边形BEFG为菱形，所以BF⊥EG．………………（8分）所以BF⊥平面GCE．………………（9分）所以平面BCF⊥平面GCE．………………（10分）（Ⅲ）设BF∩GE＝O．由（Ⅰ）得DF∥CE，所以DF∥平面GCE，由（Ⅱ）得AD∥CG，所以AD∥平面GCE，所以平面ADF∥平面GCE，所以几何体ADF﹣GCE是三棱柱．………………（11分）由（Ⅱ）得BF⊥平面GCE．所以多面体AFEBCD的体积V＝V ADF+V B﹣GCE………………（12分）﹣GCE＝＝．………………（14分）19．（13分）已知函数，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线经过点（2，﹣1）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设b＞1，求f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）f（x）的导函数为，………………（2分）所以f'（1）＝1﹣a．依题意，有，即，………………（4分）解得a＝1．………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得．当0＜x＜1时，1﹣x2＞0，﹣lnx＞0，所以f'（x）＞0，故f（x）单调递增；当x＞1时，1﹣x2＜0，﹣lnx＜0，所以f'（x）＜0，故f（x）单调递减．所以f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减．………………（8分）因为，所以f（x）最大值为f（1）＝﹣1．………………（9分）设，其中b＞1．………………（10分）则，故h（b）在区间（1，+∞）上单调递增．………………（11分）所以h（b）＞h（1）＝0，即，………………（12分）故f（x）最小值为．………………（13分）20．（14分）已知椭圆C：的离心率为，经过点（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线y＝x与椭圆C交于A，B两点，斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，与直线y＝x交于点P（点P与点A，B，M，N不重合）．（ⅰ）当k＝﹣1时，证明：|P A||PB|＝|PM||PN|；（ⅱ）写出以k为自变量的函数式（只需写出结论）．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c．依题意，得，b＝1，且a2＝b2+c2．解得．所以椭圆C的方程是．（Ⅱ）证明（ⅰ）由得，．k＝﹣1时，设直线l的方程为y＝﹣x+t．由得4x2﹣6tx+3t2﹣3＝0．令△＝36t2﹣48（t2﹣1）＞0，解得t2＜4．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．由得．所以|P A|•|PB|＝•|﹣||+|＝|．因为，同理．所以＝＝．所以|P A|•|PB|＝|PM|•|PN|．（ⅱ）．。
北京市八区2018届中考二模数学分类汇编：概率统计(含答案)
【东城二模】24．十八大报告首次提出建设生态文明，建设美丽中国. 十九大报告再次明确，到2035年美丽中国目标基本实现.森林是人类生存发展的重要生态保障，提高森林的数量和质量对生态文明建设非常关键.截止到2013年，我国已经进行了八次森林资源清查，其中全国和北京的森林面积和森林覆盖率情况如下：表1 全国森林面积和森林覆盖率表2 北京森林面积和森林覆盖率（以上数据来源于中国林业网）请根据以上信息解答下列问题：(1) 从第________次清查开始，北京的森林覆盖率超过全国的森林覆盖率；(2) 补全以下北京森林覆盖率折线统计图，并在图中标明相应数据；(3) 第八次清查的全国森林面积20768.73（万公顷）记为a ，全国森林覆盖率21.63%记为b ，到2018年第九次森林资源清查时，如果全国森林覆盖率达到27.15%，那么全国森林面积可以达到________万公顷（用含a 和b 的式子表示）.24. 解：(1)四； ---------------------------------------------------------------------1分（2）如图： ---------------------------------------------------------------------3分（3）.------------------------------------------------------5分5432000ab【西城二模】22.阅读下列材料：材料一：早在2011年9月25日，北京故宫博物院就开始尝试网络预售门票，2011年全年网络售票仅占1.68%.2012年至2014年，全年网络售票占比都在2%左右.2015年全年网络售票占17.33%，2016年全年网络售票占比增长至41.14%.2017年8月实现网络售票占比77%.2017年10月2日，首次实现全部网上售票.与此同时，网络购票也采用了“人性化”的服务方式，为没有线上支付能力的观众提供代客下单服务.实现全网络售票措施后，在北京故宫博物院的精细化管理下，观众可以更自主地安排自己的行程计划，获得更美好的文化空间和参观体验.材料二：以下是某同学根据网上搜集的数据制作的2013-2017年度中国国家博物馆参观人数及年增长率统计表.年度20132014201520162017参观人数（人次）7 450 0007 630 0007 290 0007 550 0008 060 000年增长率（%）38.7 2.4-4.5 3.6 6.8他还注意到了如下的一则新闻：2018年3月8日，中国国家博物馆官方微博发文，宣布取消纸质门票，观众持身份证预约即可参观. 国博正在建设智慧国家博物馆，同时馆方工作人员担心的是：“虽然有故宫免（纸质）票的经验在前，但对于国博来说这项工作仍有新的挑战.参观故宫需要观众网上付费购买门票，他遵守预约的程度是不一样的.但（国博）免费就有可能约了不来，挤占资源，所以难度其实不一样.” 尽管如此，国博仍将积极采取技术和服务升级，希望带给观众一个更完美的体验方式.根据以上信息解决下列问题：（1）补全以下两个统计图；（2）请你预估2018年中国国家博物馆的参观人数，并说明你的预估理由.3.22.解：（1）补全统计图如图（2）答案不唯一，预估理由合理，支撑预估数据即可．……………………… 6分【海淀二模】24．如图是甲、乙两名射击运动员的10次射击测试成绩的折线统计图.（1）根据折线图把下列表格补充完整；运动员平均数中位数众数甲8.59乙8.5（2）根据上述图表运用所学统计知识对甲、乙两名运动员的射击水平进行评价并说明理由.24．（1）补充表格：运动员平均数中位数众数甲8.599乙8.58.57和10（2）答案不唯一，可参考的答案如下：甲选手：和乙选手的平均成绩相同，中位数高于乙，打出9环及以上的次数更多，打出7环的次数较少，说明甲选手相比之下发挥更加稳定；乙选手：与甲选手平均成绩相同，打出10环次数和7环次数都比甲多，说明乙射击时起伏更大，但也更容易打出10环的成绩.【朝阳二模】24.“绿水青山就是金山银山”，北京市民积极参与义务植树活动.小武同学为了了解自己小区300户家庭在2018年4月份义务植树的数量，进行了抽样调查，随即抽取了其中30户家庭，收集的数据如下（单位：棵）：1 123 2 3 2 3 34 3 3 4 3 35 3 4 3 4 4 5 4 5 3 4 3 4 5 6（1）对以上数据进行整理、描述和分析：①绘制如下的统计图，请补充完整②这30户家庭2018年4月份义务植树数量的平均数是，众数是；（2）“互联网+全民义务植树”是新时代首都全民义务植树组织形式和尽责方式的一大创新，2018年首次推出义务植树网上预约服务，小武同学所调查的这30户家庭中有7户家庭采用了网上预约义务植树这种方式，由此可以估计该小区采用这种形式的家庭有户.24. 解：（1）①……………2分② 3.4, 3 ………………………………………………………4分（2）70 ……………………………………………………5分【丰台二模】23．某校七年级6个班的180名学生即将参加北京市中学生开放性科学实践活动送课到校课程的学习.学习内容包括以下7个领域：A.自然与环境，B.健康与安全，C.结构与机械，D.电子与控制，E.数据与信息，F.能源与材料，G.人文与历史.为了解学生喜欢的课程领域，学生会开展了一次调查研究，请将下面的过程补全.收集数据学生会计划调查30名学生喜欢的课程领域作为样本，下面抽样调查的对象选择合理的是___________；（填序号）①选择七年级1班、2班各15名学生作为调查对象②选择机器人社团的30名学生作为调查对象③选择各班学号为6的倍数的30名学生作为调查对象调查对象确定后，调查小组获得了30名学生喜欢的课程领域如下：A，C，D，D，G，G，F，E，B，G，C，C，G，D，B，A，G，F，F，A，G，B，F，G，E，G，A，B，G，G整理、描述数据整理、描述样本数据，绘制统计图表如下，请补全统计表和统计图．某校七年级学生喜欢的课程领域统计表某校七年级学生喜欢的课程领域统计图课程领域人数A4B4C3D3E2FG合计30分析数据、推断结论请你根据上述调查结果向学校推荐本次送课到校的课程领域，你的推荐是__________（填A-G的字母代号），估计全年级大约有_________名学生喜欢这个课程领域．23．收集数据抽样调查对象选择合理的是③. ………………………1分整理、描述数据如下：………………………4分某校七年级学生喜欢的课程领域统计表某校七年级学生喜欢的课程领域统计图EF CDGAB分析数据、推断结论 G ，60.………………………6分【石景山二模】23．某校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．剩大量60%不剩剩少量剩一半部分同学用餐剩余情况统计图（1）这次被调查的同学共有 人；（2）补全条形统计图，并在图上标明相应的数据；（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供50人食用一餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐．23．解: （1）1000； ………………2分（2）课程领域人数F 4G10………………4分（3）. ………………6分50180009001000⨯= 答：估计该校18000名学生一餐浪费的食物可供900人食用一餐．【昌平二模】23.某学校八、九两个年级各有学生180人，为了解这两个年级学生的体质健康情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．收集数据从八、九两个年级各随机抽取名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：2078867481757687707590八年级7579817074808669837793738881728194837783九年级80817081737882807040整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：成绩人x数部门4049x ≤≤5059x ≤≤6069x ≤≤7079x ≤≤8089x ≤≤90100x ≤≤八年级001111九年级1007（说明：成绩分及以上为体质健康优秀，~分为体质健康良好，~分为体质8070796069健康合格，分以下为体质健康不合格）60分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：年级平均数中位数众数方差八年级78.377.57533.6九年级7880.552.1请将以上两个表格补充完整；得出结论（1）估计九年级体质健康优秀的学生人数为__________；（2）可以推断出_______年级学生的体质健康情况更好一些，理由为__________________．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．23．解：成绩人x数部门4049x≤≤5059x≤≤6069x≤≤7079x≤≤8089x≤≤90100x≤≤八年级0011171九年级1007102（1）分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：年级平均数中位数众数方差八年级78.377.57533.6九年级7880.58152.1…………………………………2分（2）108；………………………………3分（3）答案不唯一，理由需支撑推断结论………………………………………6分【房山二模】24. 某商场甲、乙两名业务员10个月的销售额（单位：万元）如下：甲7.2 9.6 9.6 7.8 9.3 4 6. 5 8.5 9.9 9.6乙 5.8 9.7 9.7 6.8 9.9 6.9 8.2 6.7 8.6 9.7根据上面的数据，将下表补充完整：4.0≤x ≤4.95.0≤x ≤5.96.0≤x ≤6.97.0≤x ≤7.98.0≤x ≤8.99.0≤x ≤10.0甲101215乙（说明：月销售额在8.0万元及以上可以获得奖金，7.0~7.9万元为良好，6.0~6.9万元为合格，6.0万元以下为不合格）两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：人员平均数（万元）中位数（万元）众数（万元）甲8.28.99.6乙8.28.49.7x人员数量销售额结论 （1）估计乙业务员能获得奖金的月份有个；（2）可以推断出业务员的销售业绩好，理由为．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）24. 解：4.0≤x ≤4.95.0≤x ≤5.96.0≤x ≤6.97.0≤x ≤7.98.0≤x ≤8.99.0≤x ≤10.0乙013024……………………………………………………………………………………2′（1）6;………………………………………………………………………………………4′（2）答案不唯一，理由结合数据支撑选项即可…………………………………………6′x人员数量销售额。
2018北京各城区高三二模数学(文)分类汇编--导数解答题
1 / 11
所以 h(b) h(1) 0 ，即 f (b)
1 f ( ) ，……………… 12 分
b
故 f (x) 最小值为 f ( 1) b
b ln b 1 ．……………… 13 分 b
【海淀二模】
（ 19）（本小题 13 分）
已知函数 f ( x) ( x a )eax , a R x
（Ⅰ）求 f ( x) 的零点；
…………６分
所以 f '( x)
2 2x a .
x
设直线 y x 1与曲线 y f ( x) 的切点为（ x0 , f ( x0 ) ），
3 / 11
2
所以 f '(x0 )
2x0 a
x0
2x02 ax0 2 x0
1 ，即 2 x02 (a 1)x0 2 0 .
又因为 f ( x0 ) 2ln x0 x02 ax0 2 x0 1，
2018 北京各城区高三二模数学（文）分类汇编
【西城二模】 19．（本小题满分 13 分）
已知函数 f ( x) ln x ax ，曲线 y f ( x) 在 x 1 处的切线经过点 (2, 1) ． x
-- 导数解答题
（Ⅰ）求实数 a 的值；
（Ⅱ）设 b
1 ，求
f ( x) 在区间
1 [ , b]
（ 19）（共 13 分）
解： f (x) 的定义域为 (0, ) ．
……… 1 分
（Ⅰ）当 a 3 时， f ( x) 2ln x x2 3x 2 ，
2
所以 f '(x)
2x 3
x
2x2 3x 2
.
x
令 f '(x)
2 x2 3x 2 0 ，得 2x2 3x 2 0 ， x
2018年北京市东城区高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2018年北京市东城区高考数学二模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x+1＜0}，B＝{x|x﹣4≤0}，则∁U（A∩B）＝（）A．{x|x≤﹣1或x＞4}B．{x|x≥﹣1或x＜4}C．{x|x≥﹣1}D．{x|x＞4}2．（5分）某校高一年级有400名学生，高二年级有360名学生，现用分层抽样的方法在这760名学生中抽取一个样本．已知在高一年级中抽取了60名学生，则在高二年级中应抽取的学生人数为（）A．66B．54C．40D．363．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x值为9，则输出的y值为（）A．0B．1C．2D．44．（5分）若x2＜log2（x+1），则x的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣1，0）D．（0，+∞）5．（5分）已知圆x2+y2﹣4x+a＝0截直线所得弦的长度为，则实数a的值为（）A．﹣2B．0C．2D．66．（5分）设a，b，c∈R，则“a+b＞c”是“a＞c且b＞c”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知m是平面α的一条斜线，直线l过平面α内一点A，那么下列选项中能成立的是（）A．l⊂α，且l⊥m B．l⊥α，且l⊥m C．l⊥α，且l∥m D．l⊂α，且l∥m 8．（5分）已知函数f（x）＝x sin x，现给出如下命题：①当x∈（﹣4，﹣3）时，f（x）≥0；②f（x）在区间（0，1）上单调递增；③f（x）在区间（1，3）上有极大值；④存在M＞0，使得对任意x∈R，都有|f（x）|≤M．其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．②④D．③④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若复数（a+i）（1+i）为纯虚数，则实数a＝．10．（5分）若双曲线的一条渐近线方程为2x﹣y＝0，则双曲线的离心率为．11．（5分）若x，y满足，则3x+2y的最小值为．12．（5分）已知向量，满足||＝||＝1，且•（）＝，则与夹角的大小为．13．（5分）在△ABC中，，a＝2b，则＝；sin B＝．14．（5分）血药浓度（SerumDrugConcentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度（单位：mg/ml），通常用血药浓度来研究药物的作用强度．如图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点A i的横坐标表示服用第i种药后血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达到峰值一半时所用的时间（单位：h），点A i的纵坐标表示第i种药的血药浓度的峰值．（i＝1，2，3）①记V i为服用第i种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则V1，V2，V3中最大的是；②记T i为服用第i种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，则T1，T2，T3中最大的是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知{a n}是公差为2等差数列，数列{b n}满足b1＝1，，且（a n+1）b n+1＝nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和S n．16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）的对称轴方程；（Ⅱ）当时，f（x）≥m恒成立，求实数m的最大值．17．（13分）2017年北京市百项疏堵工程基本完成．有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组．A组：128，100，151，125，120．B组：100，102，96，101，a．已知B组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”．从A，B 两组数据中各随机抽取一个数据，求这两个数据对应的两次运行中至少有一次“正点运行”的概率；（Ⅲ）试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义．18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AC⊥BC，AC ＝BC＝CC1，E，F分别为A1B1，BC的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥C1F；（Ⅱ）求证：BE∥平面A1C1F；（Ⅲ）在棱CC1上是否存在一点G，使得平面B1EG⊥平面A1C1F？说明理由．19．（13分）设函数f（x）＝2lnx﹣x2+ax+2．（Ⅰ）当a＝3时，求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若直线y＝﹣x+1是曲线y＝f（x）的切线，求a的值．20．（14分）已知椭圆的右焦点为F（1，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）A，B是椭圆C在y轴右侧部分上的两个动点，若原点O到直线AB的距离为，证明：△ABF的周长为定值．2018年北京市东城区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x+1＜0}，B＝{x|x﹣4≤0}，则∁U（A∩B）＝（）A．{x|x≤﹣1或x＞4}B．{x|x≥﹣1或x＜4}C．{x|x≥﹣1}D．{x|x＞4}【解答】解：A＝{x|x＜﹣1}，B＝{x|x≤4}；∴A∩B＝{x|x＜﹣1}；∴∁U（A∩B）＝{x|x≥﹣1}．故选：C．2．（5分）某校高一年级有400名学生，高二年级有360名学生，现用分层抽样的方法在这760名学生中抽取一个样本．已知在高一年级中抽取了60名学生，则在高二年级中应抽取的学生人数为（）A．66B．54C．40D．36【解答】解：某校高一年级有400名学生，高二年级有360名学生，现用分层抽样的方法在这760名学生中抽取一个样本．在高一年级中抽取了60名学生，设在高二年级中应抽取的学生人数为x，则，解得x＝54．∴在高二年级中应抽取的学生人数为54人．故选：B．3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x值为9，则输出的y值为（）A．0B．1C．2D．4【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝9满足条件x＞2，执行循环体，x＝7满足条件x＞2，执行循环体，x＝5满足条件x＞2，执行循环体，x＝3满足条件x＞2，执行循环体，x＝1不满足条件x＞2，退出循环，y＝21＝2，输出y的值为2．故选：C．4．（5分）若x2＜log2（x+1），则x的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣1，0）D．（0，+∞）【解答】解：分别画出y＝x2与y＝log2（x+1）的图象，如图所示：结合图象可得满足x2＜log2（x+1）时x的取值范围是（0，1），故选：A．5．（5分）已知圆x2+y2﹣4x+a＝0截直线所得弦的长度为，则实数a的值为（）A．﹣2B．0C．2D．6【解答】解：圆x2+y2﹣4x+a＝0的圆心C（2，0），半径r＝＝，∵圆x2+y2﹣4x+a＝0截直线所得弦的长度为，圆心C（2，0）到直线x﹣的距离d＝＝1，∴2＝2＝2，解得a＝0．故选：B．6．（5分）设a，b，c∈R，则“a+b＞c”是“a＞c且b＞c”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“a＞c且b＞c”⇒a+b＞2c，不一定得出a+b＞c，反之也不成立，例如取a＝1，b＝3，c＝2．∴“a+b＞c”是“a＞c且b＞c”的既不充分也不必要条件．故选：D．7．（5分）已知m是平面α的一条斜线，直线l过平面α内一点A，那么下列选项中能成立的是（）A．l⊂α，且l⊥m B．l⊥α，且l⊥m C．l⊥α，且l∥m D．l⊂α，且l∥m 【解答】解：由m是平面α的一条斜线，直线l过平面α内一点A，知：在A中，l⊂α，且l与m相交或异面，有可能垂直，故A正确；在B中，l⊂α，故B错误；在C中，l⊂α，故C错误；在D中，l与m平行或相交，故D错误．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）＝x sin x，现给出如下命题：①当x∈（﹣4，﹣3）时，f（x）≥0；②f（x）在区间（0，1）上单调递增；③f（x）在区间（1，3）上有极大值；④存在M＞0，使得对任意x∈R，都有|f（x）|≤M．其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【解答】解：当x∈（﹣4，﹣π）时，sin x＞0，f（x）＜0，故①为假命题；f′（x）＝sin x+x cos x，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0恒成立，故f（x）在区间（0，1）上单调递增，故②为真命题；∵f′（1）＝sin1+cos1＞0，f′（3）＝sin3+3cos3＜0，且f′（x）在在区间（1，3）上连续，故存在x0∈（1，3），使x∈（1，x0）时，f′（x）＞0，x∈（x0，3）时，f′（x）＜0，故当x＝x0时，f（x）取极大值，故③为真命题；由函数f（x）＝x sin x不存在最大值和最小值，故不存在M＞0，使得对任意x∈R，都有|f（x）|≤M．故④为假命题，故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若复数（a+i）（1+i）为纯虚数，则实数a＝1．【解答】解：∵（a+i）（1+i）＝（a﹣1）+（a+1）i为纯虚数，∴，即a＝1．故答案为：1．10．（5分）若双曲线的一条渐近线方程为2x﹣y＝0，则双曲线的离心率为．【解答】解：∵双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为2x﹣y＝0，∴b＝2a，∴c＝a，∴双曲线的离心率是e＝＝．故答案为：．11．（5分）若x，y满足，则3x+2y的最小值为12．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，令z＝3x+2y，则y＝﹣x+，显然直线过A（2，3）时，z最小，故z是最小值是12，故答案为：12．12．（5分）已知向量，满足||＝||＝1，且•（）＝，则与夹角的大小为．【解答】解：根据题意，设向量与夹角为θ，向量，满足||＝||＝1，若•（）＝，则有•﹣2＝cosθ﹣1＝﹣，解可得cosθ＝，又由0≤θ≤π，则θ＝；故答案为：．13．（5分）在△ABC中，，a＝2b，则＝2；sin B＝．【解答】解：根据题意，设b＝t，则a＝2b＝2t，则c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝4t2+t2﹣2×2t×＝4t2，则c＝2t，则＝＝2；则cos B＝＝＝，则sin B＝＝；故答案为：2，．14．（5分）血药浓度（SerumDrugConcentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度（单位：mg/ml），通常用血药浓度来研究药物的作用强度．如图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点A i的横坐标表示服用第i种药后血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达到峰值一半时所用的时间（单位：h），点A i的纵坐标表示第i种药的血药浓度的峰值．（i＝1，2，3）①记V i为服用第i种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则V1，V2，V3中最大的是V1；②记T i为服用第i种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，则T1，T2，T3中最大的是T3．【解答】解：由图可知，第一种新药在最短时间内达到峰值，且峰值最大，则服用第一种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度V1最大；服用第三种新药后血药浓度达到峰所有时间最长，则服用第3种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间T3最大．故答案为：V1；T3．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知{a n}是公差为2等差数列，数列{b n}满足b1＝1，，且（a n+1）b n+1＝nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）∵（a n+1）b n+1＝nb n，∴n＝1时，（a1+1）b2＝b1，∵b1＝1，，∴（a1+1）×＝1，解得a1＝1．∵{a n}是公差为2等差数列，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：a n＝2n﹣1．∵（a n+1）b n+1＝nb n．∴2nb n+1＝nb n．∴b n+1＝b n．∴数列{b n}是首项为1，公比为的等比数列．∴S n＝＝2，n∈N*．16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）的对称轴方程；（Ⅱ）当时，f（x）≥m恒成立，求实数m的最大值．【解答】解：（Ⅰ）函数＝2sin•﹣2cos•+2cos＝sin+cos＝2sin（+），因为y＝sin x的对称轴方程为x＝kπ+，k∈Z，所以，+＝kπ+，k∈Z，即x＝2kπ+，所以，曲线y＝f（x）的对称轴方程为x＝2kπ+，k∈Z．（Ⅱ）当时，+∈[，π]，所以当，即当时，f（x）取得最小值为0．根据f（x）≥m恒成立，可得实数m的最大值为0．17．（13分）2017年北京市百项疏堵工程基本完成．有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组．A组：128，100，151，125，120．B组：100，102，96，101，a．已知B组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”．从A，B 两组数据中各随机抽取一个数据，求这两个数据对应的两次运行中至少有一次“正点运行”的概率；（Ⅲ）试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）因为B组数据的中位数为100，所以a≤100．因为从B组中随机抽取一个数不小于100的概率是，所以a≥100．所以a＝100．…………（5分）（Ⅱ）从A组中取到128，151，125，120时，B组中符合题意的取法为100，96，100，共4×3＝12种；从A组中取到100时，B组中符合题意的取法为100，102，96，101，100，共1×5＝5种；因此符合题意的取法共有12+5＝17种，而所有不同的取法共有5×5＝25种，所以该路公交车至少有一次“正点运行”的概率．…………（10分）（Ⅲ）B组的方差小于A组的方差，说明疏堵工程完成后，该路公交车全程所用时间更加稳定，而且“正点运行”率高，运行更加有保障．…………（13分）18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AC⊥BC，AC ＝BC＝CC1，E，F分别为A1B1，BC的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥C1F；（Ⅱ）求证：BE∥平面A1C1F；（Ⅲ）在棱CC1上是否存在一点G，使得平面B1EG⊥平面A1C1F？说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵侧棱垂直于底面，∴CC1⊥平面ABC，则CC1⊥AC．∵AC⊥BC，CC1∩BC＝C，∴AC⊥平面BCC1B1．∵C1F⊂平面BCC1B1，∴AC⊥C1F；（Ⅱ）证明：取A1C1的中点H，连结EH，FH．则EH∥B1C1，且，又∵BF∥B1C1，且，∴EH∥BF，且EH＝BF．∴四边形BEHF为平行四边形，则BE∥FH．又BE⊄平面A1C1F，FH⊂平面A1C1F，∴BE∥平面A1C1F；（Ⅲ）解：在棱CC1上存在点G，且G为CC1的中点．证明：连接EG，GB1．在正方形BB1C1C中，∵F为BC中点，∴△B1C1G≌△C1CF．∴∠C1CF+∠B1GC1＝90°，则B1G⊥C1F．由（Ⅰ）可得AC⊥平面BB1C1C，∵AC∥A1C1，∴A1C1⊥平面BB1C1C．∵B1G⊂平面BB1C1C，∴A1C1⊥B1G．∵A1C1∩C1F＝C1，∴B1G⊥平面A1C1F．∵B1G⊂平面B1EG，∴平面B1EG⊥平面A1C1F．19．（13分）设函数f（x）＝2lnx﹣x2+ax+2．（Ⅰ）当a＝3时，求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若直线y＝﹣x+1是曲线y＝f（x）的切线，求a的值．【解答】解：函数f（x）＝2lnx﹣x2+ax+2，则f（x）的定义域为（0，+∞）．（Ⅰ）当a＝3时，f（x）＝2lnx﹣x2+3x+2，所以．令，得﹣2x2+3x+2＝0，因为x＞0，所以x＝2．f（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的变化情况如下：所以f（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间（2，+∞）．f（x）有极大值2ln2+4，f（x）无极小值，（Ⅱ）因为f（x）＝2lnx﹣x2+ax+2，所以．设直线y＝﹣x+1与曲线y＝f（x）的切点为（x0，f（x0）），所以，即．又因为，即所以．设g（x）＝2lnx+x2﹣1，因为，所以g（x）在区间（0，+∞）上单调递增．所以g（x）在区间（0，+∞）上有且只有唯一的零点．所以g（1）＝0，即x0＝1．所以a＝﹣1．20．（14分）已知椭圆的右焦点为F（1，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）A，B是椭圆C在y轴右侧部分上的两个动点，若原点O到直线AB的距离为，证明：△ABF的周长为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得解得所以椭圆C的方程为+＝1，（Ⅱ）①当AB垂直于x轴时，AB方程为，，，证明：F（1，0），|AF|＝|BF|＝＝2﹣因为，所以|AF|+|BF|+|AB|＝4．②当AB不垂直于x轴时，设AB程为y＝kx+m，原点O到直线AB的距离为，所以，即m2＝3（1+k2）．由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，即（3+4k2）x2+8kmx+12k2＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝．所以|AB|＝•＝•＝因为A，B在y轴右侧，所以mk＜0，所以|AB|＝﹣．所以|AF|2＝（x1﹣1）2+y12＝（x1﹣1）2+3（1﹣）＝（x1﹣2）2，所以|AF|＝2﹣x1，同理|BF|＝2﹣x2．所以|AF|+|BF|＝4﹣（x1+x2）＝4+．所以|AF|+|BF|+|AB|＝4+﹣＝4．综上，△ABF的周长为4。
2018年北京市东城区高考数学二模试卷(文科)
【解答】
圆 ＝ 的圆心 ，半径 ，
∵圆 ＝ 截直线 所得弦的长度为 ，
圆心 到直线 的距离 ，
∴ ，解得 ＝ ．
6.
【答案】
D
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
由“ 且 ” ，不一定得出 ，反之也不成立．
【解答】
∴在高二年级中应抽取的学生人数为 人．
故选 .
3.
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算 的值并输出变量 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】
模拟程序的运行，可得
满足条件 ，执行循环体，
满足条件 ，执行循环体，
满足条件 ，执行循环体，
根据图象，依据题意逐个判断得答案．
【解答】
由图可知，第一种新药在最短时间内达到峰值，且峰值最大，
则服用第一种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度 最大；
服用第三种新药后血药浓度达到峰所有时间最长，
则服用第 种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间 最大．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
【解答】
Ⅰ 因为 组数据的中位数为 ，
所以
因为从 组中随机抽取一个数不小于 的概率是 ，
所以
所以
Ⅱ 从 组中取到 ， ， ， 时， 组中符合题意的取法为 ， ， ，
共 种；
从 组中取到 时， 组中符合题意的取法为 ， ， ， ， ，
共 种；
因此符合题意的取法共有 种，
2018年北京市朝阳区高考数学二模试卷(文科)
2018年北京市朝阳区高考数学二模试卷（文科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x2-3x+2＜0}，B={x|x≥1}，则A∪B=（）A. （-∞，2]B. （1，+∞）C. （1，2）D. [1，+∞）2.计算（1-i）2=（）A. 2iB. -2iC. 2-iD. 2+i3.已知x，y满足不等式，则z=y-3x的最小值是（）A. 1B. -3C. -1D.4.在△ABC中，a=1，，，则c=（）A. B. C. D.5.“0＜a＜1且0＜b＜1”是“log a b＞0”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.如图，角α，β均以Ox为始边，终边与单位圆O分别交于点A，B，则=（）A. sin（α-β）B. sin（α+β）C. cos（α-β）D. cos（α+β）7.已知定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且a+b＞0，b+c＞0，a+c＞0，则f（a）+f（b）+f（c）的值（）A. 恒为正B. 恒为负C. 恒为0D. 无法确定8.某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为（）A. 4B. 5C. 6D. 7二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.执行如图所示的程序框图，则输出的S=______．10.双曲线的焦点坐标是______；渐近线方程是______．11.已知x＞0，y＞0，且满足x+y=4，则lgx+lgy的最大值为______．12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是______．13.在平面直角坐标系xOy中，点P（不过原点）到x轴，y轴的距离之和的2倍等于点P到原点距离的平方，则点P的轨迹所围成的图形的面积是______．14.如图，已知四面体ABCD的棱AB∥平面α，且AB=，其余的棱长均为1．四面体ABCD以AB所在的直线为轴旋转x弧度，且始终在水平放置的平面α上方．如果将四面体ABCD在平面α内正投影面积看成关于x的函数，记为S（x），则函数S （x）的最小值为______；S（x）的最小正周期为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）-a的图象经过点（），a∈R．（1）求a的值，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）若当x∈[0，]时，求函数f（x）的最小值．16.已知数列{a n}的前n项和S n=pn2+qn（p，q∈R，n∈N*）且a1=3，S4=24．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．年份2008200920102011201220132014201520162017侧柏3200360033003900350033003900360041004000银杏3400330036003600370042004400370042004200（1）根据表中数据写出这10年内银杏数列的中位数，并计算这10年栽种银杏数量的平均数；（2）从统计的数据中，在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于300株的年份中，任意抽取2年，恰有1年栽种侧柏的数列比银杏数量多的概率．17.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD．△PBC是等腰三角形，且PB=PC=3．四边形ABCD是直角梯形，AB∥DC，AD⊥DC，AB=5，AD=4，DC=3．（1）求证：AB∥平面PDC；（2）当平面PBC⊥平面ABCD时，求四棱锥P-ABCD的体积；（3）请在图中所给的五个点P，A，B，C，D中找出两个点，使得这两点所在的直线与直线BC垂直，并给出证明．18.已知椭圆：（a＞b＞0）的离心率为，其左顶点A在圆O：x2+y2=4上（O为坐标原点）．（1）求椭圆W的方程；（2）过点A作直线AQ交椭圆W于另外一点Q，交y轴于点R，P为椭圆W上一点，且OP∥AQ，求证：为定值．19.已知函数f（x）=xe x，g（x）=ax+1，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线y=g（x）垂直，求a的值；（2）若方程f（x）-g（x）=0在（-2，2）上恰有两个不同的实数根，求a的取值范围；（3）若对任意x1∈[-2，2]，总存在唯一的x2∈（-∞，2），使得f（x2）=g（x1），求a的取值范围．答案和解析1.【答案】 D【解析】【分析】考查描述法及区间表示集合的定义，以及并集的概念及运算，及一元二次不等式的解法．可解出集合A，然后进行并集的运算即可．【解答】解：A={x|1＜x＜2}，B={x|x≥1}；∴A∪B={x|x≥1}=[1，+∞）．故选D．2.【答案】 B【解析】解：（1-i）2=-2i，故选：B．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】 D【解析】解：由z=y-3x，得y=3x+z，作出x，y满足不等式对应的可行域：平移直线y=3x+z，由平移可知当直线y=3x+z经过点A时，直线y=3x+z的截距最小，此时z取得最小值，由，解得A（，1）代入z=y-3x，得z=1-3×=-，即z=y-3x的最小值为-．故选：D．作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．4.【答案】 A【解析】解：∵a=1，，，∴由正弦定理可得：b===，可得：sinC=sin（π-A-B）=，∴由正弦定理可得：c===．故选：A．由已知利用正弦定理可求b，利用三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正弦函数公式可求sinC的值，进而利用正弦定理可求c的值．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5.【答案】 A【解析】解：∵log a b＞0=log a1，∴0＜a＜1，0＜b＜1，或a＞1，b＞1，故0＜a＜1且0＜b＜1”是“log a b＞0”的充分不必要条件，故选：A．根据对数函数的性质以及充分必要条件的定义判断即可．本题考查了充分必要条件，考查对数函数的性质，是一道基础题．6.【答案】 C【解析】解：根据题意，角α，β均以Ox为始边，终边与单位圆O分别交于点A，B，则A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），则有=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）；故选：C．根据题意，由任意角三角函数的定义可得A、B的坐标，由数量积的计算公式，由和差公式分析可得答案．可得=cosαcosβ+sinαsinβ本题考查三角函数中和差公式的应用，涉及向量数量积的坐标计算公式，属于基础题．7.【答案】 B【解析】解：定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，故函数f（x）在（-∞，0]上也单调递减，故f（x）在R上单调递减．根据a+b＞0，b+c＞0，a+c＞0，可得a＞-b，b＞-c，c＞-a，∴f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-c），f（c）＜f（-a），∴f（a）+f（b）+f（c）＜f（-b）+f（-c）+f（-a）=-f（a）-f（b）-f（c），∴f（a）+f（b）+f（c）＜0，故选：B．由题意利用函数的单调性和奇偶性的性质，求得f（a）+f（b）+f（c）＜0，可得结论．本题主要考查函数的单调性和奇偶性的性质，属于基础题．8.【答案】 C【解析】解：由题意可得，冠军得分比其他参赛人员高，且获胜场次比其他人都少，所以冠军与杯热匹配场次中，平均至少为3场，A选项：若最少4人，当冠军3次平局时，得3分，其他人至少1胜1平局，最低得3分，故A不成立，B选项：若最少5人，当冠军1负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平，最低得3分，不成立，当冠军1胜3平局时，得5分，其他人至少2胜1平，最低得5分，不成立，故B不成立，C选项：若最少6人，当冠军2负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平，最低得3分，不成立，当冠军1胜4平局时，得6分，其他人至少2胜1平，最低得5分，成立，故C 成立，D选项：7＞6，故不为最少人数，故不成立，故选：C．由题意可得，冠军得分比其他参赛人员高，且获胜场次比其他人都少，所以冠军与杯热匹配场次中，平均至少为3场，分别对于4，5，6分类讨论即可判断本题考查了逻辑推理问题，关键掌握题干的意义，属于中档题9.【答案】40【解析】解：模拟程序的运行，可得k=0，S=1满足条件k＜3，执行循环体，k=1，S=1+3=4满足条件k＜3，执行循环体，k=2，S=4+9=13满足条件k＜3，执行循环体，k=3，S=13+27=40此时，不满足条件k＜3，退出循环，输出S的值为40．故答案为：40．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.【答案】（，0）；【解析】解：双曲线，可得a=2，b=，c=，双曲线的焦点坐标是（，0），双曲线的渐近线方程为：．故答案为：（，0）；．利用双曲线方程，直接求解焦点坐标以及渐近线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．11.【答案】lg4【解析】解：根据题意，lgx+lgy=lgxy，又由x＞0，y＞0，且x+y=4，则xy≤（）2=4；则有lgx+lgy=lgxy≤lg4，即lgx+lgy的最大值为lg4．故答案为：lg4．根据题意，由对数的运算性质可得lgx+lgy=lgxy，结合基本不等式的性质可得xy≤（）2=4，进而结合对数的运算性质分析可得答案．本题考查基本不等式的应用，关键是掌握基本不等式的变形．12.【答案】【解析】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以侧视图为底面的三棱锥，其直观图如图所示：在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中：该几何体为图中的四面体D1-A1BD，表面积S==；故答案为：．由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，计算出各个面的面积，可得答案．本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．13.【答案】8+4π【解析】解：设P（x，y），由题意可得：2|x|+2|y|=x2+y2，轨迹图形如图：则点P的轨迹所围成的图形的面积是：=8+4π．故答案为：8+4π．设出P的坐标，求解轨迹方程，画出图形求解即可．本题考查轨迹方程的求法，考查数形结合以及计算能力．14.【答案】；π【解析】解：取AB的中点M，连结CM，DM，∵DA=DB，CA=CB，∴AB⊥CM，AB⊥DM，∴AB⊥平面CDM，∴AB⊥CD．∵AB=，AC=BC=CD=1，∴AC⊥BC，CM=DM=，∴CM⊥DM，∴M到CD的距离为．∴当CD⊥α时，S（x）取得最小值=，由三棱锥的对称性可知S（x）的最小正周期为π．故答案为：，π．设M为AB的中点，求出M到CD的距离，即可得出S（x）的最小值，根据三棱锥的对称性得出S（x）的周期．本题考查了棱锥的几何特征，投影面积的计算，属于中档题．15.【答案】解：（1）函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）-a的图象经过点（），故：2-a=1，解得：a=1．所以：f（x）=2sin x（sin x+cosx），=2sin2x+2sinx?cosx，=1-cos2x+sin2x，=，令：（k∈Z），解得：（k∈Z），故函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．（2）由于：x∈[0，]，故：，当2x-=，即：x=0时，函数的最小值为0．【解析】（1）首先利用点的坐标求出a的值，进一步利用三角函数关系式的恒等变换求出函数为正弦型函数，最后求出函数的单调区间．（2）利用正弦型函数的性质，进一步利用整体思想求出函数的最小值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．16.【答案】解：（1）数列{a n}的前n项和S n=pn2+qn（p，q∈R，n∈N*），可得数列{a n}为等差数列，设公差为d．∵a1=3，S4=24，∴4×3+d=24，解得d=2．∴a n=3+2（n-1）=2n+1．（2）b n==22n+1=2×4n．∴数列{b n}的前n项和T n==（4n-1）．【解析】（1）数列{a n}的前n项和S n=pn2+qn（p，q∈R，n∈N*），可得数列{a n}为等差数列，设公差为d．a1=3，S4=24，可得4×3+d=24，解得d．利用通项公式可得a n．（2）b n==22n+1=2×4n．利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）根据统计表中的数据得：这10年内银杏数列中的数字从小到大为：3300，3400，3600，3600，3700，3700，4200，4200，4200，4400，∴这10年内银杏数列的中位数是：=3700．这10年栽种银杏数量的平均数为：=（3300+3400+3600+3600+3700+3700+4200+4200+4200+4400）=3830．（2）从统计的数据中，在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于300株的年份有：2009年，2010年，2011年，2013年，2014年，共5年，其中栽种侧柏的数列比银杏数量多的年份有2009年，2011年，有2年，∴在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于300株的年份中，任意抽取2年，基本事件总数n==10，恰有1年栽种侧柏的数列比银杏数量多包含的基本事件个数m==6，∴恰有1年栽种侧柏的数列比银杏数量多的概率p==．【解析】（1）根据统计表中的数据能求出这10年内银杏数列的中位数和这10年栽种银杏数量的平均数．（2）从统计的数据中，在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于300株的年份有：2009年，2010年，2011年，2013年，2014年，共5年，其中栽种侧柏的数列比银杏数量多的年份有2009年，2011年，有2年，由此能求出在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于300株的年份中，任意抽取2年，恰有1年栽种侧柏的数列比银杏数量多的概率．本题考查中位数、平均数、概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.【答案】（1）证明：∵AB∥DC，且DC?平面PDC，AB?平面PDC，∴AB∥平面PDC；（2）解：取BC中点D，∵PB=PC，∴PD⊥BC，又平面PBC⊥平面ABCD，且平面PBC∩平面ABCD=BC，∴PD⊥平面ABCD，则PD为四棱锥P-ABCD的高，在底面直角梯形ABCD中，由AB=5，AD=4，DC=3，得，且BC=．又PB=PC=3，∴PD=．∴；（3）解：图中PA⊥BC．证明如下：由（2）知，PD⊥BC，作CG⊥AB，在直角三角形CGB中，可得cos，在三角形ADB中，由余弦定理可得，则AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BC，又AD∩PD=D，∴BC⊥平面PAD，则PA⊥BC．【解析】（1）由已知AB∥DC，直接利用线面平行的判定证明AB∥平面PDC；（2）取BC中点D，由PB=PC，可得PD⊥BC，结合面面垂直的性质可得PD⊥平面ABCD，则PD为四棱锥P-ABCD的高，求出底面直角梯形的面积，代入棱锥体积公式求四棱锥P-ABCD的体积；（3）图中PA⊥BC．由（2）知，PD⊥BC，作CG⊥AB，在直角三角形CGB中，可得cos，再求解三角形可得AD⊥BC，由线面垂直的判定可得BC⊥平面PAD，从而得到PA⊥BC．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间中直线与直线的位置关系，训练了多面体体积的求法，是中档题．19.【答案】解：（1）由e==，由其左顶点A在圆O：x2+y2=4上，则a=2，∴c=，∴b2=a2-c2=1，∴椭圆W的方程为+y2=1，证明：（2）由题意可知过点A的直线斜率存在，设斜率为k，则直线AQ方程为y=k（x+2），由，消y可得（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0，解得x=-2，或x=，∴或，∴A（-2，0），Q（，），∴|AQ|=，对于y=k（x+2），当x=0时，y=2k，∴R（0，2k），∴|AR|=2，由P为椭圆W上一点，且OP∥AQ，可设OP的直线方程为y=kx，由，解得x2=，y2=∴|OP|=，∴==4．【解析】（1）由e==，由其左顶点A在圆O：x2+y2=4上，则a=2，即可求出椭圆方程，（2）由题意可知过点A的直线斜率存在，设斜率为k，则直线AQ方程为y=k （x+2），由，可求出|AQ|=，对于y=k（x+2），当x=0时，y=2k，则可得|AR|=2，由OP的直线方程为y=kx，可得，可求出|OP|=，即可证明．本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了运算能力和转化能力，考查了分析问题解决问题能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）∵f′（x）=（x+1）e x，∴f′（0）=1，即曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1，∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线y=g（x）垂直，∴a=-1；（2）若方程f（x）-g（x）=0在（-2，2）上恰有两个不同的实数根，即xe x=ax+1在（-2，2）上恰有两个不同的实数根，当x=0时，等式成立，故a=在（-2，0）∪（0，2）上恰有一个实数根，令h（x）=，则h′（x）=＞0恒成立，故h（x）=在（-2，0）和（0，2）上均为增函数；当x∈（-2，0）时，h（x）∈（，+∞）；当x∈（0，2）时，h（x）∈（-∞，），综上可得：a∈（-∞，）∪（，+∞）；（3）由（1）中f′（x）=（x+1）e x得：当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＜0，函数为减函数；当x∈（-1，2）时，f′（x）＞0，函数为增函数；故当x=-1时，函数f（x）取最小值，当x=-2时，函数f（x）=当x=2时，函数f（x）=2e2；①当a＜0时，由x1∈[-2，2]得：g（x1）∈[2a+1，-2a+1]，由对任意x1∈[-2，2]，总存在唯一的x2∈（-∞，2），使得f（x2）=g（x1）得：[2a+1，-2a+1]?（，2e2]，解得：a∈（，0）；②当a=0时，由x1∈[-2，2]得：g（x1）=1，满足对任意x1∈[-2，2]，总存在唯一的x2∈（-∞，2），使得f（x2）=g（x1）③当a＞0时，由x1∈[-2，2]得：g（x1）∈[-2a+1，2a+1]，由对任意x1∈[-2，2]，总存在唯一的x2∈（-∞，2），使得f（x2）=g（x1）得：[-2a+1，2a+1]?（，2e2]，解得：a∈（0，）；综上可得：a∈（，）．【解析】（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线y=g（x）垂直，则f′（0）?a=-1，解得a的值；（2）若方程f（x）-g（x）=0在（-2，2）上恰有两个不同的实数根，故a=在（-2，0）∪（0，2）上恰有一个实数根，进而得到答案；（3）若对任意x1∈[-2，2]，总存在唯一的x2∈（-∞，2），使得f（x2）=g（x1），则g（x1）的值域D满足D?（，2e2]，进而得到答案．本题考查的知识点是利用导数研究函数最值，直线的位置关系，恒成立问题与存在性问题，难度较大．。
北京市6城区2018届高三第一学期期末数学(文)试题分类汇编：10概率统计
统计【海淀期末】（4）下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5各同学在一次数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题5分，共8道题）：已知两组数据的平均数相等，则,x y的值分别为A.0,0B.0,5C.5,0D.5,5【朝阳期末】3．某便利店记录了100天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表：试估计该商品日平均需求量为A．16B．16.2C．16.6D．16.8【丰台期末】10．某单位员工中年龄在20~35岁的有180人，35~50岁的有108人，50~60岁的有72人.为了解该单位员工的日常锻炼情况，现采用分层抽样的方法从该单位抽取20人进行调查，那么在35~50岁年龄段应抽取人．【海淀期末】（17）（本小题14分）据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。
为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小．．．．，速．度越快，单位是MIPS ） 设,i i a b 分别表示第次测试中品牌A 和品牌B 的测试结果，记i i i X a b =-(1,2,,12)i = （Ⅰ）求数据12312,,,,X XX X 的众数；（Ⅱ）从满足4i X =的测试中随机抽取两次，求品牌A 的测试结果恰好有一次大于品牌B 的测试结果的概率；（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价. 【西城期末】17．（本小题满分13分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A ，B 两类（评定标准见表1）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为1A 的学生中有40%是男生，等级为2A 的学生中有一半是女生．等级为1A 和2A 的学生统称为A 类学生，等级为1B 和2B 的学生统称为B 类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图2所示的频率分布直方图．表1 图2（Ⅰ）已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为A 类学生的人数；（Ⅱ）某5人得分分别为45,50,55,75,85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名B类学生”的概率；k，（Ⅲ）在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%，B类女生占女生总数的比例为1 B类男生占男生总数的比例为2k．判断1k与2k的大小．（只需写出结论）【东城期末】（17）（本小题14分）“砥砺奋进的五年”，首都经济社会发展取得新成就.自2012年以来，北京城乡居民收入稳步增长.随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收入快速增长，人民生活品质不断提升.下图是北京市2012-2016年城乡居民人均可支配收入实际增速趋势图（例如2012年，北京城镇居民收入实际增速为7.3%，农村居民收入实际增速为8.2%）.（Ⅰ）从2012-2016五年中任选一年，求城镇居民收入实际增速大于7%的概率；（Ⅱ）从2012-2016五年中任选一年，求至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大？（结论不要求证明）【朝阳期末】17．（本小题满分13分）2017年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行．整个比赛精彩纷呈，参赛选手展现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场精彩对决．图1（扇形图）和表1是其中一场关键比赛的部分数据统计．两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图1．在乒乓球比赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法．选手乙在比赛中的接发球技术统计如表1，其中的前4项技术统称反手技术，后3项技术统称为正手技术．图1选手乙的接发球技术统计表表1（Ⅰ）观察图1，在两位选手共同使用的8项技术中，差异最为显著的是哪两项技术？（Ⅱ）乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球．从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率是多少？（Ⅲ）如果仅从表1中选手乙接发球得分率的稳定性来看（不考虑使用次数），你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定？（结论不要求证明）【丰台期末】18．某校为了鼓励学生热心公益，服务社会，成立了“慈善义工社”.2017年12月，该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会，学生可通过网路平台报名参加活动.为了解学生实际参加这4次活动的情况，该校随机抽取100名学生进行调查，数据统计如下表，其中“√”表示参加，“×”表示未参加.（Ⅰ）从该校所有学生中任取一人，试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率；（Ⅱ）若在已抽取的100名学生中，2017年12月恰参加了1次活动的学生比4次活动均未参加的学生多17人，求,a b 的值；（Ⅲ）若学生参加每次公益活动可获得10个公益积分，试估计该校4000名学生中，2017年12月获得的公益积分不少于30分的人数. 【石景山期末】17．（本小题共13分）某学校高三年级共有1000名学生，其中男生650人，女生350人，为了调查学生周末的休闲方式，用分层抽样的方法抽查了200名学生. （Ⅰ）完成下面的22 列联表；（Ⅱ）在抽取的样本中，调查喜欢运动女生的运动时间，发现她们的运动时间介于30分钟到90分钟之间，右图是测量结果的频率分布直方图，若从区间段)50,40[和)70,60[的所有女生中随机抽取两名女生，求她们的运动时间在同一区间段的概率.。
北京市西城区2018届高考二模数学试题(文)含答案
西城区高三模拟测试数学（文科） 2018.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的 四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|01}A x x =<<，2{|20}B x x x =-<，则下列结论中正确的是 （A ）A B =∅ （B ）A B =R （C ）A B ⊆ （D ）B A ⊆2．复数11i =- （A ）1i 22+ （B ）1i22-+（C ）1i22--（D ）1i 22-3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是 （A ）1y x=（B ）2y x = （C ）cos y x = （D ）ln ||y x =-4．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧棱长是（A（B（C ）（D ）5．向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量λ+a b 与c共线，则实数λ= （A ）2-（B ）1-（C ）1 （D ）26．设,a b ∈R ，且0ab ≠．则“1ab >”是“1a b>”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．设不等式组1,3,25xx yx y⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≥≤表示的平面区域为D．若直线0ax y-=上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是（A）1[,2]2（B）1[,3]2（C）[1,2]（D）[2,3]8．地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（A）A （B）B （C）D （D）E第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数1||2yx=+的最大值是____．10．执行如右图所示的程序框图，输出的k值为____．11．在△ABC中，3a=，2b=，4cos5B=，则sin A=____．12．双曲线22:1916y xC-=的焦距是____；若圆222(1)(0)x y r r-+=>与双曲线C的渐近线相切，则r=____．13．为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4万棵，计划3年后全年植树12.5万棵．若植树的棵数每年的增长率均为a ，则a =____．14．已知函数2,1,()1,1,2x a x f x x a x ⎧+⎪=⎨+>⎪⎩≤ 其中a ∈R .如果函数()f x 恰有两个零点，那么a 的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，111a b ==，22a b =，432a b +=． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．16．（本小题满分13分）已知函数cos2()sin cos xf x x x=+．（Ⅰ）求()f x 的定义域； （Ⅱ）求()f x 的取值范围．17．（本小题满分13分）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a ，b 的值； （Ⅱ）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；（III ）某研究机构提出，可以选取常数0 4.5X =，若一名从业者该项身体指标检测值大于0X ，则判断其患有这种职业病；若检测值小于0X ，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率．18．（本小题满分14分）如图，梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF 所在的平面互相垂直，////AB CD EF ，AB AD ⊥，G 为AB 的中点．2CD DA AF FE ====，4AB =．（Ⅰ）求证：//DF 平面BCE ； （Ⅱ）求证：平面BCF ⊥平面GCE ； （Ⅲ）求多面体AFEBCD 的体积．19．（本小题满分13分）已知函数ln ()xf x ax x =-，曲线()y f x =在1x =处的切线经过点(2,1)-．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设1b >，求()f x 在区间1[,]b b上的最大值和最小值．20．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2222 1 (0)x y a b a b+=>>(0,1)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线y x =与椭圆C 交于A ，B 两点，斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，与直线y x =交于点P （点P 与点A ，B ，M ，N 不重合）． （ⅰ）当1k =-时，证明：||||||||PA PB PM PN =； （ⅱ）写出||||||||PA PB PM PN 以k 为自变量的函数式（只需写出结论）．西城区高三模拟测试数学（文科）参考答案及评分标准2018.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．A 3．D 4．B 5．D 6．D 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．12 10．511．91012．10，35 13．25% 14．1[2,)2--注：第12题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ． 依题意，得 21,2(13).d q d q +=⎧⎨++=⎩ (2)分解得 2,3,d q =⎧⎨=⎩或1,0.d q =-⎧⎨=⎩（舍去） ……………… 4分所以 21n a n =-，13n n b -=． (6)分（Ⅱ）因为 1213n n n a b n -+=-+， ……………… 7分所以 21[135(21)](1333)n n S n -=++++-+++++ (9)分[1(21)]13213nn n +--=+-………………11分2312n n -=+． ………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由 sin cos 0x x +≠， ……………… 2分得 π)04x +≠， (3)分所以 ππ4x k +≠，其中k ∈Z ． ……………… 4分所以()f x 的定义域为π{|π,}4x x k k ∈≠-∈R Z ． (5)分（Ⅱ）因为 22cos sin ()sin cos x xf x x x-=+ (7)分cos sin x x =- ……………… 9分π)4x =+． (11)分由（Ⅰ）得 ππ4x k +≠，其中k ∈Z ， 所以 π1cos()14x -<+<， (12)分所以 ()f x 的取值范围是(． ………………13分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为3.4100408.5⨯=人． ……………… 2分10.100.350.250.150.100.05a =-----=，10.100.200.300.40b =---=． (4)分（Ⅱ）指标检测值不低于5的样本中，有患病者40(0.300.40)28⨯+=人，未患病者60(0.100.05)9⨯+=人，共37人． (6)分此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数约为378500031450100⨯=人． (8)分（Ⅲ）当0 4.5X =时，在100个样本数据中， 有40(0.100.20)12⨯+=名患病者被误判为未患病， (10)分有60(0.100.05)9⨯+=名未患病者被误判为患病者， ………………12分因此判断错误的概率为21100． ………………13分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 //CD EF ，且CD EF =，所以 四边形CDFE 为平行四边形，所以 //DF CE ． …… 2分因为 DF ⊄平面BCE ，…… 3分所以 //DF 平面BCE ．…… 4分 （Ⅱ）连接FG ．因为 平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD I 平面ABEF AB =，AD AB ⊥，所以 AD ⊥平面ABEF ，所以 BF AD ⊥． (6)分因为 G 为AB 的中点，所以 //AG CD ，且AG CD =；//EF BG ，且EF BG =， 所以 四边形AGCD 和四边形BEFG 均为平行四边形．所以 //AD CG ， 所以 BF CG ⊥． (7)分因为 EF EB =，所以 四边形BEFG 为菱形，所以 BF EG ⊥． (8)分所以 BF ⊥平面GCE ． (9)分所以 平面BCF ⊥平面GCE ． ………………10分（Ⅲ）设 BF GE O =I ．由（Ⅰ）得 //DF CE ，所以 //DF 平面GCE ， 由（Ⅱ）得 //AD CG ，所以 //AD 平面GCE ， 所以 平面//AD F 平面GCE ，所以 几何体AD F GCE -是三棱柱． (11)分由（Ⅱ）得 BF ⊥平面GCE ．所以 多面体AFEBCD 的体积 ADF GCE B GCE V V V --=+ (12)分13GCE GCE S FO S BO ∆∆=⋅+⋅43GCE S FO ∆=⋅ (14)分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的导函数为221ln ()x ax f x x --'=， (2)分所以(1)1f a '=-． 依题意，有 (1)(1)112f a --=--，即1112a a -+=--， ……………… 4分解得 1a =． (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）得221ln ()x xf x x --'=．当0<<1x 时，210x ->，ln 0x ->，所以()0f x '>，故()f x 单调递增；当>1x 时，210x -<，ln 0x -<，所以()0f x '<，故()f x 单调递减．所以 ()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减． (8)分因为 101b b<<<， 所以 ()f x 最大值为(1)1f =-． ……………… 9分设 111()()()()ln h b f b f b b b b b b=-=+-+，其中1b >． (10)分则 21()(1)ln 0h b b b '=->， 故 ()h b 在区间(1,)+∞上单调递增． (11)分所以 ()(1)0h b h >=， 即 1()()f b f b>， (12)分故 ()f x 最小值为11()ln f b b b b=--． (13)分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得c a =， 1b =， 且 222a b c =+． ……………… 2分解得 a ． ……………… 3分所以 椭圆C 的方程是 2213x y +=． ……………… 4分（Ⅱ）（ⅰ）由 22,33,y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得A ，(B ． ……………… 5分1k =-时，设直线l 的方程为y x t =-+．由 22,33,y x t x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 2246330x tx t -+-=． ……………… 6分令223648(1)0t t ∆=-->，解得 24t <．设 1122(,),(,)M x y N x y ，则 1232t x x +=，212334t x x -⋅=． ……………… 8分由 ,,y x t y x =-+⎧⎨=⎩ 得(,)22t t P ． ……………… 9分所以 23||||2t PA PB -=． ………………10分因为 1||PM x ==-，同理2||PN x =-．所以 12||||222t t PM PN x x =-⋅-2233324224t t t t -=-⋅+ 232t -=.所以 ||||||||PA PB PM PN =． ………………12分 （ⅱ）22||||13||||2(1)PA PB k PM PN k +=+．………………14分。
2018年北京市顺义区高考数学二模试卷(文科)
2018年北京市顺义区高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．(★)设集合A={x|x 2+3x+2=0}，B={-2，-1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{-2，-1}B．{-2，1}C．{1，2}D．{-2，-1，0，1，2}2．(★)执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3B．4C．5D．63．(★)若x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．1B．3C．4D．4．(★)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．8D．165．(★)已知直线a，b，m，其中a⊂α，b⊂α．则“m⊥a，m⊥b”是“m⊥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．(★★)若a=log 3，b=log 39.1，c=2 0.8，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b7．(★★★)向量在正方形网格中的位置如图所示，如果小正方形网格的边长为1，则等于（）A．B．1C．-1D．-28．(★★★)已知点A（-1，-1）．若曲线T上存在两点B，C，使△ABC为正三角形，则称T 为“正三角形”曲线．给定下列三条曲线：①x+y-3=0（0≤x≤3）；②；③．其中，“正三角形”曲线的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．(★★)若（x-2i）i=2+i（x∈R），则x= ．10．(★★)能够说明“设a，b是任意实数．若a 2＜b 2，则a＜b”是假命题的一组整数a，b 的值依次为．11．(★★)圆（x-2）2+（y-1）2=1的圆心到直线y=2x+2的距离为．12．(★★★)设双曲线=1（a＞0，b＞0）经过点（4，1），且它的一条渐近线方程为x+2y=0，则a= ；b= ．13．(★★)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，他们的终边关于x轴对称，若cos ，则cos（α-β）= ．14．(★★)在某艺术团组织的“微视频展示”活动中，该团体将从微视频的“点赞量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A视频的“点赞量”和“专家评分”中至少有一项高于B视频，则称A 视频不亚于B视频．已知共有5部微视频展，如果某微视频不亚于其他4部视频，就称此视频为优秀视频．那么在这5部微视频中，最多可能有个优秀视频．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．(★★★)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a 1=-1，a 5=3．．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和．16．(★★)已知函数．．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象与直线y=m没有公共点，求实数m的取值范围．17．(★★★)2018年2越25日第23届冬季奥运会在韩国平昌闭幕，中国以1金6银2铜的成绩结束本次冬奥会的征程．某校体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11人，具体的调查结果如表：（Ⅰ）若该班女生人数比男生多4人，求该班男生人数和女生人数；（Ⅱ）在该班全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；（Ⅲ）若从该班调查对象的女生中随机选取2人进行追踪调查，记选中的2人中对“本届冬奥会中国队表现”满意的人数为ξ，求ξ=1时对应事件的概率..18．(★★★★)如图，直三棱柱ABC-A 1B1C 1的侧棱长为1，，D是BC的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面B 1BCC 1；（Ⅱ）求证：A 1B∥平面ADC 1；（Ⅲ）求三棱锥B 1-ADC 1的体积．19．(★★★★)已知函数f（x）=e x-mx（m为常数）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））的切线斜率为-1，求实数m的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）证明：当x＞0时，e x＞x 2．20．(★★★)已知椭圆的左焦点为F，左顶点为A，离心率为e，点M（t，0）（t＜-2）满足条件．（Ⅰ）求实数t的值；（Ⅱ）设过点F的直线l与椭圆G交于P，Q两点，记△MPF和△MQF的面积分别为S 1，S 2，若S 1=2S 2，求直线l的方程．。
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2018年北京各区高三二模文科数学分类汇编——概率统计1.（昌平）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A ，B 两地区分别随机抽取了20天的观测数据，得到A ，B 两地区的空气质量指数（AQI ），绘制如下频率分布直方图：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：（I ）试根据样本数据估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；(II) 若分别在A 、B 两地区上述20天中，且空气质量指数均不小于的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率.解：（Ⅰ）从A 地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为(0.0080.007)500.75+⨯=，估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为3650.75274⨯≈天 .--------------------4分（Ⅱ）A 地20天中空气质量指数在[150,200)内，为200.003503⨯⨯=个，设为123,,a a a ，空气质量指数在[200,250)内，为200.001501⨯⨯=个，设为4a ， B 地20天中空气质量指数在[150,200)内，为200.002502⨯⨯=个，设为12,b b ， 空气质量指数在[200,250)内，为200.003503⨯⨯=个，设为345,,b b b ，150图1 A 地空气质量指数（AQI ） 0.0050.0030.0020.008图2 B 地空气质量指数（AQI ）设“A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C ， 则基本事件空间1112131415212223242531323334354142434445{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b Ω=，基本事件个数为20n =，434445{,,}C a b a b a b =，包含基本事件个数为3m =，所以A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为()P C =分（Ⅰ）根据表中数据写出这10年内栽种银杏数量的中位数,并计算这10年栽种银杏数量的平均数；（Ⅱ）从统计的数据中，在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于300株的年份中，任意抽取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏数量多的概率.解：（Ⅰ）这10年中栽种银杏数量的中位数为3700株.设平均数为x ，则34003300360036003700420044003700+4200+4200=383010x +++++++=株.……… 4分（Ⅱ）根据表中数据，满足条件的年份有2009，2010，2011，2013，2014共5年.从这5年中抽取2年，有2009，2010；2009，2011；2009，2013；2009，2014；2010，2011；2010，2013；2010，2014；2011，2013；2011，2014；2013，2014共10种情况.设事件A 表示“任取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏的数量多”.则事件A 包括2009，2010；2009，2013；2009，2014；2010，2011；2011，2013；2011，2014共6种情况. 所以63()==105P A . 答：任取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏的数量多的概率为35………………13分 3. （东城）某校高一年级有400名学生，高二年级有360名学生，现用分层抽样的方法在这760名学生中抽取一个样本．已知在高一年级中抽取了60名学生，则在高二年级中应抽取的学生人数为 B （A ）66 （B ）54 （C ）40 （D ）364.（东城）2017年北京市百项疏堵工程基本完成．有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组．A组：128，100，151，125，120．B组：100，102，96，101，a．已知B组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是45.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”．从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，求这两个数据对应的两次运行中至少有一次“正点运行”的概率；（Ⅲ）试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义．解：（Ⅰ）因为B组数据的中位数为100，所以100a≤．因为从B组中随机抽取一个数不小于100的概率是45，所以100a≥．所以100a=. …………5分（Ⅱ）从A组中取到128,151,125,120时，B组中符合题意的取法为100,96,100，共4312⨯=种；从A组中取到100时，B组中符合题意的取法为100,102,96,101,100，共155⨯=种；因此符合题意的取法共有12517+=种，而所有不同的取法共有5525⨯=种，所以该路公交车至少有一次“正点运行”的概率1725P=. …………10分（Ⅲ）B组的方差小于A组的方差，说明疏堵工程完成后，该路公交车全程所用时间更加稳定，而且“正点运行”率高，运行更加有保障．…………13分5.（房山） 1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权。
”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据，分成7组[)2030，，[)30,04，⋅⋅⋅，[)80,09，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）估计其阅读量小于60本的人数；（Ⅱ）已知阅读量在[)2030，，[)30,04，[)4050，内的学生人数比为2:3:5.为了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在[)20,04内的学生中随机2人进行座谈，求2人分别在不同组的概率；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计100名学生该年课外书阅读量的平均数在第几组（只需写出结论）．解：（Ⅰ）100-100⨯10⨯（0.04+0.02⨯2）=20（人） …………4分 （Ⅱ）由已知条件可知：[)2050，内人数为：100-100⨯（0.04+0.02+0.02=0.01)=10 [)200，3人数为2人，[)300，4人数为3人，[)4050，人数为5人. 设[)200，32人为a,b, [)300，43人为c,d,e 设事件A 为“两人分别在不同组”从[)200，4内的学生中随机选取2人包含（a,b ）,(a,c),(a,d),(a,e),(b,c), (b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)共10个基本事件，而事件A 包含本数(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e)共6个基本事件所以()63105==P A …………10分（Ⅲ）第五组 …………13分6. (丰台)某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取8位归为A 组，从年龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取8位归为B 组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成如下茎叶图：注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值． （Ⅰ）分别求出A 组客户与B 组客户“实际平均续航里程数”的平均值；（Ⅱ）在A ，B 两组客户中，从“实际平均续航里程数”大于335的客户中各随机抽取1位客户，求A 组客户的“实际平均续航里程数”不小于B 组客户的“实际平均续航里程数”的概率； （Ⅲ）试比较A ，B 两组客户数据方差的大小．（结论不要求证明）解：（Ⅰ）A 组平均值为：2808340338332330230225225220=+++++++；……………1分B 组平均值为：2002202303323383403603803008+++++++=．……………2分 （Ⅱ）将A 组客户中实际平均续航里程数为338, 340的客户分别记为1a ，2a ；将B 组客户中实际平均续航里程数为338, 340, 360, 380的客户分别记为1b ，2b ，3b ，4b ． 从A ，B 两组实际平均续航里程数大于335km 的客户中各随机抽取1位客户的事件包括：11b a ，21b a ，31b a ，41b a ，12b a ，22b a ，32b a ，42b a ，共8种， …………………5分其中A 组客户的实际平均续航里程数不小于B 组客户的实际平均续航里程数的事件包括：11b a ，12b a ，22b a ，共3种． …………………7分设“A 组客户的实际平均续航里程数不小于B 组客户的实际平均续航里程数”为事件M ， …………………8分则3()8P M =． …………………10分 所以A 组客户的实际平均续航里程数不小于B 组客户的实际平均续航里程数的概率为38．（III ）A 组数据的方差小于B 组数据的方差． …………………13分7. （海淀）如图，半径为1的圆内有一阴影区域，在圆内随机撒入一大把豆子，共n 颗，其中，落在阴影区域内的豆子共m 颗，则阴影区域的面积约为（ ）．C A ．mn B ．n mC ．πm nD ．πn m8.(海淀)某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两（I ）从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90分的概率．（Ⅱ）从考核成绩大于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率．（Ⅲ）记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为1x ，21s ，考核成绩的平均数和方差分别为2x ，22s ，试比较1x 与2x ，21s 与22s 的大小．（只需写出结论） 【解析】（1）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人．所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率为：60.610=，……………4分（2）设事件A 为“从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，这2名同学两轮测试成绩均大于等于90分”，由（1）知，考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人． 因此，从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，包含（1号，5号）、（1号，7号）、（1号，8号）、（1号，9号）、（1号、10号）、（5号，7号）、（5号，8号）、（5号，9号）、（5号，10号）、（7号，8号）、（7号，9号）、（7号，10号）、（8号，9号）、（8号，10号）、（9号，10号）共15个基本事件，而事件A 包含（1号，8号）、（1号、10号）、（8号，10号）共3个基本事件， 所以31()155P A ==． ………………9分 （3）12=x x ，2212s s > ………………13分9.（顺义）2018年2月25日第23届冬季奥运会在韩国平昌闭幕，中国以1金6银2铜的成绩结束本次冬奥会的征程，某校体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11人，具体的调查结果如下（1）若该班女生人数比男生人数多4人，求该班男生人数和女生人数．（2）在该班全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率．（3）若从该班女生调查对象中随机选取2人进行追踪调查，记选中的2人中对“本届冬奥会中国队表现”满意的人数为ξ，求随机变量1ξ=时对应事件的概率．【答案】（1）女生人数为24，男生人数为20．（2）611．（3）()8115P ξ==．【解析】（1）不妨设女生人数为X ，男生人数为Y ，则可得4X Y -=①， 又由分层抽样可知，65X Y =②， 联立①②可解得24X =，20Y =．（2）设该生持满意态度为事件A ，则基本事件的总数有11种， 事件A 中包含的基本事件有6种，所以()611P A =． （3）被调查的6名女生中有4名持满意态度，2名持不满意态度，所以()114226C C 81C 15P ξ⋅===． 10.（西城）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a ，b 的值； （Ⅱ）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；（III ）某研究机构提出，可以选取常数0 4.5X =，若一名从业者该项身体指标检测值大于0X ，则判断其患有这种职业病；若检测值小于0X，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率．解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为3.4100408.5⨯=人． ……………… 2分 10.100.350.250.150.100.05a =-----=，10.100.200.300.40b =---=． ……………… 4分（Ⅱ）指标检测值不低于5的样本中，有患病者40(0.300.40)28⨯+=人，未患病者60(0.100.05)9⨯+=人，共37人．……………… 6分此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数约为378500031450100⨯=人． ……………… 8分（Ⅲ）当0 4.5X =时，在100个样本数据中， 有40(0.100.20)12⨯+=名患病者被误判为未患病， ………………10分有60(0.100.05)9⨯+=名未患病者被误判为患病者， ………………12分 因此判断错误的概率为21100． ………………13分。