21-22版：习题课 线性规划问题的几个重要题型（创新设计）

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跟踪演练 1 在平面直角坐标系中，有两个区域 M，N，M 是由三个不等式 y≥0，
y≤x 和 y≤2－x 确定的；N 是随 t 变化的区域，它由不等式 t≤x≤t＋1 (0≤t≤1)
所确定.设 M，N 的公共部分的面积为 f(t)，则 f(t)等于( )
29.∴2≤z≤29.
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规律方法 应用数形结合思想是解决非线性规划问题的关键.
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跟踪演练3 已知实数x，y满足2x＋y≥1，求u＝x2＋y2＋4x－2y的最小值. 解 作可行域如图阴影部分所示.
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u＝(x＋2)2＋(y－1)2－5表示点P(x，y)与定点(－2，1)的距离的平方再减去5，由约 束条件2x＋y≥1知，点P(x，y)在直线l：2x＋y＝1上及右上方区域G中，于是问题转 化为求定点A(－2，1)到区域G的最近距离.
A.－2t2＋2t
B.12(t－2)2
C.1－12t2
D.－t2＋t＋12
答案 D
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解析 作出由不等式组yy≥ ≤0x，， 表示的平面区域 M， ＝0 时，f(0)＝12×1×1＝12，
当 t＝1 时，f(1)＝12×1×1＝12， 当0<t<1时，如图所示，
x＋y≥1，
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答案
1 2
解析 实数 x，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则 z 的最小值为原点到直线
AB
的距离的平方，故
zmin＝
122＝12.
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课堂小结 1.画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所
以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范. 2.在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，
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[知识链接] 1.二元一次不等式的几何意义
对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)，无论B为正值还是负值，我们都 可以把y项的系数变形为正数，当B>0时， (1)Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0__上__方__的区域；① (2)Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0__下__方__的区域.②
题型二 生活实际中的线性规划问题 例2 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每10 g含5单位蛋白
质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2 元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问：应如何使用甲、乙原 料，才能既满足营养，又使费用最省？ 解 将已知数据列成下表：
而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最 优整数解，或者运用平移直线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一 个，应具体情况具体分析.
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本节内容结束
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规律方法 解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后 用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题.
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跟踪演练2 某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产 甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4 吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天 用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲 产品________吨，乙产品________吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天 的利润最大. 答案 20 24
z＝yx－ －11的最大值是________.
答案 3
解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包 括边界).z＝yx－ －11可看作可行域上的点(x，y)与定点 B(1，1)连线 的斜率.由图可知 z＝yx－ －11的最大值为 kAB＝3.
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y≤1， 4.已知实数 x，y 满足x≤1， 则 z＝x2＋y2 的最小值为_______________.
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题型三 数形结合思想的应用
例 3 变量 x，y 满足x3－x＋4y5＋y－3≤ 250≤，0， x≥1，
(1)设 z＝4x－3y，求 z 的最大值； (2)设 z＝yx，求 z 的最小值； (3)设 z＝x2＋y2，求 z 的取值范围.
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D.10
答案 D 解析 画出不等式组对应的可行域如图阴影部分所示：
易得 A(1，1)，|OA|＝ 2，B(2，2)，|OB|＝2 2，
C(1，3)，|OC|＝ 10.
∴(x2＋y2)max＝|OC|2＝( 10)2＝10.
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3.若
x，y
满足xx＋ ≤y4≥，6，则 y≤4，
装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )
A.5种
B.6种
C.7种
D.8种
答案 C
解析 设购买软件x片，磁盘y盒.
60x＋70y≤500， 则x≥3，x∈N＋， 画出线性约束条件表示的平面区域，如图阴影部分(整点)所示.
y≥2，y∈N＋，
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题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
例 1 画出不等式组xx＋－yy≥＋05，≥0，表示的平面区域，并回答下列问题： x≤3
(1)指出 x，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？
解 (1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合.x＋y≥0表示 直线x＋y＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合.
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2.用图解法解线性规划问题的步骤： (1)确定线性约束条件； (2)确定线性目标函数； (3)画出可行域； (4)利用线性目标函数(直线)求出最优解.
3.在线性规划的实际问题中的题型 主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能 使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能 使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小.
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(2)∵z＝yx＝yx－ －00，∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率.观察图 形可知 zmin＝kOB＝25. (3)z＝x2＋y2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方.结合图 形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝ 2，dmax＝|OB|＝
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由图可知，点A到直线l的距离为A到区域G中点的距离的最小值， 即 dmin＝|2·（－222）＋＋121－1|＝ 45，d2min＝156. 故 umin＝d2－5＝156－5＝－95.
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1.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒
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习题课 线性规划问题的几个重要题型
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学习目标 1.加深对二元一次不等式组及其几何意义的了解.2.能熟练地用平面区域表 示二元一次不等式组.3.准确利用线性规划知识求解目标函数的最值.4.会求一些简单的 非线性函数的最值.
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解析 设每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，总利润为S万元，依题意约束条件为 9x＋4y≤300， 4x＋5y≤200， 3x＋10y≤300，目标函数为 z＝7x＋12y. x≥15， y≥15，
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可行域如图阴影部分所示，从图中可以看出，当直线 z＝7x＋12y 经过点 A 时， 直线的纵截距最大，所以 z 也取最大值.解方程组43xx＋＋51y0－y－20300＝0＝00， 得A(20，24)， 故当x＝20，y＝24时， zmax＝7×20＋12×24＝428(万元).
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落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(5， 2)，(6，2)共7个整点.
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x＋y≤4， 2.已知点 P(x，y)的坐标满足条件y≥x， 则 x2＋y2 的最大值为( )
x≥1，
A. 10
B.8 C.16
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所以，不等式组xx＋－yy≥＋05，≥0，表示的平面区域如图阴影部分所示. x≤3
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结合图中可行域得 x∈[－52，3]，y∈[－3，8].
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(2)由图形及不等式组知－－2x≤≤yx≤≤x3＋，5且，x∈Z. 当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点； 当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点； 当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点； 当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点； 当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点； 当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点； ∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个).
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解 由约束条件3x－x＋45y＋y－32≤5≤0，0， x≥1，
作出(x，y)的可行域如图阴影部分所示.
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由x3＝x＋15y－25＝0，解得 A(1，252).
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由xx＝－14y＋3＝0，解得 C(1，1). 由x3－x＋4y5＋y－3＝250＝0，解得 B(5，2). (1)由 z＝4x－3y，得 y＝43x－3z. 当直线 y＝43x－3z过点 B 时，－3z最小，z 最大. ∴zmax＝4×5－3×2＝14.
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所求面积为f(t)＝S△AOE－S△OBC－S△FDE
＝12×2×1－12t2－12[2－(t＋1)]2＝－t2＋t＋12， 即 f(t)＝－t2＋t＋12， 此时 f(0)＝12，f(1)＝12， 综上可知选D.
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原料/10 g 甲 乙
蛋白质/单位 铁质/单位 售价(元)
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设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用为z元，
那么150x＋x＋74y≥y≥3450，，目标函数为 z＝3x＋2y， x≥0，y≥0，
作出可行域阴影部分如图所示：
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把 z＝3x＋2y 变形为 y＝－32x＋2z，得到斜率为－32，在 y 轴上的截距为2z，随 z 变 化的一族平行直线.
由图可知，当直线 y＝－32x＋2z经过可行域上的点 A 时，截距2z最小，即 z 最小. 由150x＋x＋74y＝y＝3540，，得 A(154，3)， ∴zmin＝3×154＋2×3＝14.4(元). ∴使用甲种原料154×10＝28(g)，乙种原料 3×10＝30(g)时，既满足营养，又使费 用最省.