【名校名卷取精 百师题源】2014年数学中考抢分训练之“小题狂做”：与圆有关的位置关系(含解析)

与圆有关的位置关系
一、选择题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
1．已知两圆外切，圆心距为5 cm，若其中一个圆的半径是3 cm则另一个圆的半径是() A．8cm B．5 cm C．3 c m D．2 cm
2. 已知P是⊙O内一点，⊙O的半径为15，P点到圆心O的距离为9，则经过P点且长度是
整数的弦的条数是()
A．5 B．7 C．10 D．12
3. 如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，
使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为()
A．8 B．6 C．5 D．4
4．若两圆的半径是方程x2－5x＋6＝0的两个根且圆心距为5，则这两个圆的位置关系是()
A. 内切B．相交 C. 外切 D. 外离
二、填空题(本大题共3小题，每小题4分，共12分)
5. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P＝46°，则∠BAC
＝______．
第5题图 第7题图 6. 已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别是方程x 2－4x ＋3＝0的两根，且O 1O 2＝t ＋2，若这两个圆相切，则t ＝________．
7．如图，⊙O 是四边形ABCD 的内切圆，E 、F 、G 、H 是切点，点P 是优弧EFH 上异于E 、H 的点，若∠A ＝50°，则∠EPH ＝______．
三、解答题(本大题共3小题，共32分)
8. (8分)如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ，CF ⊥AF ，且CF ＝CE .
(1)求证：CF 是⊙O 的切线；(2)若sin ∠BAC ＝25，求S △CBD S △ABC
的值．
9. (10分)已知⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B.
(1)如图1，若∠BAC＝25°，求∠AMB的大小；
(2)如图2，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD＝MA，求∠AMB的大小．
10．(14分)如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT 于点B，已知∠EAT＝30°，AE＝33，MN＝222.
(1)求∠COB的度数；(2)求⊙O的半径R；
(3)点F在⊙O上(是劣弧)，且EF＝5，△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两
个顶点分别与点E、F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点也在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC 的周长之比．
参考答案
1. D 解析：圆和圆的位置与两圆的圆心距d 、两圆半径(R ≥r )之间的数量关系：①两圆外离d ＞R ＋r ；②两圆外切d ＝R ＋r ；③两圆相交R －r ＜d ＜R ＋r (R ≥r )；④两圆内切d ＝R －r (R ＞r )；⑤两圆内含d ＜R －r (R ＞r )．此题两圆外切，圆心距为5 cm ，一个圆的半径为3 cm ，所以另一个圆的半径为5－3＝2 cm ，故选D.
2. D 解析：过点P 的最短的弦是与过点P 的直径垂直的弦，由垂径定理及其推论可求得最短的弦长为24，经过点P 的最长的弦是过点P 的直径，所以最长的弦长为30，所以经过P 点且长度是整数的弦的条数是12，故选D.
3. D 解析：连接OD ，OE ，∵AB ，AC 与⊙O 相切，∴OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，AD ＝AE ，∵∠A ＝90°，∴四边形ADOE 是正方形，∴OD ＝AD ，
又∵∠B ＝45°，OD ⊥AB ，∴△ODB 是等腰直角三角形，∴OD ＝BD ，
∴OD ＝AD ＝BD ＝12
×8＝4，即⊙O 的半径是4，应选D. 4. C 解析：本题考查利用方程的根判断两圆的位置关系，两圆的半径是方程x 2－5x ＋6＝0的两根，所以半径之和为5，又圆心距为5，所以两圆外切．
5. 23° 解析：∵PA 、PB 是O 的切线，∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°，∵∠P ＝46°，∴∠AOB
＝360°－90°×2－46°＝134°，∵AO ＝BO ，∴∠BAC ＝∠ABO ＝12
×(180°－134°)＝23°. 6. 0或2 解析：解方程x 2－4x ＋3＝0，得x 1＝3，x 2＝1，当⊙O 1与⊙O 2外切时，O 1O 2＝4，所以t ＋2＝4，所以t ＝2；当⊙O 1与⊙O 2内切时，O 1O 2＝2，所以t ＋2＝2，所以t ＝0，所以t ＝0或2.
7. 65° 解析：连接OH 、OE ，则∠AHO ＝∠AEO ＝90°，又∠A ＝50°，则∠HOE ＝360°
－(90°＋90°＋50°)＝130°，则∠EPH ＝12
∠HOE ＝65°. 8. 解：(1)证明：如图，连接OC
∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE＝CF，
∴AC平分∠BAF，即∠BAF＝2∠BAC
∴∠BOC＝2∠BAC，
∴∠BOC＝∠BAF，∴OC∥AF，∴CF⊥OC.
∴CF是⊙O的切线．(4分)
(2)∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE＝ED，＝，
∴S△CBD＝2S△CEB，∠BAC＝∠BCE.又∠ACB＝∠CEB＝90°，∴△ABC∽△CBE，(6分)
∴S△CBE
S△ABC
＝(
CB
AB)
2＝(sin∠BAC)2＝(
2
5)
2＝
4
25∴
S△CBD
S△ABC
＝
8
25.(8分)
9. 解：(1)∵MA切⊙O于点A，∴∠MAC＝90°，
又∠BAC＝25°，∴∠MAB＝∠MAC－∠BAC＝65°，
∵MA、MB分别切⊙O于点A、B，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA.(4分) ∴∠AMB＝180°－(∠MAB＋∠MBA)＝50°.(5分)
(2)如图，连接AD、AB
∵MA⊥AC，BD⊥AC，
∴BD∥MA，又BD＝MA，
∴四边形MADB是平行四边形，(7分)
又∵MA＝MB，∴四边形MADB是菱形，
∴AD＝BD.∵AC为直径，AC⊥BD，
∴BE＝DE，∴AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠D＝60°，(9分)
∴在菱形MADB中，∠AMB＝∠D＝60°.(10分)
10. 解：(1)∵AE切⊙O于点E，∴OE⊥AE，
∵OB⊥AT，∴在△CAE和△COB中，∠AEC＝∠CBO＝90°，而∠BCO＝∠ACE，∴∠COB＝∠A＝30°.(3分)
图(1)
(2)在Rt △ACE 中，AE ＝33，∠A ＝30°， ∴EC ＝AE ·tan30°＝3.
如图(1)，连接OM ，
在Rt △MOB 中，OM ＝R ，MB ＝MN 2
＝22， ∴OB ＝OM 2－MB 2＝R 2－22.
在Rt △COB 中，∠COB ＝30°，
∴OC ＝OB cos 30°＝233OB ＝233
·R 2－22. ∵OC ＋EC ＝R ，∴233
·R 2－22＋3＝R 整理得R 2＋18R －115＝0，即(R ＋23)(R －5)＝0，
∴R ＝－23(不符合题意，舍去)，或R ＝5，∴R ＝5.(8分)
(3)在EF 的同一侧，满足题意的三角形共有6个，如图(2)(3)(4)，每个图有2个满足题意的三角形．
能找出另一个顶点也在⊙O 上的三角形，如图(1)，延长EO 交⊙O 于D ，连接DF ，则△DFE 为符合条件 的三角形．
图(2) 图(3) 图(4)
由题意得，△DFE ∽△OBC .
由(2)得，DE ＝2R ＝10，OC ＝233R 2－22＝2，∴C △DFE C △OBC ＝DE OC ＝102
＝5.(14分)。