实验17 力学组合实验

实验一 、 用三线摆法测定物体的转动惯量
转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，是表征刚体特性的一个物理量。

转动惯量的大小除与物体质量有关外，还与转轴的位置和质量分布（即形状、大小和密度）有关。

如果刚体形状简单，且质量分布均匀，可直接计算出它绕特定轴的转动惯量。

但在工程实践中，我们常碰到大量形状复杂，且质量分布不均匀刚体，理论计算将极为复杂，通常采用实验方法来测定。

【实验目的】
1．学会用三线摆测定物体的转动惯量。

2．验证转动惯量的平行轴定理。

【实验原理】
图1是三线摆实验装置的示意图。

上、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上。

三个对称分布的等长悬线将两圆盘相连。

上圆盘固定，下圆盘可绕中心轴O O '作扭摆运动。

当下盘转动角度很小，且略去空气阻力时，扭摆的运动可近似看作简谐运动。

根据能量守恒定律和刚体转动定律均可以导出物体绕中心轴O O '的转动惯量(推导过程见本实验附录)。

200
2
00T H 4r
R g m I ∙∙π∙∙∙=
（1） 式中各物理量的意义如下：0m 为下盘的质量；r 、R 分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离；
0H 为平衡时上下盘间的垂直距离；0T 为下盘作简谐运动的周期，g 为重力加速度（杭州地区的重
力加速度理论值为: 2
s /m 793.9g =）。

将质量为m 的待测物体放在下盘上，并使待测刚体的转轴与O O '轴重合。

测出此时三线摆运动周期1T 和上下圆盘间的垂直距离H 。

同理可求得待测刚体和下圆盘对中心转轴O O '轴的总转动惯量为 ：
2
12
01T H
4r R g )m m (I ∙∙π∙∙∙+=
（2） 如不计因重量变化而引起悬线伸长， 则有0H H ≈。

那么，待测物体绕中心轴的转动惯量为:
]T m T )m m [(H
4r R g I I I 2
0210201∙-∙+∙∙π∙∙=
-= (3) 因此，通过长度、质量和时间的测量，便可求出刚体绕某轴的转动惯量。

用三线摆法还可以验证平行轴定理。

若质量为m 的物体绕通过其质心轴的转动惯量为c I ，当
转轴平行移动距离x 时（如图2所示），则此物体对新轴O O '的转动惯量为2
c o o mx I I +='。

这一结论称为转动惯量的平行轴定理。

121
实验时将质量均为'm ，形状和质量分布完全相同的两个圆柱体对称地放置在下圆盘上（下盘有对称的两个小孔）。

按同样的方法，测出两小圆柱体和下盘绕中心轴O O '的转动周期x T ，则可求出每个柱体对中心转轴O O '的转动惯量：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∙∙π∙∙∙+⨯=02x 20x I T H 4r R g )'m 2m (21I (4)
如果测出小圆柱中心与下圆盘中心之间的距离
x 以及小圆柱体的半径x R ，则由平行轴定理可求得： 2x 2
x R 'm 2
1
x 'm 'I ∙+∙= (5) 比较x I 与'x I 的大小,可验证平行轴定理.
【实验仪器】
1．FB818型力学组合实验仪（参看附图） 2．FB213型数显计时计数毫秒仪。

3．米尺、游标卡尺、电子天平等（用户自备）。

【实验内容】
122
实验采用三线摆测定圆环对通过其质心且垂直于环面轴的转动惯量，并用三线摆的测量结果来验证平行轴定理。

实验步骤要点如下： 一．调整三线摆装置 ：
1．利用上圆盘上的三个调节螺丝，使三悬线等长，并固定紧定螺钉，再用米尺，测量悬线的长度。

2．观察下圆盘中心的水准器，并调节底板上三个调节螺钉，使下圆盘处于水平状态。

3．调整底板左上方的光电传感接收装置，使下圆盘边上的挡光杆能自由往返通过光电门槽口。

二．测量周期 0T 和1T 、X T ：
1．接通213FB 型数显计时计数毫秒仪的电源，把光电接收装置与毫秒仪连接。

合上毫秒仪电源开关，预置测量次数为次20（N 次）（可根据实验需要从99~1次任意设置）。

2．设置计数次数时，可分别按“置数”键的十位或个位按钮进行调节，（注意数字调节只能按进位操作），设置完成后自动保持设置值，（直到再次改变设置为止）。

3．在下圆盘处于静止状态下，拨动上圆盘的“转动手柄”，将上圆盘转过一个小角度（︒5左右），带动下圆盘绕中心轴 O O '作微小扭摆运动。

摆动若干次后，按毫秒仪上的“执行” 键，毫秒仪开始计时，每计量一个周期，周期显示数值自动逐1递减 ，直到递减为0时，计时结束，毫秒仪显示出累计个20（N 个）周期的时间。

（说明：毫秒仪计时范围：,s 999.99~0分辨率为ms 1）重复以上测量5次，将数据记录到表1中。

如此测5次，进行下一次测量时，测试仪要先按“返回”键。

4．将圆环放在下圆盘上，使两者的中心轴线相重叠，按3的方法测定摆动周期1T 。

5．将二小圆柱体对称放置在下圆盘上，用上述同样方法测定摆动周期X T 。

6．测出上下圆盘三悬点之间的距离a 和b ，然后算出悬点到中心的距离r 和R （等边三角形外接圆半径）。

7．其它物理量的测量：用米尺测出上下两圆盘之间的垂直距离0H 和放置两小圆柱体小孔间距x 2；用游标卡尺量出待测圆环的内、外径1R 2、2R 2和小圆柱体的直径2
R 2。

记录各刚体的质量。

【数据与结果】
1． 实验数据记录:
_______a 33r ==
， ________
b 3
3
R == ，_________H 0= 下盘质量_______m 0=，待测圆环质量________m =，圆柱体质量_______'m =
123
2．待测圆环测量结果的计算，并与理论值计算值比较，求相对误差并进行讨论。

已知理想圆环绕中心轴转动惯量的计算公式为:
)R R (2
m I 222
1+∙=
理论。

3．求出圆柱体绕自身轴的转动惯量，并与理论计算值 2x R 2
'
m I '∙=理 比较，验证平行轴定理。

124
【思考题】
1．用三线摆测刚体转动惯量时，为什么必须保持下盘水平？
2．在测量过程中，如下盘出现晃动，对周期有测量有影响吗？如有影响，应如何避免之？ 3．三线摆放上待测物后，其摆动周期是否一定比空盘的转动周期大？为什么？
4．测量圆环的转动惯量时，若圆环的转轴与下盘转轴不重合，对实验结果有何影响？ 5．如何利用三线摆测定任意形状的物体绕某轴的转动惯量？ 6．三线摆在摆动中受空气阻尼，振幅越来越小，它的周期是否会变化？对测量结果影响大吗？为什么？
【附录一】转动惯量测量公式的推导
当下盘扭转振动，其转角θ很小时，其扭动是一个简谐振动，其运动方程为： t T 2sin
0π
∙θ=θ （6） 当摆离开平衡位置最远时，其重心升高h ，根据机械能守恒定律有：
h g m I 2
120∙∙=ω∙ （7） 即 2
h
g m 2I ω∙∙= （8） 而 t T 2cos T 2dt d 0
00∙π∙θ∙π=θ=
ω （9） 当0t =时， 0
0T 2θ∙π=ω （10）
将（10）式代入（7）式得：
2
22
02T h g m I θ∙π∙∙∙= (11) 从图3中的几何关系中可得：
2
2
20222)
r R (H l )cos r R 2r R ()h H (-+==θ∙∙-++-
简化得：
)cos 1(r R 2
h h H 02
θ-∙∙=-∙ 略去2
h 2，且取2/cos 12
00θ≈θ-，则有 ：
H
2r R h 2
θ∙∙=
代入（11）式得： 202
T H
4r
R g m I ∙∙π∙∙∙= （12） 由此得到公式（1）。

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实验二 、 用扭摆法测定金属材料的切变模量
转动惯量可采用多种方法进行测量，扭摆是其中一种重要方法.扭摆具有结构简单、操作简便，可测量金属丝的切变模量等，因此在物理实验教学中常被采用。

本公司在原有双支架三线摆实验仪的基础上，增添部分器件后，增加了扭摆实验测定金属材料切变模量的功能。

【实验原理】
一.钢丝切变模量的测定：
1．测定刚性金属圆盘的摆动周期0T ：
将一金属丝上端固定在一个夹具上，下端悬挂一带夹具的刚性金属圆盘,构成扭摆.通过金属丝上端的夹具,给金属丝施加一外力矩，带动刚性金属圆盘扭转一角度θ，悬线因扭转而产生弹性恢复力矩，外力矩撤去后，在弹性恢复力矩的作用下刚性金属圆盘反复摆动，摆动周期为 ：
D
I 2T 0
0π
= （1） 金属圆盘的转动惯量为 ： 2
2004D
T I π∙= （2）
式中, 0I 为整个刚性金属圆盘对中心轴线的转动惯量，D 为金属丝的扭转系数，它与悬线长度L 、悬线的半径R 及悬线材料的切变模量G 的关系为 ：D R L
2G 4
∙π= （3） 2.测定金属圆盘加圆环刚体的摆动周期1T ：
若将一质量为M ,外径为 外d ，内径为 内d ，
厚度为h 的圆环刚体水平放在圆盘上扭转，并且使质心位于扭摆悬线上，如图（4）所示 ：
圆环水平放置绕轴（钢丝）的转动惯量理论值为 ：
)8
d d (M I 2
21
内
外+∙=' （4）
测出复合体)I I (10+绕轴（钢丝）作水平摆动周期
1T 。

则复合体的转动惯量为 ： 2
21104D
T I I π∙=
+ （5）
126
圆环的转动惯量实验值等于(5)-(1)得 ： 2
202114D
)T T (I π
∙-= （6） 公式变换后得扭转系数： )
T T (I 4D 202112-∙π=
(7) 用(4)式1I '取代1I 代入公式(7)得：)
T T (2)d d (M )T T (I 4D 2
0212
2220211
2-+∙∙π=-∙π=内外 (8) 由(3)式和（8）式得钢丝的切变模量为：)
T T (R )
d d (M L R D L 2G 2
02142
24-∙+∙∙∙π=π∙=内外 （9） 公式（8）、（9）中，L ：金属丝有效长度；M ：圆环质量；外d ：圆环外直径；内d 圆环内直径；
R ：金属丝半径。

本实验是通过规则形的刚体-金属圆环来测定金属丝材料的切变模量的。

如果金属丝材料的切变
模量已知，则扭摆可以用来测量不同形状的刚体绕不同转轴的转动惯量。

【实验仪器】
1．FB818型力学组合实验仪（参看附图）。

2．FB213型数显计时计数毫秒仪。

(使用方法与三线摆相同，不再赘述。

) 3．米尺、游标卡尺、千分尺、电子天平等（用户自备）。

【实验步骤】
1．在安装扭摆前先把圆环安放在仪器上方的横樑上(因为扭摆安装好,圆环就放不进去了) .
2.松开仪器扭摆支架上端夹头，将钢丝一端插入夹头孔中，然后把夹头拧紧，再松开金属圆盘上的夹头，将钢丝另一端插入夹头孔中，把夹头拧紧，构成扭摆。

3．调节支架和光电门的相对位置，使扭摆摆动时，光电门能启动计时仪正确计时。

4． 转动横梁上的“标志旋钮”，当旋转“扭动旋钮”一个角度后，即刻又恢复到起始位置,此时金属圆盘将绕钢丝作周期性摆动。

重复测量多次摆动周期。

5．把圆环水平放在圆盘上（圆盘上有定位台阶），构成复合体，测量复合体的摆动周期。

6．由计算公式可求出金属材料的切变模量或用切变模量的理论值,求刚体的转动惯量等。

【注意事项】
1． 扭摆安装时，上下夹头紧固螺丝务必拧紧 ，加放圆环时，要轻拿轻放，避免圆盘掉下砸到实验
人员的脚上。

2． 扭摆安装后，除搬动外，一般不需要拆卸，可以就此连续使用。

3． 实验人员使用扭摆时，要避免使金属丝弯折，从而增大实验误差。

127
【数据及数据处理】
1．利用扭摆测量圆盘和圆盘加圆环水平放置绕钢丝摆动的周期，实验数据记录如表1所示.分别用米尺、千分尺、游标卡尺、电子天平，对钢丝长度、钢丝直径、圆环的内径、外径及厚度、圆环质量,各测量5次，各测量值为：m ______ L =,m ______ R 2=,m _____ d =外,
m _______ d =内, m ______
h =， g k ______M 。

表1 圆盘和圆盘加圆环摆动周期的测量记录
2．利用公式（9）计算钢丝的切变模量并与理论值比较求相对误差（见表2）。

实验三、研究单摆的运动特性
在不同的地区，同一物体所受的重力是不同的，所以重力加速度g 也不同，g 的大小一般由物体所在地区的纬度和海拔高度以及矿藏分布等因素决定。

重力加速度是一个重要的地球物理常数，准确测定它的量值，无论在理论上，还是在科研和工程技术等方面都有极其重要的意义。

单摆实验在大学基础物理和中学物理的实验教学中都是一个重要的必做实验，以往此实验都限于在小角（︒<5）度近似作等周期摆动的情况下对小球振动周期进行测量，一般不涉及周期与摆角之间关系测量。

要研究此二者间关系就必须在不同摆角、甚至在大摆角下进行单摆振动周期测量。

由于空气阻尼的存在，摆角随时间的延长而衰减，于是一般便无法精确测量大角下摆动周期的准确值。

采用光电传感器和多功能毫秒仪实现自动计时之后，便能在很短几个振动周期内准确测得单摆在大角度下的周期，这样便可忽略空气阻尼的影响，可顺利地研究周期与摆角的关系，再应用外推法计算摆角为零的方法，求出摆角极小时的振动周期，从而精确地测量重力加速度。

新仪器配备了光电传感器和计时计数毫秒仪，有利于扩大学生视野，掌握两种新技术在自动测量和自动控制中的应用。

可以激发学生学习兴趣，提高教学效果。

128
【实验目的】
1. 了解并掌握用单摆测定本地区的重力加速度；
2. 学习用光电计时仪测定单摆的振动周期；
3. 学习用最小二乘法处理实验数据。

【实验原理】
把一个金属小球挂在一根细长的线上，如图1所示， 如果细线的质量比小球的质量小得多，而小球的直径比 细线的长度小得多，那么，这个装置可以看作无质量的 细长线系住一个质点，这样的装置就是单摆。

在忽略空
气阻力和浮力以及线的伸长等因数，同时在摆动角度很小时，单摆的振动可看作简谐振动，它的 震动周期T 为：
g
L
2T π
= （1） 式中L 是单摆的摆长，其长度为悬挂点O 到小球球心的距离，g 是重力加速度，因此，单摆的振动周期T 只与摆长L 和重力加速度g 有关，只要我们测量出单摆的L 和 T 值，就可以计算出重力加速度g 。

【实验仪器】
1．188FB 型力学组合实验仪（参看Page.1附图） 2．213FB 光电计时计数毫秒仪
3．钢卷尺、游标卡尺（由用户自备）
【实验内容】
1． 固定摆长，测定g 值。

（1）用钢卷尺测定摆线（加小球直径）长度1L ，记入表格1
表2
129
（3）固定摆长，用光电计时计数毫秒仪测单摆周期
（4）改变摆长，用光电计时计数毫秒仪测单摆周期
【数据与结果】
以往此实验都限于单摆在小角度（︒<5）内做近似等周期摆动的情况下，测量小球振动周期，一般不涉及周期与摆角之间的关系。

要研究此二者间关系就必须在不同摆角，甚至大摆角下进行周期测量。

由于空气阻尼的存在，摆角随时间的延长而衰减，因此无法精确测得大角下摆动周期的准确值。

采用光电传感器和电子计时器实现自动计时之后，能够在很短几个振动周期内准确测得单摆在大角下的周期，这样可以忽略空气阻尼对摆角的影响，使研究周期与摆角关系的实验得以顺利进行。

二.用途
1.本仪器可以通过固定单摆摆长测量振动周期，计算重力加速度g ；也可逐次改变摆长，测出相应的周期，经直线拟合求出重力加速度g ，并可验证摆长与振动周期平方成正比的关系。

2.用光电计时器可测得周期与摆角的关系，并可以用外推至摆角为零的方法，精确测得摆角极小时的振动周期值，从而更精确地测定重力加速度。

3.研究单摆在大角度振动时，非线性效应的影响。

三.技术指标 ：
1.213FB 型光电计时器实现自动计时，精度为s 001.0，每次测量不确定度小于s 001.0，。

2.预置周期次数在99~0次范围内，可任意调节计时周期次数(小球每来回摆动1次为1个周期)。

3.光电门应放在小球正下方适当位置，小球中部正好能档光，从而能保证正常启动光电计时器。

130
022E )cos 1(mgL dt d mL 21=θ-+⎭⎬⎫⎩⎨⎧θ)
cos 1(mgL E m 0θ-=⎰θθ-θθ
=m 0m cos cos d g L T 4
24.电子计时器每计数一个周期，周期次数显示自动减1。

5.本实验仪取摆角︒≤θ15m 的范围，较精确地反映周期与摆角之间的关系。

6.水平直尺长度为cm 40，摆球水平幅度最大值为cm 20，摆动角度根据摆线长度用反三角函数计算。

7.小球直径为 mm 01.0mm 14± ，材质为不锈钢。

四.装置与用法 ：
以静止的单摆线为铅垂线，调节摆线的长度，根据摆球的位置，把光电门固定在下方适当位置，如图所示，使小球正好能启动光电门，记下摆线的长度1L 。

调节计时器，预置计时周期次数（不宜太大，实验中一般可取20~10个周期）。

将小球拉开一段距离，水平直尺摆球限位装置接触，调节好水平直尺限位装置，大致计算出摆角θ的大小。

如图所示。

放开小球，让小球在传感器所在铅垂面内摆动，计时器自动计时，由于小球放手时的不一致性，因此在同一摆角处应多次测量，求其平均值，取不同的摆角，重复实验。

五.注意事项 ：
1．水平直尺必须固定在离摆球合适的位置。

2．光电门与小球的相对位置务必调整到合适的程度，保证小球的摆动能启动光电计时器。

3．要认真调整小球摆动的方向，保证小球在摆动时不会碰撞光电门。

【附录4】 单摆实验的公式推导
1. 周期与摆幅的关系：
在忽略空气阻力和浮力的情况下，由单摆振动时能量守恒，可得质量为m 的小球在θ处动能和势能之和为常数，即
（1）
（1）式中，L 为单摆摆长，θ为摆角，g 为重力加速度，t 为时间，0E 为小球的总机械能。

因小球在摆幅θ 处释放，则有：
代入（1），解方程（1）得到：
（2） （2）式中T 为单摆振动周期。

令)2sin(
K 0θ=，并作变换φ∙=θsin K )2sin(0便有： ⎰πφ
-φ=2/022sin k 1d g L 4T
131 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+θ+π= )2(sin 411g L 2T m 2这是一个椭圆积分，经近似计算得到：
（3）。