一种有效公式法求解1~∞型的极限

3
蓸 蔀 例 1 求 极 限 lim x寅2
3-x 1+x
2-x
蓘 蓸 蔀 蓡 解 院 原式 = lim x寅2
1
+
4 - 2x 1+x
1+x 4 - 2x
蓸 蔀 3 2-x
窑
4 - 2x 1+x
=e2
渊 2 冤 取 指 数 法 院 对 limu ( x ) v ( x ) 取 指 数 袁 将 其 转 化 为 ev
Science & Technology Vision
科技视界
一种有效公式法求解 1∞ 型的极限
谢小军 1 马 虹 2 渊 1 . 广 州 工 商 学 院 袁 广 东 广 州 510850 曰 2 . 正 源 学 校 袁 湖 南 耒 阳 421800 冤
揖 摘 要 铱 1肄 型 的 极 限 属 于 不 确 定 型 的 极 限 袁 原 有 的 基 本 方 法 是 通 过 将 其 转 化 为 确 定 型 袁 然 后 利 用 重 要 极 限 的 推 广 形 式 进 行 求 解 袁 过 程 略 显 繁 琐 与 复 杂 遥 本 文 通 过 结 合 等 价 无 穷 小 袁 提 出 了 一 种 有 效 公 式 法 来 求 解 1肄 型的极限袁使求解过程变得简单尧快捷遥
(x)lnu(x)袁 继 而 利 用 函 数 的 连 续 性 转 化 为 0窑肄 极 限 遥
1
例 2 求 极 限 lim ( 1 + x ) sinx x寅2
解院原式=lim e =lim e =e =e = e 1 sinx
窑ln(1+x )
ln (1+x) sinx
lim ln (1+x) x寅 2 sinx
x
寅
仔 2
x寅
仔 2
2 有效公式法
设 幂 指 函 数 u ( x ) v ( x ) 袁 u ( x ) > 0 袁 已 知 limu ( x ) = 1 袁 limv (x)=肄袁则结合等价无穷小替换可以得到以下结论袁本
文将其称为有效公式法院
定 理 2 对 于 极 限 limu ( x ) v ( x ) 袁 若 在 自 变 量 x 某 种 变 化 趋 势 下 有 limu ( x ) = 1 袁 limv ( x ) = 肄 袁 则 有 以 下 结 论 院
揖Key words铱Type of 1肄; Solution ; Limit
0 引言
幂 指 函 数 的 极 限 是 极 限 计 算 的 重 要 内 容 袁 其 中 1肄 型尤其常见袁 此极限很多教材及文献已经给出了很多 种求解方法袁 本文将在已有求解方法的基础上给出另 一种有效公式法来求解此类极限遥
lim x x 寅 2 sinx
x寅2
x寅2
渊3冤取对数法院首先袁对 y=u(x)v(x)两边同时取自然 对 数 然 后 再 取 极 限 袁 最 后 只 要 求 出 limy 的 极 限 袁 即 求
得 limu ( x ) v ( x ) 的 极 限 遥
例 3 求 极 限 lim sinx tanx
Propose an effective formula to solve the limit of the type of 1肄 XIE Xiao - jun1 MA Hong2
渊 1 . Guangzhou College of Technology and Busines 袁 Guangzhou Guangdong 510850 , China 曰 2 . Hunan ZhengYuan school 袁 Leiyang Hunan 421800 , China 冤
揖Abstract铱1肄Belongs to the limit of uncertainty type . The basic method is to transform it into a definite type , and then use the form of the important limit to solve it . The process is a little complicated and complicated . This paper proposes an effective formula to solve the limit of the type of 1肄, by combining the equivalent infinitesimal , making the solution simple and fast .
接下将介绍三种已有的求解方法袁如下院
渊 1冤 化 确 定 型 法 [3-4]院 利 用 第 二 个 重 要 极 限 的 推 广
形式袁其实质是将不确定型化为确定型的极限遥
定理 1
设 [ 5 - 6 ]
limf ( x ) = 肄 袁 g ( x ) =
1 f(x)
袁则有
lim [ 1 + g
(x)]f(x)=e 遥
limu ( x ) v ( x ) = elim { v ( x )窑 [ u ( x ) - 1 ] }
1 1肄 型 及 相 关 求 解 方 法 介 绍
1.1 相关定义
定义 1[1]设函数 u(x)和 v (x)为 D 上的两个连续函 数袁且 u(x)>0袁则称函数 u(x)v(x)D 上的幂指函数遥 对于 极 限 limu ( x ) v ( x ) 袁 limu ( x ) = 1 袁 limv ( x ) = 肄 袁 则 称 极 限 limu ( x ) v ( x ) 为 1肄 型 幂 指 函 数 的 极 限 遥 1.2 已有的求解方法介绍
揖 关 键 词 铱 1肄 型 曰 求 解 曰 极 限
中 图 分 类 号 院 O172
文献标识码院 A
DOI 院 10 . 19694 / j . cnki . issn2095 - 2457 . 2018 . 18 . 058
文 章 编 号 院 2095 - 2457 渊2018冤18-0131-001
x寅
仔 2
解 院 令 y = sinxtanx 袁
lim lny = lim
x寅
仔 2
x寅
仔 2
蓸 蔀 -
cosx sin 2 x
=0
蓸 蔀 sinxim
x寅
仔 2
lnsinx cosx
= lim
x寅
仔 2
所 以 lim y = e0 = 1 袁 即 lim sinxtanx = 1