考研数学之矩阵的特征值与特征向量

第五章 矩阵的特征值与特征向量
内容提要
一、基本概念
1.A 是一个n 阶方阵,如果存在一个数λ和一个n 维非零列向量α,使得λαα=A 成立,则称λ为矩阵A 的特征值，非零列向量α称为矩阵A 的属于特征值λ的特征向量.
2.A 为n 阶方阵,λ为未知量,则矩阵
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛---------=-nn n n n n a a a a a a a a a A E λλλλ 21222
2111211
称为矩阵A 的特征矩阵;其行列式A E f -=λλ)(为λ的n 次多项式,称为矩阵A 的特征多项式;0=-A E λ称为矩阵A 的特征方程.
3.n 阶方阵A 的主对角线上的元素的和称为A 的迹,记作)(A t r ,即)(A t r nn a a a +++= 2211.
4.对于n 阶方阵A 和B ,若存在n 阶可逆方阵P ,使B AP P =-1成立,则称A 与B 相似,记为B A ~.满足: (1)自身性 即A A ~;
(2)对称性 若B A ~,则A B ~;
(3)传递性 若B A ~,C B ~,则C A ~. 5.若矩阵A 与对角阵相似,则称A 可对角化.
6.实矩阵A =n m ij a ⨯)(,如果0≥ij a ,),,2,1;,,2,1(n j m i ==,称A 为非负矩阵;如果ij a >0,),,2,1;,,2,1(n j m i ==,称A 为正矩阵.
7.如果n 阶方阵A =n m ij a ⨯)(,可以经过一系列相同的行和列互换,化为
⎪⎭⎫
⎝
⎛221211A O A A ,
其中11A ,22A 为子方阵(不一定同阶),则称A 为可分解矩阵,否则称A 为不可分解的矩阵.
8.若n λλλ,,,21 为n 阶方阵A 的特征值,则称
=)(A P |}|,,||,|max{|21n λλλ 为A 的最大特征值(或为A 的谱半径). 二、几个结果
1.特征值和特征向量的基本性质
(1)n 阶矩阵A 与它的转置矩阵T A 有相同的特征值(但特征向量一般不同);
(2)属于A 的不同特征值的特征向量必定线性无关(但属于相同特征值的特征向量不一定必相关);
(3)属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量;
(4)设n λλλ,,,21 为n 阶方阵A 的特征值,则有
①nn n a a a ++=+++221121λλλ,即A 的特征值的和等于矩阵A 的主对角线的元素的和; ②||21A n =λλλ .
推论 若矩阵A 可逆⇔矩阵A 的特征值全不为零.
(5)若λ为矩阵A 的特征值,α是A 的属于λ的特征向量,则
①λk 是kA 的特征值(k 为任意常数); ②m λ是m A 的特征值(m 为正整数);
③当A 可逆时,1-λ是1-A 的特征值,λ
A
是*A 的特征值;
④)(0λP 是)(A P 的特征值,其中)(x P 为任一多项式.
注意 α仍是矩阵kA 、m A 、1-A 、*A 、)(A P 对应于特征值λk 、m λ、1-λ、λ
A
、)(0λP 的特征向量. )6(*若A 为实对称矩阵,则A 的所有特征值均为实数,且属于不同特征值的特征向量彼此正交. 2.相似矩阵的性质
若A ～B ,则
(1)B A =,)()(B r A r =,)()(B t A t r r =;
(2)T A ～T B ,1-A ～1-B ,m A ～m B ,kA ～kB ,)(A P ～)(B P ;
(3)||||B E A E -=-λλ,即相似矩阵有相同的特征多项式,因而也有相同的特征值,但特征向量不一定相同.
3.矩阵可对角化的条件
(1)n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量;
(2)n 阶方阵A 有n 个不同的特征值,则A 一定可对角化; )3(*
实对称矩阵必可对角化,且存在正交矩阵P (1-=P P T ),使Λ=-AP P 1.
例题解析
例1 设矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=011102124A ,则A 的对应于特征值2=λ的特征向量
α为( ).
(A )T )0,0,0( (B )T )0,1,1(- (C )T )2,1,1( (D )T )1,0,1(
解 根据定义,只需验证选项中的向量α是否满足αα2=A )0(≠α,显然,零向量不是矩阵A 的特征向量,应排除(A ). 对于(B ),因为
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0112022011011102124αA ,
所以,=α()T
0,1,1-是A 的对应于2=λ的特征向量,应选(B ). 例2 设A 为n 阶矩阵,下述结论中正确的是( ). (A )矩阵A 有n 个不同的特征根
(B )矩阵A 与T A 有相同的特征值和特征向量
(C )矩阵A 的特征向量21,αα的线性组合2211ααc c +仍是A 的特征向量 (D )矩阵A 对应于不同特征值的特征向量线性无关
解 对于选项(A ),矩阵A 有n 个特征根(在复数范围内),但这些特征根中可能有重根,故(A )错.
对于选项(B ),A 与T A 有相同的特征值,但是,对应的特征向量不一定相同,故(B )错.
对于选项(C ),未说明21,αα对应的特征值.如果21,αα是对应于A 的同一特征值λ的特征向量,则当21,c c 不全为零时,2211ααc c +仍是A 的对应于特征值λ的特征向量;如果21,αα是对应于A 的不同特征值21,λλ的特征向量,则2211ααc c +不是A 的特征向量(0,021≠≠c c 为任意常数).关于这一结论的证明,见例8.
对于选项(D )是矩阵特征值、特征向量的性质.综上分析,应选(D ).
例3 如果n 阶矩阵A 任意一行的n 个元素之和都是a ,则A 有一个特征值( ). (A )a (B )a - (C )0 (D )1-a
解 在||A E -λ中,把第二列到第n 列都加到第一列上,则第一列有公因
子αλ-,提出后可知αλ-是||A E -λ的因子,所以a 是A 的一个特征值.应选(A ).
例4 设矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---=2221A ,则下面各矩阵中非奇异矩阵是( ).
(A )A E +-2 (B )A E - (C )A E -2 (D )A E --3 解 矩阵A 的特征多项式为
)2)(3(2
22
1-+=+-=-λλλλλA E ,
故A 的特征值为31-=λ,22=λ.
因为 02)1()2(22=--=--=+-A E A E A E ,
即选项(A )是奇异矩阵,而1不是A 的特征值,必有0||≠-A E ,应选(B ).
例5 已知三阶方阵A 的三个特征值为1,-2,3,则=||A ,1-A 的特征值为 ,T A 的特征值为 ,*A 的特征值为 ,E A A ++22的特征值为 .
解 因为6||321-==λλλA ,由||||T A E A E -=-λλ,知A 与T A 有相同的特征值,故T A 的特征值为1,2-,3.若设X 为A 属于λ的一个特征向量,则有
X AX λ=,于是有X X A λ1
1=-,X A X A A X A λ
==-1*,X X A k k λ=,从而推得
1-A 的特征值为λ
1
,*A 的特征值为λ||A .矩阵多项式)(A f 的特征值为)(λf ,从
而可写出各自具体内容.应填6-;3
1
,21,1-;3,2,1-;2,3,6--;16,1,4.
例6 设A 是三阶方阵,并且0322=+=+=-E A E A E A ,则E A 32-* = .
解 由0322=+=+=-E A E A E A ,可得A 的特征值分别为2
3,2,1-
-, 所以 3)2
3
()2(1=-⋅-⋅=A ,于是E A E A A E A 36323211-=-=---*的特征值
分别为7,6,3--,故 126)7()6(332=-⨯-⨯=-*E A ,应填126.
例7 设4阶方阵A 满足条件03=+A E ,E AA T 2=,0<A ,其中E 是4阶单位阵,则方阵A 的伴随矩阵*A 的一个特征值为_______.
解 由0)3(3=--=+E A E A ,得A 的一个特征值3-=λ.又由条件有 16224===E E AA T , 162
===A A A AA T T .
因为0<A ,所以4-=A ,且知A 可逆.
设A 的属于特征值3-=λ的特征向量为α,则
αααααα3
133111-=⇒-=⇒-=---A A A A A ,
又因为0≠A ,所以11,3
1-*-=-=A A A A A A αα,故αα34
=*A ,可知*A 的特
征值为34.应填3
4
.
例8 设21,λλ是n 阶矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为21,αα,试证:2211ααc c +(01≠c ,02≠c ,任意常数)不是A 的特征向量. 证 反证法.
设2211ααc c +为A 的对应于特征值λ的特征向量,于是 )()(22112211ααλααc c c c A +=+
又由已知,有111αλα=A ,)0(1≠α,222αλα=A ,)0(2≠α.代入上式左边,得 22211122112211)(αλαλααααc c A c A c c c A +=+=+, 因此
)(2211222111ααλαλαλc c c c +=+, 所以
0)()(222111=-+-αλλαλλc c . 因21λλ≠,所以向量21,αα线性无关,故 0)(11=-λλc , 0)(22=-λλc , 其中21,c c 是不等于零的任意常数.
由此可得λλ=1,λλ=2,即21λλ=,与已知条件矛盾!所以2211ααc c +不是A 的特征向量.
例9 求矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=110020112A 的特征值和特征向量.
解 A 的特征多项式
)1()2(1
1
02
01
1
22--=-----=-λλλλλλA E , 所以,A 的特征值为11=λ,232==λλ.
对于11=λ,解齐次线性方程组O X A E =-)(, 因
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-000010101010010111)(A E ,
由此可得同解方程组
⎩⎨⎧==+00
2
31x x x ,
取3x 为自由未知量,令13=x ,得方程组的基础解系T -=)1,0,1(1α.
于是A 的对应于特征值11=λ的全部特征向量为11αc (01≠c ,为任意常
数).
对于232==λλ,解齐次线性方程组0)2(=-X A E , 因
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000000110110000110)2(A E ,
由此可得同解方程组 032=+x x .
取自由未知量⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛31x x 分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛01,⎪⎭⎫
⎝⎛10可得方程组的基础解系 T T -==)1,1,0(,)0,0,1(32αα
于是,A 的对应于232==λλ的全部特征向量为3322ααc c +(32,c c 为不全为零的任意常数).
注 1.求特征值、特征向量的基本方法:
(1)计算矩阵A 的特征多项式()A E f -=λλ;
(2)求出特征方程()0=-=A E f λλ的全部根,即A 的全部特征值; (3)对每一个特征值0λ,求出O X A E =-)(0λ的一个基础解系r n -ηηη,,,21 , 则A 的属于0λ的全部特征向量为r n r n k k k --+++ηηη 2211,其中r n k k k -,,,21 为不全为零的常数.
2.这类计算题中,方程组()O X A E =-λ的系数矩阵常常出现零列(如此题中)2(A E -的第一列).应注意:凡是零列所对应的变量应取作自由未知量.例如,在本题中求O X A E =-)2(的基础解系时,取31,x x 为自由未知量.
例10 ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-----=12221222
1A ,(1)求A 的特征值;(2)求1-+A E 的特征值.
解 A 的特征多项式
1
2122
2
12
2
21
r r A E ++-+---+=-λλλλ1
22011221+-----+λλλλ)5()1(2+-=λλ. 所以,A 的特征值为1,1,5-.
由特征值性质可知,1-A 的特征值为1,1,5
1
-
,于是1-+A E 的特征值为2,2,
5
4. 例11 设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=0011100y x A 有三个线性无关的特征向量,求x 和y 应满足的
条件.
解 A 的特征多项式为
λλλλ0111
0-----=-y x A E )1()1(2+-=λλ, 所以,A 的特征值为 121=，λ,13-=λ.
只要121=，λ有两个线性无关的特征向量即可,即矩阵
A E -⋅1的秩等于1. 因为
A E -⋅1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1010101y x ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---→00000101x y ,
只要满足0=+y x 即可.
例12 设向量T K )1,,1(=α是矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=211121112A 的逆矩阵1-A 的特征向
量,试求常数K 的值.
分析 用特征值、特征向量的定义讨论.
解 设λ是α所属的特征值,则λαα=-1A ,αλαA =,.即 ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1121112111211K K λ,
由此,得方程组
⎩
⎨⎧=+=+K K K )22(1
)3(λλ,
其解为11=λ,21-=K ;4
1
2=λ,12=K .
于是,当2-=K 或1时,α是1-A 的特征向量.
例13 设矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=a c b c a
A 01351,其行列式1-=A ,又A 的伴随矩阵
*A 有一个特征值0λ,属于0λ的一个特征向量为T )1,1,1(--=α,求c b a ,,和0
λ的值.
解 由题设知
E E A AA -==*,αλα0=*A . 于是有
αλααααA A A E AA 0)(==-=-=**. 即有
0λ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111110135
1a c b c a
. 得
⎪⎩⎪
⎨⎧-=--=--=++-1)1( 1)2( 1)1(0
00a c b c a λλλ.
由此解得 10=λ,3-=b ,c a =.再代入1-=A 得2==c a .
例14 设A 为n 阶方阵,任一非零的n 维向量都是A 的特征向量,试证明:
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=λλλ
00
A , 即A 为数量矩阵.
证 设),,2,1,(n j i a ij ⋅⋅⋅=是A 的第i 行、第j 列元素,因单位坐标向量,1ε
n εε,,2⋅⋅⋅也是A 的特征向量,设n λλλ,,,21 是对应的特征值,则有 i i A λεε= ),,1(n i ⋅⋅⋅=
即
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001 i ni ii i i a a a A λε, ),,1(n i ⋅⋅⋅=.
故 i ii a λ=,0=ji a (i j ≠).这样
⎪
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=n A λλλ0
021
. 因为0≠+j i εε (i j ≠),也是A 的特征向量,设λ为对应的特征值,则由 j i j i j i A λελεεελεε+=+=+)()(, j j i i j i j i A A A ελελεεεε+=+=+)(,
有 0)()(=-+-j j i i ελλελλ.因j i εε,线性无关,故λλλ==j i .于是可得
⎪
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=λλλ
0 A . 例15 设B A ,均为n 阶方阵,试证AB 与BA 有相同的特征值. 证 如果矩阵AB 是不可逆的,则0=AB ,所以 0==⋅=⋅=AB B A A B BA . 由此可得
0)1(0=-=-AB AB E n , 0)1(0=-=-BA BA E n .
即AB 与BA 都有特征值0.
当AB 不可逆,且00≠λ为AB 的任一非零特征值时,需证0λ也是BA 的特征值.实际上,设AB 的对应于0λ的特征向量为)0(≠αα,则 αλα0=AB . 在上式两边左乘B ,得
)()(0αλαB B BA =. 令αηB =,则有ηλη0=BA ,只需证明0≠η.
假设0==αηB ,于是0==αηAB A .这与00≠=αλαAB 矛盾.因此0≠η.即0λ是BA 的一个特征值,对应的特征向量为αB .
由0λ的任意性可知,AB 的任一非零特征值都是BA 的特征值.类似可证
BA 的任一非零特征值也是AB 的特征值.
当矩阵AB 可逆时,AB 的任一特征值不等于零.类似于上面的证明可得AB 与BA 有相同的特征值.
例16 设B A ,为n 阶矩阵,且A 与B 相似,E 为n 阶单位矩阵,则( ). (A )B E A E -=-λλ
(B )A 与B 有相同的特征值和特征向量 (C )A 与B 都相似于一个对角阵
(D )对任意常数t ,A tE -与B tE -相似
解 由A 与B 相似,则存在可逆阵P ,使得 B AP P =-1,从而 B tE AP P P tP P A tE P -=-=----111)(, 即A tE -与B tE -相似.应选(D ).
例17 设矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=300020002A ,则下述矩阵中与A 相似的矩阵是( ).
(A )⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3001200121A (B )⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=3000200122A
(C )⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3000201023A (D )⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=3110210024A
解 因矩阵A 已是对角形矩阵,而各选项中矩阵与A 有相同的特征值,故只需判断各选项中的矩阵可否对角化.
对于选项(A ),特征多项式)3()2(21--=-λλλA E ,其特征值为
221==λλ,33=λ.
考察方程组O X A E =-)2(1,其系数矩阵
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-000100010100100010)2(1A E ,
于是2)2(1=-A E r .方程组O X A E =-)2(1的基础解系中仅含1个向量,而=1λ
22=λ是二重特征值,故矩阵1A 不能对角化,即1A 不与A 相似.
对于选项(B )与(D ),用类似方法可判断矩阵42,A A 不可对角化,故42,A A
不与A 相似.
对于选项(C ),矩阵3A 的特征多项式)3()2(23--=-λλλA E ,其特征值为221==λλ,33=λ.
考虑方程组O X A E =-)2(3,其系数矩阵
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-000000100100000100)2(3A E ,
故1)2(3=-A E r ,方程组O X A E =-)2(3的基础解系中恰恰含两个向量,故3A 可对角化.应选(C ).
注 矩阵A 对角化的步骤:
(1)求出A 的特征值:1λ,2λ, n λ,对于每一个特征值i λ,求出齐次线性方
程组O X A E i =-)(λ的一个基础解系,若基础解系中所含向量的个数等于i λ的重数,则A 可对角化,否则A 不可对角化;
(2)以A 的n 个线性无关的特征向量:n ααα,,,21 为列构造可逆矩阵=P ),,,(21n ααα ,则有对角阵Λ=diag(n λλλ,,,21 )=AP P 1-.注意顺序:i α为属于i λ的特征向量.
例18 三阶矩阵A 的特征值为1,2-,3,矩阵A A B 22-=,求:
(1)B 的特征值;
(2)B 是否可对角化,若可以,试写出其相似对角形矩阵;
(3)行列式E A B 2-和的值.
解 设λ为A 的任一特征值,对应的一个特征向量为α,则
λαα=A , )0(≠α.
所以
αλαλα22==A A ,
αλλλααλαα)2(2)2(222-=-=-=A A B ,
即,对应于A 的一个特征值λ,B 对应的特征值为λλ22-.由此可知当A 的特征值为1,2-,3时,B 的特征值为1-,8,3.
因为B 有三个不同的特征值,所以B 可与一对角阵相似,其相似对角形矩阵为
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-300080001.
于是 2438)1(-=⨯⨯-=B ,63)2(1-=⨯-⨯=A .
又因为)2(E A A B -=,所以46
242=--==-A B
E A . 例19 设⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=3212A ,求100A . 分析 直接求100A 计算量过大,可设法利用对角矩阵进行计算. 解 A 的特征多项式
)4)(1(2
212--=----=-λλλλλA E , 故A 的特征值为11=λ,42=λ.
当11=λ时,可求出一个基础解系:T )1,1(1-=α.
当42=λ时,可求出一个基础解系:T )2,1(2=α.
令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2111P ,则⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-3/13/13/13/21P ,此时
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-40011AP P , 即有 14001-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=P P A 因此
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3/13/13/13/24001211140011001100100P P A ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯+⨯+-+-+=100100100100
421422414231. 例20 若三阶方阵A 的特征值为61=λ,32=λ,33=λ,其相应的特征向量为T )1,1,1(1=α,T )1,0,1(2-=α,T )1,2,1(3-=α,求矩阵A ,5A .
解 因为可逆矩阵
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=111201111P , 则
Λ=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-3000300061AP P . 故
A =1300030006-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛P P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--6/13/16/12/102/13/13/13/1300030006111201111=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛411141114. 因A ～Λ,故5A ～5Λ,即有
155555
55
55332336336⨯=⨯⨯==
Λ=A . *例21 若三阶实对称矩阵A 的特征值为1,4,2-,且对于11=λ和42=λ的特征向量分别为T )2,1,2(1-=α,T )1,2,2(2-=α,求矩阵A ,5A .
解 设23-=λ的特征向量为T c b a ),,(3=α,由于实对称矩阵的特征向量是相互正交的,故有0),(21=αα,0),(32=αα,即
⎩
⎨⎧=+-=-+022022c b a c b a , 解之可得 2
c a =,c b =,c c =. 令2=c ,即有1=a ,2=b .故T )2,2,1(3=α.
取
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛--==212221122),,(321αααP . 则
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-221122212911P . 由于
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2411AP P , 所以
1241-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P P A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=22112221291241212221122 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022. 此时由
A ～⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ241, 故
5A ～⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ555)2(41. 因此
1555)2(41-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P P A
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=221122212913210241212221122
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=9002178198021783969415819804158406891 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=100242220242441462220462452. *例22 设矩阵
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=210010000010010y A . (1)已知A 的一个特征值为3,试求y ;
(2)求矩阵,使)()(AP AP T 为对角阵.
解 (1)由31=λ,代入特征方程0=-A E λ,得 1100130000310
013-----y ()0281
1133113=-=-----=y y . 所以2=y .
(2)由)()(AP AP T P A P AAP P T T 2==,问题转化为2A 的对角化问题. 由于
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=5445112A , 只要将⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=54451A 对角化即可,由 09105
44521=+-=----=-λλλλλA E , 得11=λ,92=λ.求得相应特征向量为
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111α, ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=112α. 单位化 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11211β, ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=11212β.
即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=2121212111P 使
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=9111)()(AP AP T . 注 由正交矩阵P 将实对称矩阵A 化为对角阵的步骤:
(1)求出实对称阵A 的全部特征值:1λ,2λ, ,n λ;
(2)对于每一个特征值i λ,求出齐次线性方程组0)(=-X A E i λ的一个基础解系;
(3)利用施密特正交化法将基础解系正交化、单位化,求出属于i λ的一个标准正交组;
(4)将所有正交化、单位化后的n 个特征向量作为列向量构成矩阵P ,则P 为所求正交矩阵,并可得对角阵AP P 1-=),,,(diag 21n λλλ .
例23 设n 阶方阵A 有n 个互不相同的特征值,证明:A 的特征向量也是B 的特征向量的充分必要条件是B A ,可交换.
证 必要性
因为A 有n 个互不相同的特征值,故A 可对角化.即存在可逆阵P ,使11Λ=-AP P .
由于A 的特征向量也是B 的特征向量,故对同样的P ,有21Λ=-BP P .于是
1211211))((---ΛΛ=ΛΛ=P P P P P P AB ,
1121112))((---ΛΛ=ΛΛ=P P P P P P BA .
而1221ΛΛ=ΛΛ,所以,BA AB =.
充分性
设λαα=A ,0≠α.两边左乘B ,利用BA AB =,有
)()()(αλααB B A A B ==.
若0≠αB ,由上式可知αB 也是A 的属于特征值λ的特征向量.由于A 的特征值两两不同,故属于特征值λ的线性无关的特征向量只有一个,因此α与αB 应成比例,即μαα=B ,即α为B 的特征向量;
若0=αB ,则αα0=B )0(≠α,故α仍为B 的特征向量.
总之,A 的特征向量也是B 的特征向量. 例24 已知矩阵A 与C 相似,矩阵B 与D 相似,证明分块矩阵
⎪⎭⎫ ⎝⎛B O O A 与⎪⎭
⎫ ⎝⎛D O O C 相似. 证 由条件知,存在可逆矩阵Q P ,使得 AP P C 1-=, BQ Q D 1-=.
取⎪⎭⎫ ⎝⎛=Q O O P X ,则X 可逆,且⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=---111Q O O P X .这时 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---Q O O P B O O A Q O O P X B O O A X 111 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=--D O O C BQ Q O O AP P 11, 即⎪⎭⎫ ⎝⎛B O O A 与⎪⎭
⎫ ⎝⎛D O O C 相似. 例25 设 矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=d c b a A 为二阶实矩阵,且0>bc ,证明A 可与一对角矩阵相似.
证 因A 的特征多项式
d
c b a A E ----=-λλλ)()(2bc a
d d a -++-=λλ, 其判别式
04)()(4)(22>+-=--+=∆bc d a bc ad d a 所以A 必有两个不同的特征值,故A 必可与一对角阵相似.。