2020北京市中考数学专题复习---新定义问题

2020北京市中考数学专题复习---新定义问
题
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
二、重难专题突破
专题九新定义问题(必考)
类型一新定义点与函数问题
(8年4考：2017.29、2015.29、2014.25、2013.25)
1. (2019房山区一模)在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，给出如下定义：若点P的横、纵坐标均为整数，且到圆心C的距离d≤r，则称P为⊙C的关联整点.
(1)当⊙O的半径r＝2时，在点D(2，－2)，E(－1，0)，F(0，2)中，为⊙O的关联整点的是；
(2)若直线y＝－x＋4上存在⊙O的关联整点，且不超过7个，求r的取值范围；
(3)⊙C的圆心在x轴上，半径为2，若直线y＝－x＋4上存在⊙C的关联整点.求圆心C的横坐标t的取值范围.
第1题图
2. (2019丰台区二模)对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在两个点A ，B ，使得点P 在射线BC 上，且∠APB ＝14
∠ACB (0°<∠ACB <180°)，则称P 为⊙C 的依附点.
(1)当⊙O 的半径为1时，
①已知点D (－1，0)，E (0，－2)，F (2.5，0)，在点D ，E ，F 中，⊙O 的依附点是 ；
②点T 在直线y ＝－x 上，若T 为⊙O 的依附点，求点T 的横坐标t 的取值范围；
(2)⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线y ＝－x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点M ，N .若线段MN 上的所有点都是⊙C 的依附点，直接写出圆心C 的横坐标m 的取值范围.
3. (2019西城区一模)在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N(M，N可以重合)使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点.
第3题图①
(1)如图①，已知点A (0，3)，B (2，3).
①设点O 与线段AB 上一点的距离为d ，则d 的最小值是 ，最大值是 ；
②在P 1(32
，0)，P 2(1，4)，P 3(－3，0)这三个点中，与点O 是线段AB 的一对平衡点的是 ； (2)如图②，已知⊙O 的半径为1，点D 的坐标为(5，0).若点E (x ，2)在第一象限，且点D 与点E 是⊙O 的一对平衡点，求x 的取值范围；
(3)如图③，已知点H (－3，0)，以点O 为圆心，OH 长为半径画弧交x 轴的正半轴于点K .点C (a ，
b )(其中b ≥0)是坐标平面内一个动点，且OC ＝5，⊙C 是以点C 为圆心，半径为2的圆.若HK ︵上的任意两
个点都是⊙C 的一对平衡点，直接写出b 的取值范围.
第3题图② 第3题图③
4. (2019朝阳区二模)M (－1，－12)，N (1，－12
)是平面直角坐标系xOy 中的两点，若平面内直线MN 上方的点P 满足：45°≤∠MPN ≤90°，则称点P 为线段MN 的可视点.
(1)在点A 1(0，12)，A 2(12
，0)，A 3(0，2)，A 4(2，2)中，线段MN 的可视点为 ； (2)若点B 是直线y ＝x ＋12
上线段MN 的可视点，求点B 的横坐标t 的取值范围； (3)直线y ＝x ＋b (b ≠0)与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，若线段CD 上存在线段MN 的可视点，直接写出b 的取值范围.
第4题图
类型二 新定义距离与函数问题
(8年2考：2018.28、2012.25)
1. (2012北京)在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的“非常距离”，给出如下定义：
若|x 1－x 2|≥|y 1－y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1－x 2|；
若|x 1－x 2|＜|y 1－y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y 1－y 2|.
例如：点P 1(1，2)，点P 2(3，5)，因为|1－3|＜|2－5|，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2－5|＝3，也就是图①中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值(点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点).
第1题图①
(1)已知点A (－12
，0)，B 为y 轴上的一个动点， ①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标；
②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值；
(2)已知C 是直线y ＝34
x ＋3上的一个动点， ①如图②，点D 的坐标是(0，1)，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标； ②如图③，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 和点C 的坐标.
第1题图
2. (2019东城区一模)在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”.下图中的P，Q两点即为“等距点”.
第2题图
(1)已知点A的坐标为(－3，1)，
①在点E(0，3)，F(3，－3)，G(2，－5)中，为点A的“等距点”的是；
②若点B在直线y＝x＋6上，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为；
(2)直线l：y＝kx－3(k＞0)与x轴交于点C，与y轴交于点D，
①若T1(－1，t1)，T2(4，t2)是直线l上的两点，且T1与T2为“等距点”，求k的值；
②当k＝1时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M，N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围.
备用图
3.(2018北京)对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q 为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d(M，N).
已知点A(－2，6)，B(－2，－2)，C(6，－2).
(1)求d(点O，△ABC)；
(2)记函数y＝kx(－1≤x≤1，k≠0)的图象为图形G.若d(G，△ABC)＝1，直接写出k的取值范围；
(3)⊙T的圆心为T(t，0)，半径为1.若d(⊙T，△ABC)＝1，直接写出t的取值范围.
4.(2019石景山一模)在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A(0，1)，B(－1，0)，C(0，－1)，D(1，0).对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d(M).
(1)已知点E(0，4)，
①直接写出d(点E)的值；
②直线y＝kx＋4(k≠0)与x轴交于点F，当d(线段EF)取最小值时，求k的取值范围；
(2)⊙T的圆心为T(t，3)，半径为1，若d(⊙T)＜6，直接写出t的取值范围.
类型三新定义图形与函数问题
(仅2016.29考查)
1.(2019石景山区二模)对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q，给出如下定义：若P，Q为某个三角形的顶点，且边PQ上的高h，满足h＝PQ，则称该三角形为点P，Q的“生成三角形”.
(1)已知点A(4，0).
①若以线段OA为底的某等腰三角形恰好是点O，A的“生成三角形”，求该三角形的腰长；
②若Rt△ABC是点A，B的“生成三角形”，且点B在x轴上，点C在直线y＝2x－5上，则点B的坐标为；
(2)⊙T的圆心为点T(2，0)，半径为2，点M的坐标为(2，6)，N为直线y＝x＋4上一点，若存在Rt△MND，是点M，N的“生成三角形”，且边ND与⊙T有公共点，直接写出点N的横坐标x N的取值范围.
2.(2018平谷区一模)在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为(x1，y1)，点N的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.
(1)已知点A(2，0)，B(0，23)，则以AB为边“坐标菱形”的最小内角为°；
(2)若点C(1，2)，点D在直线y＝5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD表达式；
(3)⊙O的半径为2，点P的坐标为(3，m).若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围.
图①图②
第2题图
类型四 新定义几何问题
(2019.28新考查)
1. (2019北京)在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果DE ︵上的所有点都在△ABC 的内部或
边上，则称DE ︵为△ABC 的中内弧.例如，如图①中DE ︵是△ABC 的一条中内弧.
第1题图① 第1题图②
(1)如图②，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝22，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，画出△ABC 的最长的中内弧DE ︵，并直接写出此时DE ︵的长；
(2)在平面直角坐标系中，已知点A (0，2)，B (0，0)，C (4t ，0)(t >0).在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点.
①若t ＝12
，求△ABC 的中内弧DE ︵所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围； ②若在△ABC 中存在一条中内弧DE ︵，使得DE ︵所在圆的圆心P 在△ABC 的内部或边上，直接写出t 的
取值范围.
2.P是⊙O内一点，过点P作⊙O的任意一条弦AB，我们把P A·PB的值称为点P关于⊙O的“幂值”.
第2题图
(1)⊙O的半径为6，OP＝4.
①如图，若点P恰为弦AB的中点，则点P关于⊙O的“幂值”为；
②判断当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P关于⊙O的“幂值”的取值范围；
(2)若⊙O的半径为r，OP＝d，请参考(1)的思路，用含r、d的式子表示点P关于⊙O的“幂值”或“幂值”的取值范围；
(3)在平面直角坐标系xOy中，C(1，0)，⊙C的半径为3，已知点M(t，0)，N(0，－t)，若在直线MN 上存在点P，使得点P关于⊙C的“幂值”为6，请直接写出t的取值范围.
参考答案
类型一新定义点与函数问题
1. 解：(1)E，F；
【解法提示】∵D(2，－2)，E(－1，0)，F(0，2)，O(0，0)，∴OD＝22＋22＝22＞2，OE＝1＜2，OF＝2，∴E，F为⊙O的关联整点；
(2)如解图①，当⊙O与直线y＝－x＋4相切时，切点为G(2，2)，
则r＝OG＝22＋22＝22.
当⊙O过点Q(－2，6)时，
则r＝OQ＝22＋62＝210，
结合图象，当直线y＝－x＋4上存在⊙O的关联整点，且不超过7个时，r的取值范围为22≤r＜210；
第1题解图①
(3)如解图②，当⊙C过点M(3，1)时，CM＝2，ME＝1，
则CE＝3，此时点C的横坐标t＝3－3，
当⊙C′过点N(5，－1)时，
则FC′＝3，此时点C′的横坐标t＝5＋3，
结合函数图象，圆心C的横坐标t的取值范围为3－3≤t≤5＋3.
第1题解图②
2. 解：(1)①E、F；
【解法提示】如解图①，根据P为⊙O的依附点，可知：当r＜OP＜3r(r为⊙O的半径)时，点P为⊙O的依附点．
第2题解图①
∵D(－1，0)，E(0，－2)，F(2.5，0)，
∴OD＝1，OE＝2，OF＝2.5，
∴1＜OE＜3，1＜OF＜3，
∴点E，F是⊙O的依附点，
故答案为：E、F；
②如解图②，
第2题解图②
当点T 在第四象限，OT ′＝1时，作T ′N ⊥x 轴于点N ，易知N (22
，0)，OT ＝3时，作TM ⊥x 轴于点M ，易知M (322 ，0)，∴满足条件的点T 的横坐标t 的取值范围为22 ＜t ＜322
. 当点T 在第二象限时，同理可得满足条件的t 的取值范围为－322 ＜t ＜－22
， 综上所述，满足条件的t 的值的范围为22 ＜t ＜322 或－322 ＜t ＜－22
. (2)4＜m ＜42 或－4＜m ＜2－22 .
【解法提示】如解图③，当点C 在点M 的右侧时，
第2题解图③
由题意M (2，0)，N (0，2)，
当CN ＝6时，OC ＝CN 2－ON 2 ＝42 ，此时C (42 ，0)，
当CM ＝2时，此时C (4，0)，
∴满足条件的m 的值的范围为4＜m ＜42 .
如解图④，当点C 在点M 的左侧时，
第2题解图④
当⊙C 与直线MN 相切时，易知C ′(2－22 ，0)，
当CM ＝6时，C (－4，0)，
∴满足条件的m 的值的范围为－4＜m ＜2－22 ，
综上所述，满足条件的m 的值的范围为：4＜m ＜42 或－4＜m ＜2－22 . 3. 解：(1)① 3，13 ；
【解法提示】d 的最小值＝OA ＝3，d 的最大值＝OB ＝22＋32 ＝13 . ②P 1；
【解法提示】由题图①可知，P 1到线段AB 的最小距离＝OA ＝3，最大距离＝P 1A ＝
（3
2
）2＋32 ＝35
2
，则线段AB 上存在点M ，N ，使得P 1M ＝ON ；P 2到线段AB 的最大距离＝12＋12 ＝2 ，∵2 <3，∴P 2不符合题意；P 3到线段AB 的最小距离＝32＋32 ＝32 ，∵32 >13 ，∴P 3不符合题意．
(2)
第3题解图①
由题意得，点D 到⊙O 的最近距离是4，最远距离是6，点D 与点E 是⊙O 的一对平衡点，此时需要满足E 1到⊙O 的最大距离是4，即OE 1＝3，根据OE 1＝3解出此时x ＝5 ；
同理当E 2到圆O 的最小距离是6，即OE 2＝7， 根据OE 2＝7，解得此时x ＝35 ， ∴5 ≤x ≤35 ； (3)4143
≤b ≤5.
【解法提示】点C 在以O 为圆心，半径为5的上半圆上运动，以C 为圆心，半径为2的圆刚好与弧HK 相切，此时要想弧HK 上的任意两点都是⊙C 的平衡点，需要满足CK ≤6，如解图②，当CK ＝6，此时a ＝－13 ，b ＝4143 ，同理，当CH ＝6时，a ＝13 ，b ＝414
3 .在两者中间时，如解图③所示，此时a ＝
0，b ＝5，∴414
3
≤b ≤5.
第3题解图②
第3题解图③
4. 解：(1)A 1，A 3；
【解法提示】如解图①，以MN 为直径的半圆交y 轴于点E ，以E 为圆心，EM 长为半径的⊙E 交y 轴于点F ，∵MN 是⊙G 的直径，M (－1，－12 )，N (1，－1
2 )，∴∠MA 1N ＝90°，MN ⊥EG ，EG ＝1，MN ＝
2.∴EF ＝EM ＝2 ，∴∠MFN ＝1
2 ∠MEN ＝45°，∵45°≤∠MPN ≤90°，∴点P 应落在⊙E 内部，且落在
⊙G 外部(包含边界)，且不与点M 、N 重合．∴线段MN 的可视点为A 1，A 3.
第4题解图①
(2)如解图②，以(0，－12 )为圆心，MN 为直径作⊙G ，以(0，1
2 )为圆心，2 为半径作⊙E ，两圆在直
线MN 上方的部分与直线y ＝x ＋1
2
分别交于点E ，F .
如解图②，过点F 作FQ ⊥x 轴于点Q ，过点E 作EH ⊥FQ 于点H ，
∵FQ ⊥x 轴， ∴FQ ∥y 轴，
∴∠EFH ＝∠MEG ＝45°. ∵∠EHF ＝90°，EF ＝2 ， ∴EH ＝FH ＝1. ∵E (0，12 )，
∴F (1，3
2
).
只有当点B 在线段EF 上时，满足45°≤∠MBN ≤90°，点B 是线段MN 的可视点． ∴点B 的横坐标t 的取值范围是0≤t ≤1；
第4题解图②
(3)－32 ＜b ≤－32 或12 ≤b ≤52
；
【解法提示】如解图③，⊙G 与x 轴交于点H ，与y 轴交于点E ，连接GH ，OG ＝1
2 ，GH ＝1，
∴OH ＝GH 2－OG 2 ＝
12－（12）2 ＝3
2
，
∴H (
32 ，0)，E (0，12
). 当直线y ＝x ＋b (b ≠0)与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，若线段CD 上存在线段MN 的可视点， ①当直线y ＝x ＋b 与y 轴交点在y 负半轴上，
将H (
32 ，0)代入y ＝x ＋b 得32 ＋b ＝0，解得b 1＝－32
， 将N (1，－12 )代入y ＝x ＋b 得1＋b ＝－12 ，解得b 2＝－32 ，
∴－32 ＜b ≤－3
2
；
②当直线y ＝x ＋b 与y 轴交点在y 正半轴上， 将 E (0，12 )代入得b ＝12
，
当直线y ＝x ＋b 与⊙E 相切于T 时交y 轴于Q ，连接ET ，则ET ⊥TQ ， ∵∠EQT ＝45°， ∴TQ ＝ET ＝EM ＝2 ，
∴EQ ＝ET 2＋TQ 2 ＝（2）2＋（2）2 ＝2. ∴OQ ＝OE ＋EQ ＝12 ＋2＝5
2 .
∴12 ≤b ≤5
2
. 综上所述：－32 ＜b ≤－32 或12 ≤b ≤52
.
第4题解图③
类型二 新定义距离与函数问题
1. 解：(1)①B (0，2)或B (0，－2)(写出一个答案即可)； ②12
； (2)①设C 点坐标为(m ，3
4
m ＋3)，D (0，1)；
于是当非常距离最小时有|m |＝|34 m ＋3－1|，解得 m 1＝－8
7 ，m 2＝8(舍去)，
于是点C 的坐标为(－87 ，15
7
)；
②平移直线y ＝3
4 x ＋3与⊙O 相切，切点为点E ，与x 轴、y 轴交点分别为点A 、B ，由切线的性质可知
点E 即为最接近直线y ＝3
4
x ＋3的点，亦为题中所求的点．
第1题解图
如解图，过点E 作EF ⊥x 轴于点F . 设点E 的坐标为E (x 0，y 0)，x 0＜0； 易知：Rt △EFO ∽ Rt △AOB ， ∴
FO EF ＝OB AO ＝3
4 ，即－x 0y 0 ＝34
， 又∵点E 为⊙O 上的点，
∴可得方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 20 ＋y 2
0 ＝1，4x 0＋3y 0＝0，
解得：x 0＝－35 ，y 0＝4
5 ，
∴点E 的坐标为(－35 ，4
5
).
设点C 的坐标为C (a ，34 a ＋3)，由①可知：当|－35 －a |＝|(34 a ＋3)－4
5 |时有最小值，
∴a ＝－85 或32
5
(舍去)，
∴点C 的坐标为C (－85 ，95 )，此时最小值为－35 －(－8
5 )＝1.
2. 解：(1)①E ，F ；
【解法提示】点A 到x ，y 轴的距离中的最大值等于3，点E 到x ，y 轴的距离中的最大值等于3，点F 到x ，y 轴的距离中的最大值等于3，点G 到x ，y 轴的距离中的最大值等于5；∴点E ，F 是点A 的“等距点”．
②(－3，3)；
【解法提示】∵点A 到x ，y 轴的距离中的最大值等于3，A ，B 两点为“等距点”，∴点B 到x ，y 轴的距离中的最大值等于3，∵点B 在直线y ＝x ＋6上，∴设B (a ，a ＋6)，当a ＝3时，a ＋6＝9，不符合题意，当a ＋6＝3时，a ＝－3，符合题意，∴B (－3，3).
(2)①∵T 1(－1，t 1)，T 2(4，t 2)是直线l 上的两点， ∴t 1＝－k －3，t 2＝4k －3. ∵k ＞0，
∴|－k －3|＝k ＋3＞3，4k －3＞－3， 依题意可得：
当－3＜4k －3＜4时，k ＋3＝4，解得k ＝1; 当4k －3≥4时，k ＋3＝4k －3，解得k ＝2. 综上所述，k 的值为1或2； ②3
2
≤r ≤32 . 【解法提示】当k ＝1时，y ＝x －3，则点C 的坐标为(3，0)，点D 的坐标为(0，－3)；如解图，过点O 作OE ⊥CD 于点E ，过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，∵CD ＝32＋32 ＝32 ，∴OE ＝CE ＝
322 .∴EF ＝2
2
×
322 ＝32 .则线段CD 上的点到x ，y 轴的距离中的最小值等于32 ，∴半径r 的最小值为3
2
；线段CD 到x ，y 轴的距离中的最大值等于3，∴半径为r 的⊙O 上存在一点M ，使得点M 到x ，y 轴的距离中的最大值等于3，如解图，过点G (3，3)作x 轴的垂线，垂足为点C ，连接OG ，则OG ＝32＋32 ＝32 ，∴⊙O 的半径r 的最大值为32 ；综上所述，r 的取值范围是3
2
≤r ≤32 .
第2题解图
3. 解：(1)如解图①，d (点O ，△ABC )＝2; (2)－1≤k ≤1且k ≠0；
【解法提示】如解图①，y ＝kx (k ≠0)经过原点，在－1≤x ≤1范围内，函数图象为线段．
第3题解图①
当y ＝kx (－1≤x ≤1，k ≠0)经过(1，－1)时，k ＝－1， 此时d (G ，△ABC )＝1，
当y ＝kx (－1≤x ≤1，k ≠0)经过(－1，－1)时，k ＝1， 此时d (G ，△ABC )＝1， ∴－1≤k ≤1， ∵k ≠0，
∴－1≤k≤1且k≠0.
(3)如解图②，⊙T与△ABC的位置关系分三种情况：
①⊙T在△ABC的左侧时，
d(⊙T，△ABC)＝1，
此时，t＝－4；
②⊙T在△ABC的内部时，
d(⊙T，△ABC)＝1，
此时，0≤t≤4－22；
③⊙T在△ABC的右侧时，
d(⊙T，△ABC)＝1，
此时，t＝4＋22；
综上，t＝－4或0≤t≤4－22或
t＝4＋22.
第3题解图②
4. 解：(1)①5；
【解法提示】∵正方形ABCD的顶点分别为A(0，1)，B(－1，0)，C(0，－1)，D(1，0)，点E(0，4)在y轴上，
∴点E到正方形ABCD边上C点间的距离有最大值，EC＝5，
即d(点E)的值为5.
②如解图①所示：∵d(点E)＝5，
∴d(线段EF)的最小值是5，
∴符合题意的点F满足d(点F)≤5，
当d(点F)＝5时，BF1＝DF2＝5，
∴点F1的坐标为(4，0)，点F2的坐标为(－4，0)，
将点F1的坐标代入y＝kx＋4得：
0＝4k＋4，
解得：k＝－1，
将点F2的坐标代入y＝kx＋4得：
0＝－4k＋4，
解得：k＝1，
∴k＝－1或k＝1.
∴当d(线段EF)取最小值时，EF1直线y＝kx＋4中k≤－1，EF2直线y＝kx＋4中k≥1，∴当d(线段EF)取最小值时，k的取值范围为：k≤－1或k≥1；
(2)t的取值范围为－3＜t＜3.
【解法提示】⊙T的圆心为T(t，3)，半径为1，当d(⊙T)＝6时，如解图②所示：
CM＝CN＝6，OH＝3，
∴T1C＝TC＝5，CH＝OC＋OH＝1＋3＝4，
∴T1H＝T1C2－CH2＝52－42＝3，TH＝TC2－CH2＝52－42＝3，
∴d(⊙T)＜6，t的取值范围为－3＜t＜3.
图①
图②
第4题解图
类型三 新定义图形与函数问题
1. 解：(1)①如解图①，不妨设满足条件的三角形为等腰△OAR ，则OR ＝AR .过点R 作RH ⊥OA 于点H ，
∴OH ＝HA ＝1
2
OA ＝2，
∵以线段OA 为底的等腰△OAR 恰好是点O ，A 的“生成三角形”， ∴RH ＝OA ＝4.
∴OR ＝OH 2＋RH 2 ＝25 . 即该三角形的腰长为25 ；
第1题解图①
②(1，0)，(3，0)或(7，0)
【解法提示】如解图②所示：若A 为直角顶点时，点B 的坐标为(1，0)或(7，0)； 若B 为直角顶点时，点B 的坐标为(1，0)或(3，0). 综上，点B 的坐标为(1，0)，(3，0)或(7，0).
第1题解图②
(2)如解图③可得：
若N 为直角顶点：－1－2 ≤x N ≤0；
第1题解图③
如解图④可得：
若M 为直角顶点：－6≤x N ≤－2；
第1题解图④
综上，点N 的横坐标x N 的取值范围为：－6≤x N ≤0. 2. 解：(1)60；
【解法提示】如解图①所示，∵点A (2，0)，B (0，23 )， ∵OA ＝2，OB ＝23 ，
在Rt △AOB 中，由勾股定理得：AB ＝22＋（23）2 ＝4， ∵OA ＝1
2 AB ，∠AOB ＝90°，
∴∠ABO ＝30°， ∵四边形ABCD 是菱形，
∴∠ABC＝2∠ABO＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠DCB＝180°－60°＝120°，
∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°；
第2题解图①
(2)如解图②，
第2题解图②
∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，
∴直线CD与直线y＝5的夹角是45°.
过点C作CE⊥DE于点E.
∴D(4，5)或(－2，5).
∴直线CD的表达式为：y＝x＋1或y＝－x＋3；
(3)分两种情况：
①先作直线y＝x，再作圆的两条切线，且平行于直线y＝x，如解图③，
第2题解图③
∵⊙O的半径为2，且△OQ′D是等腰直角三角形，
∴OD＝2 OQ′＝2，
∴BD＝3－2＝1，
∵△P′DB是等腰直角三角形，
∴P′B＝BD＝1，
∴P′(3，1)，
同理可得：OA＝2，
∴AB＝3＋2＝5，
∵△ABP是等腰直角三角形，
∴PB＝5，
∴P(3，5)，
∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；
②先作直线y＝－x，再作圆的两条切线，且平行于直线y＝－x，如解图④，∵⊙O的半径为2，且△OQ′D是等腰直角三角形，
∴OD＝2 OQ′＝2，
∴BD＝3－2＝1，
∵△P′DB是等腰直角三角形，
∴P′B＝BD＝1，
∴P′(3，－1)，
同理可得：OA＝2，
∴AB＝3＋2＝5，
∵△ABP是等腰直角三角形，
∴PB＝5，
∴P(3，－5)，
∴当－5≤m≤－1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；综上所述，m的取值范围是1≤m≤5或－5≤m≤－1.
第2题解图④
类型四 新定义几何问题
1. 解：(1)画出DE ︵如解图①所示，DE ︵与BC 相切时，△ABC 的中内弧最长.此时DE ︵
的长为以DE 长为直径的半圆.∵在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝22，∴BC ＝2AB ＝2·22＝4.∵D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE ＝12BC ＝1
2×4＝2.∴lDE ︵＝180π360
×2＝π；
第1题解图①
(2)①当t ＝1
2时，C (2，0).连接DE ，当DE ︵在DE 的下方时，点P 的纵坐标最小时点P 为DE 的中点，如
解图②所示.∵A (0，2)，∴BA ＝2.∵点D 是BA 的中点，∴BD ＝1.∵点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE ＝12BC ＝12×2＝1.∴⊙P 的半径PD ＝12.∵1
2
＜1，∴DE ︵是△ABC 的中内弧.∴y P ≥1.
第1题解图②
第1题解图③
当DE ︵
在DE 的上方时，点P 的纵坐标最大时，⊙P 与AC 相切于点E .如解图③所示，作DE 的垂直平分线FG 交DE 于点F ，交x 轴于点G ，则四边形DBGF 是矩形，圆心P 在FG 上.∵C (2，0)，A (0，2)，∴BC ＝BA ＝2.∴Rt △ABC 是等腰直角三角形.∴∠ACB ＝45°.∵点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC .
∴∠AED ＝∠ACB .∴∠AED ＝45°.连接PE ，∵⊙P 与AC 相切于点E ，∴PE ⊥AC .∴∠PEA ＝90°.∴∠PEF ＝∠PEA －∠AED ＝45°.∵PF ⊥DE ，∴∠FPE ＝45°.∴∠PEF ＝∠FPE .∴PF ＝EF .∵FG 平分DE ，∴DF ＝EF ＝12DE ＝12×1＝12.∴PF ＝12.∵FG ＝BD ＝1，∴PG ＝FG －PF ＝1－12＝12.∴P (12，12).∴y P ≤12
.
综上，圆心P 的纵坐标y P 的取值范围为y P ≥1或y P ≤12 ；
②0＜t ≤2 .
【解法提示】ⅰ. 当P 在DE 上方时，如解图④所示，圆心P 在边AC 上且DE ︵
与边BC 相切于点F 时，符合题意．∵C (4t ，0)，∴BC ＝4t .∵D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE ＝12 BC ＝1
2 ×4t ＝2t .连
接PF .∵⊙P 与BC 相切于点F ，∴PF ⊥BC .∵DE ∥BC ，∴DE ⊥PF .∴DG ＝12 DE ＝1
2 ×2t ＝t .∵PF ⊥BC ，
∴PF ∥y 轴．∴△EPG ∽△EAD .∴
PG AD ＝EG ED ＝12 .∴PG ＝12 AD ＝12 ×1＝1
2
.又∵GF ＝BD ＝1，∴PF ＝PG ＋GF ＝12 ＋1＝32 .∴DP ＝32 .在Rt △PDG 中，由勾股定理得DP 2＝DG 2＋GP 2，即(32 )2＝t 2＋(1
2 )2.解得t ＝
±2 .∵t ＞0，∴t ＝2 .∴t 的取值范围是0＜t ≤2 .
第1题解图④
ⅱ. 当P 在DE 下方时，如解图⑤.⊙P 与AC 相切于点E 为临界状态，过P 作PM ⊥DE 于点M ，DE 为△ABC 的中内弧，只需PM ≤1即可．此时易得△EMP ∽△ABC ，∴PM CB ＝EM AB ，即PM 4t ＝t
2 .得PM ＝2t 2，
故0<t ≤
2
2
.
第1题解图⑤
综上，t 的取值范围为0＜t ≤2 .
2. 解：(1)①20；
【解法提示】如解图①所示：连接OA、OB、OP.∵OA＝OB，P为AB的中点，∴OP⊥AB.∵在Rt△PBO中，由勾股定理得：PB＝OB2－OP2＝62－42＝25，∴P A＝PB＝25.∴⊙O的“幂值”＝25×25＝20.
第2题解图①
②当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值．
证明：如解图②，AB为⊙O中过点P的任意一条弦，且不与OP垂直．过点P作⊙O的弦A′B′⊥OP，连接AA′、BB′，OA′.
第2题解图②
∵在⊙O中，∠AA′P＝∠B′BP，∠AP A′＝∠BPB′，
∴△AP A′∽△B′PB.
∴P A
PB′＝
P A′
PB.
∴P A·PB＝P A′·PB′＝20.
∴当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值．
(2)r2－d2；
【解法提示】如解图③所示，连接OP，过点P作AB⊥OP，交圆O与A、B两点，连接OA，OB.
第2题解图③
∵AO＝OB，PO⊥AB，
∴AP＝PB.
∴点P关于⊙O的“幂值”＝AP·PB＝P A2.
在Rt△APO中，AP2＝OA2－OP2＝r2－d2.
∴点P关于⊙O的“幂值”＝r2－d2.
(3)1－6≤t≤6＋1.
【解法提示】如解图④所示：过点C作CP⊥AB交AB于点P.
第2题解图④
∵点P关于⊙C的“幂值”为6，
若⊙O半径为r，CP＝d，则由(2)可知r2－d2＝6.
∴d2＝3，即d＝3.
如解图⑤，以点C为圆心，3为半径作辅助圆⊙C′，
∵点P在直线MN上，
∴当直线MN与⊙C′相交即可满足条件．
当点M在x轴正半轴时，直线MN与⊙C′相切如解图⑤，
∵M(t，0)、N(0，－t)，
∴ON＝OM＝t，
∵OM＝ON，∴∠OMN＝45°.
∴在直角三角形CPM中，PM＝CP＝3.
则CM＝CP2＋PM2＝6，
∴OM＝6＋1.∴t＝6＋1.
同理当点M在x轴负半轴时，解得t＝1－6，
结合函数图象，t的取值范围为1－6≤t≤6＋1.
第2题解图⑤。