第六讲 全称量词命题与存在量词命题-2022年新高一数学(解析版)

第六讲 全称量词命题与存在量词命题
1. 能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.
2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
3. 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.
【基础知识】
1.全称量词命题的否定 命题的否定：改变量词，否定结论 全称量词命题p ：∀x ∈M ，p (x )， 它的否定p ⌝：∃x ∈M ，p ⌝ (x ). 全称量词命题的否定是存在量词命题.
2.存在量词命题的否定
存在量词命题p ：∃x ∈M ，p (x )， 它的否定p ⌝：∀x ∈M ，p ⌝ (x ). 存在量词命题的否定是全称量词命题. 3.常见正面词语的否定举例如下：
4.全称量词和全称量词命题
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.
(3)全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为∀x ∈M ，p (x ). 5.存在量词与存在量词命题
(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.
(2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等.
(3)存在量词命题：含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M 中的元素x ，使p (x )成立”可用符号简记为∃x ∈M ，p (x ). 6.命题与命题的否定的真假判断
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.
【考点剖析】
考点一：全称量词命题与存在量词命题的真假的判断
例2．下列命题为真命题的是( )
A ．0x R ∃∈，使2
0x < B ．x R ∀∈，有20x
C ．x R ∀∈，有20x >
D ．x R ∀∈，有20x <
【答案】B
【解析】因为x R ∈，所以20x ，所以x R ∀∈，有20x ， 故选B ．
考点二：依据含量词命题的真假求参数取值范围
例3．已知命题“x R ∀∈，使21
4(2)04
x a x +-+>”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞ B ．[0，4] C ．[4，)+∞ D ．(0,4)
【答案】D
【解析】命题“x R ∀∈，使21
4(2)04
x a x +-+>”是真命题， 即判别式△21
(2)4404
a =--⨯⨯<， 即△2(2)4a =-<，
则222a -<-<，即04a <<， 故选D ．
考点三：全称量词命题与存在量词命题的识别
例1．下列命题中 （1）有些自然数是偶数； （2）正方形是菱形；
（3）能被6整除的数也能被3整除； （4）对于任意x R ∈，总有
21
11
x +． 存在量词命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【答案】B
【解析】对于（1），有些自然数是偶数，含有存在量词“有些”，是存在量词命题； 对于（2），正方形是菱形，可以写成“所有的正方形都是菱形”，它是全称量词命题；
对于（3），能被6整除的数也能被3整除，可以写成“所有能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；
对于（4），对于任意x R ∈，总有
21
11
x +，含有全称量词“任意的”，是全称量词命题． 所以存在量词命题的序号是（1），有1个． 故选B ．
考点四：全称量词命题的否定
例4．全称命题：x R ∀∈，254x x +=的否定是( ) A ．x R ∃∈，254x x += B ．x R ∀∈，254x x +≠ C ．x R ∃∈，254x x +≠ D ．以上都
不正确 【答案】C
【解析】全称命题的否定是特称命题，
x R ∴∀∈，254x x +=的否定是：x R ∃∈，254x x +≠．
故选C ．
考点五：存在量词命题的否定
例5．设命题0:(0,)p x ∃∈+∞，03
03x x <，则命题p 的否定为( )
A ．(0,)x ∀∈+∞，33x x <
B ．(0,)x ∀∈+∞，33x x >
C ．(0,)x ∀∈+∞，33x x
D ．(0,)x ∃∈+∞，33x x
【答案】C
【解析】命题0:(0,)p x ∃∈+∞，03
03x x <，
则命题p 的否定为：(0,)x ∀∈+∞，33x x ． 故选C ．
考点六：根据全称量词命题、存在量词命题的否定求参数
例6．已知命题:p x R ∃∈，使220ax x a ++，当a A ∈时，p 为假命题，求集合． 【解析】当a A ∈时，p 为假命题， 则当a A ∈时，x R ∀∈，使220ax x a ++<， 若0a =，不等式等价为0x <，不满足条件． 若0a ≠，要使不等式恒成立，
则2
0440a a <⎧⎨=-<⎩，即011a a a <⎧⎨><-⎩
或，则1a <-， 即(,1)A =-∞-．
【真题演练】
1．下列命题是全称量词命题的是( ) A ．有一个偶数是素数
B ．至少存在一个奇数能被15整除
C ．有些三角形是直角三角形
D ．每个四边形的内角和都是360︒ 【答案】D
【解析】A ，有一个，存在性量词，特称命题， B ，至少存在一个，存在性量词，特称命题， C ，有些，存在性量词，特称命题， D ，每个，全称量词，全称命题，
故选D ．
2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( ) A ．x R ∀∈，2210x x ++> B ．所有菱形的4条边都相等 C ．若2x 为偶数，则x N ∈ D ．π是无理数
【答案】B
【解析】对于:A x R ∀∈，2221(1)0x x x ++=+，故A 错误； 对于B ：所有菱形的4条边都相等，满足两个条件，故B 正确； 对于C ：若2x 为偶数，则x N ∈或N -，故C 错误； 对于:D π是无理数不是全称命题，故D 错误． 故选B ．
3．已知对{|13}x x x ∀∈<，都有m x >，则m 的取值范围为( ) A ．3m B ．3m >
C ．1m >
D ．1m
【答案】A
【解析】对{|13}x x x ∀∈<，都有m x >，
3m ∴，
故选A ．
4．下列命题含有全称量词的是( ) A ．某些函数图象不过原点 B ．实数的平方为正数
C ．方程2250x x ++=有实数解
D ．素数中只有一个偶数
【答案】B
【解析】A ：某些函数图象不过原点，不是全部的意思，不是全称量词命题；
B ：实数的平方为正数即是所有实数的平方根都为正数，是全称量词命题；
C ：方程2250x x ++=有实数解，不是全称量词命题；
D ：素数中只有一个偶数，不是全称量词命题；
故选B ．
5．有下列四个命题：①x R ∀∈10>；②x N ∀∈，20x >；③x N ∃∈，[3x ∈-，1)-；④x Q ∃∈，22x =．其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A
【解析】对于①，x R ∀∈10+>，是真命题，
2010+>； 对于②，x N ∀∈，20x >，是假命题， 因为0x =时，x N ∈，20x =；
对于③，x N ∃∈，[3x ∈-，1)-，是假命题， 由x N ∈知0x ，所以[3x ∉-，1)-； 对于④，x Q ∃∈，22x =，是假命题， 因为x Q ∀∈，22x ≠．
所以真命题的序号是①，共1个． 故选A ．
6．全称命题：x R ∀∈，254x x +=的否定是( ) A ．x R ∃∈，254x x += B ．x R ∀∈，254x x +≠ C ．x R ∃∈，254x x +≠ D ．以上都
不正确 【答案】C
【解析】全称命题的否定是特称命题，
x R ∴∀∈，254x x +=的否定是：x R ∃∈，254x x +≠．
故选C ．
7．若命题“x R ∃∈，使得23210x ax ++<”是假命题，则实数a 的取值范围是( )
A ．a <
B ．3a -，或3a
C ．33a
D ．a <
a >【答案】C
【解析】命题“x R ∃∈，使得23210x ax ++<”是假命题，即“x R ∀∈，23210x ax ++成立”是真命题， 故△24120a =-，解得33a ．
故选C ．
8．命题：x R ∃∈，210x x -+=的否定是 ． 【答案】x R ∀∈，210x x -+≠
【解析】因为特称命题的否定是全称命题，
所以x R ∃∈，210x x -+=的否定是：x R ∀∈，210x x -+≠． 故答案为：x R ∀∈，210x x -+≠．
9．设命题:p x R ∃∈，2230x x m -+-=，命题:q x R ∀∈，222(5)190x m x m --++≠．若p ，q 都为真命题，求实数m 的取值范围．
【解析】若命题:p x R ∃∈，2230x x m -+-=为真命题， 则△44(3)0m =--，解得4m ；
若命题:q x R ∀∈，222(5)190x m x m --++≠为真命题， 则△224(5)4(19)0m m =--+<，
解得3
(5
m ∈，)+∞，又p ，q 都为真命题，
∴实数m 的取值范围是33{|4}{|}(55
m m m m >=，4]．
【过关检测】
1．命题“x N +∃∈使230x x m -+”的否定是( ) A ．x N +∃∈使230x x m -+< B ．不x N +∃∈使230x x m -+<
C ．对x N +∀∈都有230x x m -+
D ．对x N +∀∈都有230x x m -+<
【答案】D
【解析】命题“存在x N +∈，使230x x m ++”为特称命题，
∴命题的否定为：对任意x N +∈，使230x x m ++<，
故选D ．
2．下列语句是特称命题的是( ) A ．整数n 是2和7的倍数 B ．存在整数n ，使n 能被11整除 C ．若430x -=，则34
x = D ．x M ∀∈，()p x 成立
【答案】B
【解析】命题：存在整数n ，使n 能被11整除，含有特称量词存在，
故B 是特此命题， 故选B ．
3．设a 为常数，对任意x R ∈，210ax ax ++>，则a 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0，4) C ．(0,)+∞ D ．(,4)-∞
【答案】B
【解析】①当0a =时，10>恒成立，即0a =时满足题意， ②当0a ≠时，由对任意x R ∈，210ax ax ++>，则有： 2
40a a a >⎧⎨-<⎩
，解得：04a <<， 综合①②得：
a 的取值范围是[0，4)，
故选B ．
4．命题p ：任意的x R ∈，使770x x +>，则p ⌝是( )
A ．0x R ∃∈，使70070x x +
B ．0x R ∃∈，使70070x x +
C ．x R ∀∈，使770x x +
D ．x R ∀∈，使770x x +
【答案】B
【解析】根据题意，命题p ：任意的x R ∈，使770x x +>， 这是全称命题，其否定为特称命题， 即0x R ∃∈，使70070x x +， 故选B ．
5．若存在x 使2()1x a ->成立．则a 的取值范围是( ) A ．(-∞．)+∞ B ．(2,)-+∞ C ．(0．)+∞ D ．(1,)-+∞
【答案】A
【解析】由2()1x a ->得1
2
x a >
+， 若存在x 使2()1x a ->成立， 则(a ∈-∞．)+∞， 故选A ．
6．若命题“[1x ∀∈，2]，22430x ax a -+”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．2(,1]3
B ．2[,1)3
C ．2[,1]3
D ．2(,1)3
【答案】C
【解析】设22()43f x x ax a =-+，
对[1x ∀∈，2]，22()430f x x ax a =-+是真命题， ∴2
2
(1)1430(2)4830f a a f a a ⎧=-+⎨=-+⎩，∴1
13
223
a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，∴213a ． 故选C ．
7．已知命题：“[1x ∃∈，2]，使220x x a ++”为真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3-，)+∞ B ．(3,)-+∞ C ．[8-，)+∞ D ．(8,)-+∞
【答案】C
【解析】设2()2f x x x a =++， 要使[1x ∃∈，2]，使220x x a ++， 据二次函数的图象与性质得： 只要：f （2）0即可， 22220a ∴+⨯+，
8a ∴-．
故选C ．
8．若“存在[1x ∈，2]，使0x a -”是假命题，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(,1)-∞
【解析】由题转化为命题“[1x ∀∈，2]，0x a ->”为真命题，即a x <恒成立， 又y x =在[1，2]上单调递增，所以1min y =，故1a <． 故答案为：(,1)-∞．
9．若“0(0,)x ∃∈+∞，21x x λ>+”是假命题，则实数λ的取值范围是 ． 【答案】2λ
【解析】若“0(0,)x ∃∈+∞，21x x λ>+”是假命题， 则“(0,)x ∀∈+∞，21x x λ+”是真命题； 所以，(0,)x ∈+∞时，1
x x
λ+恒成立， 又11
22x x x x
+
=，当且仅当1x =时取“=”； 所以实数λ的取值范围是2λ． 故答案为：2λ．
10．已知命题p ：“x R ∀∈，220x x a +->”，命题q ：“x R ∃∈，使得2(1)10x a x +-+<”．试问p 是q 什么条件？
【解析】因为命题p ：“x R ∀∈，220x x a +->”所以△0<，440a +<，解得：(,1)a ∈-∞-
因为命题:q x R ∃∈，使得2(1)10x a x +-+<，所以△0>，即2(1)40a -->，解得(a ∈-∞，1)(3-⋃，)+∞ 所以，p 是q 充分不必要条件．。