高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9第8讲曲线与方程课件理

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1．(2019·豫北名校联考)已知△ABC 的顶点 B(0，0)，C(5，0)， AB 边 上 的 中 线 长 |CD| ＝ 3 ， 则 顶 点 A 的 轨 迹 方 程 为 __________________． 解析：设 A(x，y)，由题意可知 Dx2，2y.又因为|CD|＝3，所以 x2－52＋2y2＝9，即(x－10)2＋y2＝36，由于 A、B、C 三点不 共线，所以点 A 不能落在 x 轴上，即 y≠0，所以点 A 的轨迹方 程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)． 答案：(x－10)2＋y2＝36(y≠0)
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2．会用三种数学思想 (1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性 质)表示为动点坐标 x，y 的方程及函数关系． (2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与 “形”的有机结合． (3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在 解决问题时又需要相互转化．
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定义法求轨迹方程 (1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某 种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程． (2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭 圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变 量 x 或 y 进行限制．
第九章 平面(píngmiàn)解析 几何
第 8 讲 曲线与方程
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1．曲线与方程 在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作满足某种条件的点的 集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关 系： (1)曲线上点的坐标都是__这_个__(z_h_èg_e_)方__程_的__解___(q_ūx_ià_n_)上___． 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
2．如图，过点 P(2，4)作两条互相垂直的直线 l1，l2，若 l1 交 x 轴非负半轴于 A 点，l2 交 y 轴非负半轴于 B 点，求线段 AB 的 中点 M 的轨迹方程．
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解：设点 M 坐标为(x，y)． 因为 M(x，y)为线段 AB 中点， 所以点 A，B 的坐标分别为 A(2x，0)，B(0，2y)． 当 x≠1 时，因为 l1⊥l2，且 l1，l2 过点 P(2，4)， 所以 kPA·kPB＝－1， 即20x－－42·20y－－24＝－1(x≠1)， 化简得 x＋2y－5＝0(x≠1)． 当 x＝1 时，A，B 分别为(2，0)，(0，4)， 所以线段 AB 的中点为(1，2)， 满足方程 x＋2y－5＝0(x≥0，y≥0)． 综上，M 的轨迹方程为 x＋2y－5＝0(x≥0，y≥0)．
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[迁移探究] (变条件)若将本例中的条件“|P→B|，12|P→A|，8”改 为“|P→A|，12|P→B|，8”，求点 P 的轨迹方程． 解：由已知得|P→B|－|P→A|＝8， 所以点 P 的轨迹是以 A，B 为焦点的双曲线的左支，且 a＝4， b＝3，c＝5， 所以点 P 的轨迹方程为1x62－y92＝1(x≤－4)．
导师提醒 1．注意区分两个条件 (1)如果曲线 C 的方程是 f(x，y)＝0，那么点 P0(x0，y0)在曲线上 的充要条件是 f(x0，y0)＝0. (2)“曲线 C 是方程 f(x，y)＝0 的曲线”是“曲线 C 上的点的坐 标都是方程 f(x，y)＝0 的解”的充分不必要条件．
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已知 F 是抛物线 y＝14x2 的焦点，P 是该抛物线上的动点， 则线段 PF 中点的轨迹方程是________．
解析：因为抛物线 x2＝4y 的焦点 F(0，1)，设线段 PF 的中点 坐标是(x，y)，则 P(2x，2y－1)在抛物线 x2＝4y 上，所以(2x)2 ＝4(2y－1)，化简得 x2＝2y－1. 答案：x2＝2y－1
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相关点法(代入法)求轨迹方程(师生共研) 如图所示，抛物线 E：y2＝2px(p＞0)与圆 O：x2＋y2＝8 相交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标为 2.过劣弧 AB 上动点 P(x0， y0)作圆 O 的切线交抛物线 E 于 C，D 两点，分别以 C，D 为切 点作抛物线 E 的切线 l1，l2，l1 与 l2 相交于点 M.
(1)求 p 的值； (2)求动点 M 的轨迹方程．
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【解】 (1)由点 A 的横坐标为 2，可得点 A 的坐标为(2，2)， 代入 y2＝2px，解得 p＝1. (2)由(1)知抛物线 E：y2＝2x. 设 Cy221，y1，Dy222，y2，y1≠0，y2≠0，切线 l1 的斜率为 k，则 切线 l1：y－y1＝kx－y212，代入 y2＝2x， 得 ky2－2y＋2y1－ky21＝0，由 Δ＝0，解得 k＝y11， 所以 l1 的方程为 y＝y11x＋y21， 同理 l2 的方程为 y＝y12x＋y22.
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设 P(x，y)，因为|PA|＝2|PB|， 所以 （x＋1）2＋y2＝2 （x－1）2＋y2， 整理得 x2＋y2－130x＋1＝0， 即x－532＋y2＝196. 所以动点 P 的轨迹方程为x－532＋y2＝196. 答案：x－532＋y2＝196
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平面上有三个不同点 A(－2，y)，B0，2y，C(x，y)，若A→B⊥ B→C，则动点 C 的轨迹方程为________． 解析：A→B＝2，－2y，B→C＝x，2y， 由A→B⊥B→C，得A→B·B→C＝0， 即 2x＋－2y·2y＝0， 所以动点 C 的轨迹方程为 y2＝8x(x≠0)． 答案：y2＝8x(x≠0)
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若 M，N 为两个定点，且|MN|＝6，动点 P 满足P→M·P→N＝0，
则 P 点的轨迹是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
解析：选 A.因为P→M·P→N＝0，所以 PM⊥PN.
所以点 P 的轨迹是以线段 MN 为直径的圆．
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1．已知|AB|＝2，动点 P 满足|PA|＝2|PB|，则动点 P 的轨迹方 程为________．
解析：如图所示，以 AB 的中点 O 为原点， 直线 AB 为 x 轴建立如图所示的平面直角坐 标系，则 A(－1，0)，B(1，0)．
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(1)建系——建立适当的坐标系．
(2)设点——设轨迹上的任一点 P(x，y)．
(3)列式——列出动点 P 所满足的关系式．
(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其
转化为关于 x，y 的方程式，并化简．
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
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法二：设 AB 的中点为 D，由中点坐标公式得 D(1，0)，由直角 三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点 C 的轨迹 是以 D(1，0)为圆心，2 为半径的圆(由于 A，B，C 三点不共线， 所以应除去与 x 轴的交点)． 所以直角顶点 C 的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
) B．y2＝3x
C．x2＝2y
D．y2＝4x
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【解析】 设点 P(x，y)，则 Q(x，－1)． 因为Q→P·Q→F＝F→P·F→Q， 所以(0，y＋1)·(－x，2)＝(x，y－1)·(x，－2)， 即 2(y＋1)＝x2－2(y－1)， 整理得 x2＝4y， 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2＝4y. 【答案】 A
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2．曲线的交点
设曲线 C1 的方程为 F1(x，y)＝0，曲线 C2 的方程为 F2(x，y)＝0，
则
C1 ， C2
的
交
点
坐
标
即
为
方
程
组
F1（x，y）＝0， F2（x，y）＝0
的
实__数_(_sh_ìs_hù_)解___，若此方程组无解，则两曲线无交点．
3．求动点的轨迹方程的一般步骤
已知点 O(0，0)，A(1，－2)，动点 P 满足|PA|＝3|PO|，则 P 点的轨迹方程是( ) A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0 B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0 C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0 D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0 解析：选 A.设 P 点的坐标为(x，y)， 则 （x－1）2＋（y＋2）2＝3 x2＋y2， 整理得 8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0.
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判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f(x0，y0)＝0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)＝0 上的充要条 件．( ) (2)方程 x2＋xy＝x 的曲线是一个点和一条直线．( ) (3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( ) (4)方程 y＝ x与 x＝y2 表示同一曲线．( ) (5)y＝kx 与 x＝1ky 表示同一直线．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
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解：由题知|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB| ＝4＞|AB|， 所以曲线 M 是以 A，B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆(挖去与 x 轴的交点)． 设曲线 M：xa22＋by22＝1(a＞b＞0，y≠0)， 则 a2＝4，b2＝a2－|A2B|2＝3， 所以曲线 M 的方程为x42＋y32＝1(y≠0)．
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角度二 无明确等量关系求轨迹方程 (一题多解)已知直角三角形 ABC 的斜边为 AB，且 A(－1，
0)，B(3，0)．求：直角顶点 C 的轨迹方程． 【解】 法一：设 C(x，y)，因为 A，B，C 三点不共线，所以 y≠0. 因为 AC⊥BC，所以 kAC·kBC＝－1，又 kAC＝x＋y 1，kBC＝x－y 3， 所以x＋y 1·x－y 3＝－1，化简得 x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
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定义法求轨迹方程(典例迁移)
已知 A(－5，0)，B(5，0)，动点 P 满足|P→B|，12|P→A|，8 成等差数列，则点 P 的轨迹方程为________．
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【解析】 由已知得|P→A|－|P→B|＝8， 所以点 P 的轨迹是以 A，B 为焦点的双曲线的右支， 且 a＝4，b＝3，c＝5， 所以点 P 的轨迹方程为1x62－y92＝1(x≥4)． 【答案】 1x62－y92＝1(x≥4)
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2.如图，已知△ABC 的两顶点坐标 A(－1， 0)，B(1，0)，圆 E 是△ABC 的内切圆，在 边 AC，BC，AB 上的切点分别为 P，Q，R， |CP|＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相 等)，动点 C 的轨迹为曲线 M，求曲线 M 的方程．
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直接法求曲线方程的一般步骤 (1)建立合理的直角坐标系． (2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表 示为代数方程． (3)化简整理这个方程，检验并说明所求的方程就是曲线的方 程． 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻 译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性． [提醒] 对方程化简时，只要前后方程解集相同，证明一步可 以省略，必要时可说明 x，y 的取值范围．
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直接法求轨迹方程(多维探究)
角度一 已知动点满足的关系式求轨迹方程(或
判断轨迹)
已知点 F(0，1)，直线 l：y＝－1，P 为平面上的动点，
过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，且Q→P·Q→F＝F→P·F→Q，则
动点 P 的轨迹 C 的方程为( A．x2＝4y