2020届福建省宁德市高三毕业班6月质量检查数学(文)试题解析

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2020届福建省宁德市高三毕业班6月质量检查数学（文）
试题
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：________
___ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知集合{
}
|24x
A x =<，{
|B x y ==，则A B =（ ）
A ．()2,+∞
B ．[
)1,+∞
C ．()1,2
D ．[)1,2
答案：D
求出集合A 、B ，利用交集的定义可求得集合A B .
解：
{}
()
24,2x A x =<=-∞，{[)1,B x y ===+∞，
因此，[)1,2A B =.
故选：D. 点评：
本题考查交集的运算，同时也考查了对数不等式和函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.
2．已知()2i z i -=，则z =（ ）
A ．
15
B ．
13
C D 答案：C
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解． 解：
由(2)i z i -=， 得(2)12
2(2)(2)55
i i i z i i i i +=
==-+--+，
则||z ==．
故选：C ． 点评：
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2589a a a ++=，则9S =（ ） A ．21 B ．27
C ．30
D ．36
答案：B
首先根据2589a a a ++=得到53a =，再计算9S 即可. 解：
由题知：258539a a a a ++==，所以53a =.
195
959()9292722
a a a S a +⨯=
===. 故选：B 点评：
本题主要考查等差数列的前n 项和计算，同时考查了等差数列的性质，属于简单题.
4．已知l ，m 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题中真命题的是（ ）
A ．若//l m ，m α⊂，则//l α
B ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥
C ．若//αβ，m α⊂，则//m β
D ．若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥
答案：C
根据直线、平面之间的位置关系逐项判断. 解：
若//l m ，m α⊂，则//l α或l α⊂，A 错误；
若l m ⊥，m α⊂，则l α⊂或l 在平面α外，B 错误；
若//αβ，m α⊂，则直线m 与平面β没有公共点即//m β，C 正确； 若αβ⊥，m α⊂，直线m 不一定垂直于β，D 错误. 故选：C 点评：
本题考查空间中直线与平面的位置关系，属于基础题.
5．图数()1cos f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，[)(],00,x ππ∈-的图象可能为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
答案：A
首先根据()f x 为奇函数，排除B ，D ，再根据02x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，时，()0f x >，排除C ，即
可得到答案. 解：
由题知：()()11cos cos ()f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=--
-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以()f x 为奇函数，故排除B ，D. 又因为02x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，时，()0f x >，故排除C.
故选：A 点评：
本题主要考查根据函数的解析式求函数的图象，利用函数的奇偶性为解决本题的关键，属于简单题.
6．已知数列{}n a 满足11
n n n
a a n +=+，11a =，则数列{}1n n a a +的前10项和为（ ） A ．
1011
B ．
1110 C ．
910
D ．
109
答案：A
利用累乘法求出数列{}n a 的通项公式，然后利用裂项求和法可求数列{}1n n a a +的前10项和.
解：
11n n n a a n +=
+，11n n a n a n +∴=+，则3
2112
11211
123
n n n a a a n a a a a a n n
--=⋅
⋅⋅⋅
=⨯⨯⨯⨯
=， ()1111
11
n n a a n n n n +∴=
=-++，
所以，数列{}1n n a a +的前10项和为
101111111110112233410111111S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+-+-+
+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
.
故选：A. 点评：
本题考查利用裂项相消法求和，同时也考查了利用累乘法求数列通项，考查计算能力，属于基础题.
7．设实数x ，y 满足不等式组2030
x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，则13x y
-⎛⎫ ⎪⎝⎭最大值为（ ）
A ．
127
B ．1
C ．3
D ．27
答案：C
作出不等式组对应的平面区域，利用z x y =-的几何意义进行求解即可． 解：
作出实数x ，y 满足不等式组2030x y x y y -⎧⎪
+⎨⎪⎩
对应的平面区域如图：
设z x y =-，得y x z =-表示，斜率为1纵截距为z -的一组平行直线，
平移直线y x z =-，当直线y x z =-经过点A 时，直线y x z =-的纵截距最大，此时z 最小，
由203
x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得(1,2)A 此时121min z =-=-． 则1()3
x y
-最大值为：3．
故选：C ．
点评：
本题主要考查线性规划的基本应用，利用z x y =-的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．
8．在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2AB BC ==，若其外接球的表面积为12π，则SA =（ ） A ．1 B ．2
C ．23
D ．4
答案：B
首先将三棱锥S ABC -放入长方体中，得到三棱锥S ABC -与长方体有相同的外接球，再根据外接球的表面积即可得到答案. 解：
将三棱锥S ABC -放入长方体中，如图所示：
由图可知三棱锥S ABC -与长方体有相同的外接球. 设SA h =，长方体的外接球半径为R ， 因为2412R ππ=，解得3R
又因为2
R ==2h =
故选：B 点评：
本题主要考查三棱锥的外接球，同时考查了球体的表面积公式，属于简单题. 9．已知函数sin cos y x x =的图象向右平移6
π
个单位长度，则平移后图象的对称中心为（ ） A ．(),026k k ππ⎛⎫
+∈
⎪⎝
⎭Z B ．(),026k k ππ⎛⎫
-∈
⎪⎝
⎭Z C ．(),0212k k ππ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
Z D ．(),0212k k ππ⎛⎫
-∈
⎪⎝⎭
Z 答案：A
根据三角函数的图象平移关系求出函数的解析式，结合函数的对称性进行求解即可． 解：
将函数1sin cos sin 22
y x x x ==的图象向右平移6π
个单位长度，
得11sin 2sin 22623y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣⎦， 由2x 3
π-
=k π，得x 26
k ππ=
+，k ∈Z ，即对称中心为（26k ππ
+，0），k ∈Z ，
故选：A ． 点评：
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键，属于基础题．
10．著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中1213,,,a a a ⋅⋅⋅表示这些半音的频率，它们满足
()12
12log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫
==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
.若某一半音与#D
（ ）
A ．#F
B ．G
C ．#G
D ．A
答案：B
先根据已知条件求得公比，结合题目所求半音与#D 的频率之比，求得该半音. 解：
依题意可知()01,2,
,12,13n a n >=.
由于1213,,,a a a ⋅⋅⋅满足()12
12log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
，则12
1
11
1222i i i i a a a a ++⎛⎫=⇒=
⎪⎝⎭，所以数列{}()1,2,
,12,13n a n =为等比数列，设公比112
2q =，#D 对应的频率为4a ，
题目所求半音与#
D 4
1
13
1222⎛⎫== ⎪⎝⎭
，所以所求半音对应的频率为
4
112482a a ⎛⎫
⋅= ⎪⎝⎭
.即对应的半音为G .
故选：B 点评：
本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.
11．已知函数()2
1,2
log ,2x f x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则不等式()()214f x f x +<的解集为（ ）
A ．11,,22⎛
⎫⎛⎫-∞-
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．()3,1,2
⎛⎤-∞-+∞ ⎥
⎝
⎦
C ．(](),11,-∞+∞
D ．11,,62⎛⎫⎛⎫
-∞-+∞ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
答案：A
分析出函数()y f x =为偶函数，分析该函数在区间[)0,+∞上的单调性，由
()()214f x f x +<得()()214f x f x +<，结合函数()y f x =在区间[)0,+∞上的
单调性可得出关于x 的不等式组，进而可解得实数x 的取值范围，即为所求. 解：
当22x -<<时，()1f x =，满足()()f x f x -=；
当2x -≤或2x ≥时，()2log f x x =，则()()22log log f x x x f x -=-==. 由上可知，函数()y f x =为偶函数.
当02x ≤<时，()1f x =；当2x ≥时，()2log f x x =，则函数()y f x =在[)2,+∞上为增函数，且()21f =. 由()()214f x f x +<可得()()214f x f x +<，所以，42421
x x x ⎧>⎪
⎨
>+⎪⎩，解得21x <-或1
2
x >
. 因此，不等式()()214f x f x +<的解集为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
故选：A. 点评：
本题考查函数不等式的求解，分析函数的奇偶性和单调性是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
12．已知椭圆22
:11612
x y C +=，圆22:320A x y x y +--+=，P 、Q 分別为椭圆C 和
圆A 上的点，()2,0F -，则PQ PF +的最小值为（ ）
A ．4
B ．8-
C ．4
D ．8
答案：D
作出图形，设点E 为椭圆C 的右焦点，由椭圆的定义可得8PF PE =-，由圆的几何
性质得2
PQ PA ≥-
，可得82PQ PF PA PE +≥-+-，由P 、A 、E 三
点共线且点P 在点A 的上方时，PQ PF +取得最小值，由此可求得结果. 解：
圆A 的标准方程为22
311222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，圆心31,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径2
2
r ， 如下图所示，可知点F 为椭圆C 的左焦点，设点E 为椭圆C 的右焦点，易知点E 在圆
A 上，
由椭圆的定义可得28PF a PE PE =-=-，
由圆的几何性质可得22
PQ PA r PA ≥-=-
， 228888222
PQ PF PQ PE PA PE AE ∴+=+-≥-+-
≥-+-=- 当且仅当P 、A 、E 三点共线且点P 在点A 的上方时，PQ PF +取得最小值82. 故选：D. 点评：
本题考查椭圆中折线段长的最值的计算，考查椭圆的定义和圆的几何性质的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
二、填空题
13．已知向量()3,1a =，(),2b x =-，且a ，b 共线，则a b ⋅=______； 答案：－20
首先根据a ，b 共线得到6x =-，再计算a b ⋅即可. 解：
由题知：a ，b 共线，所以60x --=，解得6x =-.。