3.4-1随机向量的数字特征

cov(X , Y ) = ∫−∞
∞
−∞
∫−∞
∞
( x − EX )( y − EY ) f ( x, y)dxdy
推论
若 X 与 Y独立 , 且协方差存在 , 则 cov( X , Y ) = 0.
注意
cov( X , Y ) = 0.
X 与 Y独立
1 例3.设 ( X， Y ) ~ f ( x , y ) = π 0
x2 + y2 ≤ 1 x2 + y2 > 1
求 cov( X , Y ).
2 1 − x2 f X ( x ) = π 0 x ≤1 , x >1 2 1 − y2 fY ( y) = π 0 y ≤1 y >1
f ( x , y ) ≠ f X ( x ) fY ( y ),因此X与Y不独立.
= 0.7
∴
( EX , EY ) = ( 0.7, 0 )
Y)为连续型随机向量 （2）若(X，Y)为连续型随机向量
f ( x , y ) f X ( x ), fY ( y )，则 ∞ ∞ ∞ EX = ∫ xf X ( x ) dx = ∫ ∫ xf ( x , y ) dxdy;
EY =
∫
−∞ ∞
cov(X,Y) = E Y − E E X X Y 1 E Y = ∫∫ xyf ( x, y)dxdy= X ∫∫2xydxdy = 0 π x2+ y ≤1 2 2 x + y ≤1
由几何意义
EX = 0 EY = 0
cov( X , Y ) = 0.
cov( X,Y) = 0
X 与 Y 独立
ห้องสมุดไป่ตู้
=0
cov(X,Y) = EXY − EX = 0.95×0.15 EY
8 xy , 0 ≤ x ≤ y ≤ 1， 已知： 例3.23 已知： ( X , Y ) ~ g ( x , y ) = 其他， 0， 其他，
求 cov （ X , Y ）和 D( X + Y ）
4 x (1 − x 2 ), 0 ≤ x ≤ 1 g X ( x) = , gY ( x ) = 其他， 0， 其他， 4 y 3 , 0 ≤ y ≤ 1， 其他， 0， 其他，
例2 ,已知二维随机向量 ( X , Y )的概率分布由表确定 , 判断 (1) X 与 Y 是否独立 ?( 2 ) E ( XY )与 EX ⋅ EY 是否相等 ?
Y X −1 1 −1 0 .3 0 .1 0 0 0 .2 1 0 .3 0 .1
解.(1)
X P
X Y不 立 与 独 .
Y P
−1 1 0.6 0.4
例1.设离散型随机向量(X，Y)的联合分布为 设离散型随机向量( Y)的联合分布为
Y X 0 1 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 0.2 0.1 0.3 0.4 -1 0 1
piX
0.3 0.7 1
pY j
解: 另 解:
求随机向量(X，Y)的均值向量. 求随机向量( Y)的均值向量. 的均值向量
2.设X与Y独立 , 期望EX , EY都存在 , 则 Y X Y 简证 X与Y独立 ？ E(X ) = E ⋅ E
推 若X 1 , X 2 , L , X n 相互独立 , 且期望都存在 , 则 广 E(X1X2L n) = E 1E 2L Xn X X X E
3.设 X 与 Y的独立 , 方差都存在 , 则
2
= E[(X − EX) ±(Y − EY)]2
=E[(X-EX) +(Y EY)²±2(X-EX)(Y+(Y=E[(X-EX)²+(Y-EY) ±2(X-EX)(Y-EY)] =E(X-EX) +E(Y EY)²± E(X-EX)(Y+E(Y=E(X-EX)²+E(Y-EY) ±2E(X-EX)(Y-EY)
cov(X,Y) = EXY − EXEY
EX =
∞ ∫− ∞
xg X ( x )dx =
+∞
EY =
∞ ∫− ∞
ygY ( y )dy =
EXY = ∫∫ xyg( x , y )dxdy
D( X ± Y ) = DX + DY ± 2 cov( X , Y )
D = E 2 −(E )2 X X X
EX 2 = ∫− ∞ x 2 g X ( x )dx =
∞
−∞
2.相关系数
定义 3.10 假设X与Y的方差存在 , 并且均不为零 , 称
cov(X,Y) 为 X 与 Y的相关系数 ρ . D D X Y cov( X,Y) E(X − E )(Y − E ) X Y ρXY = = D D X Y D D X Y EXY − EX ⋅ EY = DX ⋅ DY
−∞
yfY ( y ) dy =
∞
∫ ∫
−∞
−∞ ∞
−∞ ∞
D = E 2 −(E )2 X X X
−∞ ∞
−∞
yf ( x , y ) dxdy;
DX = ∫ ( x − EX ) 2 f X ( x )dx =∫
∞ −∞ −∞
∫
( x − EX ) f ( x , y )dxdy
2
DY = ∫ ( y − EY ) fY ( y)dy
2 −∞
∞
=∫
∞
−∞ −∞
∫
∞
( y − EY ) 2 f ( x , y )dxdy
机 量 数 数 期 随 向 函 的 学 望
设g ( X , Y )是随机变量 X , Y的函数 , 且E[ g ( X , Y )]存在.
(1)( X , Y )是离散型 :
E[ g ( X , Y )] = ∑ ∑ g ( xi , y j ) pij
(4) cov(C , X ) = 0 C为任意常数。 为任意常数。
5 （ ） cov( X 1 X 2 , Y ) cov( X 1 , Y ) cov( X 2 , Y )； ＋ ＝ ＋
6 （ ） D( X ± Y ) = DX + DY ± 2 cov( X , Y )
( 7 ) 定理 3.6
EX = 0 × 0.3 + 1 × 0.7 = 0.7 EY = ( −1) 0.4 + 0 × 0.2 + 1 × 0.4 = 0 EX = 0 × 0.1 + 0 × 0.1 + 0 × 0.1 + 1 × 0.3 + 1 × 0.1 + 1 × 0.3
EY = ( −1) × 0.1 + ( −1) × 0.3 + 0 × 0.1 + 0 × 0.1 + 1 × 0.1 + 1 × 0.3 =0
1 −1 0 0.4 0.2 0.4
(2). EX = −0.2, EY
2
E ( XY ) =
=0
3
EX ⋅ EY = 0
∑ ∑ xi y j pij
i =1 j =1
= (−1)(−1) × 0.3 + (−1) × 1 × 0.3 +1×(−1) ×0.1+1×1×0.1 = 0
E(X ) = E E Y X Y
特别： 特别： X 1 , X 2 ,L , X n 相互独立
2 2 2 D(λ1X1 ±λ2X2 ±L±λnXn) = λ1 DX1 +λ2 DX2 +L+λn DXn
EX证 (8) cov( X , Y ) ≤ E ( X −可)(Y − EY ) ≤ DX DY
X ,Y 0 已知： 例3 .22 已知： 1 2 pY j
定义 3.8 设两个随机变量 X , Y的期望和方差都存在 , 则称
cov(X,Y) = E(X − EX)(Y − EY) = EXY − EXEY cov( X , X ) = DX . 为 X 和 Y 的协方差 离散型 ( X , Y ) cov(X,Y ) = ∑ ∑ ( xi − EX)( y j − EY) pij i j = EXY − EXEY 连续型( X , Y )
X与Y独立
推广 D(X ± X ±L± X ) = DX + DX +L+ DX 1 2 n 1 2 n
若X 1 , X 2 , L , X n 相互独立 , 且方差都存在 , 则
D(X ±Y) = DX + DY
性质3的证明： 性质3的证明：
D(X±Y)= E[(X ±Y) − E(X ±Y)] ±
一 , 随机向量的数学期望
3.4 随 向 的 字 征 机 量 数 特
定义 设EX i 都存在, i = 1,2,L , n, 称为期望向量 , , E(X1, X2,..., Xn)= (EX1, EX2,L EXn) 或均值向量 .
Y)为离散型随机向量 （1）若(X，Y)为离散型随机向量
EX = ∑xi pi = ∑∑xi pij
i j
( 2)( X , Y )是连续型 :
E[g(X,Y)]= ∫−∞ ∫−∞ g(x, y) f (x, y)dxdy
−∞ −∞
∞ ∞
二 , 随机变量和与积的数学 期望及方差
1, 设随机变量 X 1 , X 2 , L , X n的期望都在 , 则 E(X1 ± X2 ±L Xn) = E 1 ± E 2 ±L E n X X ± ± X 1n 1n E( ∑Xi ) = ∑E i X ni=1 ni=1
cov(X,Y) = E(X − EX)(Y − EY) = EXY − EXEY 协 差 关 质 定理 3 .5 方 相 性
(1) cov( X , X ) = DX .
( 2 ) cov( X , Y ) = cov( Y , X )
( 3) cov(aX , bY ) = ab cov( X , Y )
−1 0 .1 0 .3 0 . 15 0 . 55
0 0 .2 0 . 05 0 0 . 25
2
p iX
0 0 .3 求 cov （ X , Y ） 0 . 1 0 . 45 0 . 1 0 . 25 0 .2
cov(X,Y) = EXY − EXEY
EX = 0.95 EY = − 0.15
EXY = ........
i i j
P { X = xi ,Y = yj } = pij
(i, j = 1,2,L)
EY = ∑ yj p j = ∑∑ y j pij ;
j i j
DX = ∑∑(
i j
xi − EX= EX2 −(EX)2 D X pij DY =
i
)
2
( yi − EY )2 pij ∑∑
j
已知联合分布,求每个分量的数学期望和方差方法： 已知联合分布,求每个分量的数学期望和方差方法： 联合分布 期望 方法 （1）先求分量的边缘分布，然后求解； 先求分量的边缘分布，然后求解； 利用联合分布表求解. （2）直接 利用联合分布表求解.
±2 =DX+DY±2[E(XY) EX·EY E(XY)- EY] =DX+DY±2[E(XY)-EX EY] =DX+DY±2 cov( X,Y) EY,故 独立时， E(XY)=EX·EY, 当X与Y独立时， E(XY)=EX EY,故
D(X± D(X±Y)=DX+DY.
cov(X ,Y )
E(X − EX)(Y − EY) = EXY − EXEY
ρ xy
= ±1
(3)若ρ ≠ 0, 称X与Y为相关的.
当 ρ > 0时 , 称 X 与 Y 为正相关 , 当 ρ < 0时称 X 与 Y 为负相关 ; 若 ρ = 0 , 称 X 与 Y 不相关 ( 实为线性无关 )
(4 ). X 与 Y独立 ρ xy = 0
例4 .已知随机变量 Z 服从区间 [ 0 , 2π ]上的均匀分布 , 且 X = sin Z , Y = sin( Z + k ), k 为常数 , 求 X 与 Y 的相关系数 ρ .
= E ( X − EX )( aX + b − aEX − b ) cov(X,Y) = aE ( X − EX ) 2 = aDX ρxy = 2 D D X Y DY = D( aX + b ) = a DX
aDX a cov( X , Y ) = = = DX DY | a | DX | a |
性 （ ） ρXY ≤ 1 由 质 8
ρ → 刻画X与Y间线性相关程度的一个 数字特征 .
性质 (1 ). | ρ |≤ 1 当a < 0时, ρ XY = −1. （2） .如果Y = aX + b, 则当a > 0时, ρ XY = 1，
证. cov( X , Y ) = E ( X − EX )(Y − EY )
X Y独 . 与 立
例3.19 设(X, Y)的密度函数为
8 xy , 0 ≤ x ≤ y ≤1, g ( x, y ) = 其他 . 0,
求EXY. 解
EXY = ∫
+∞ +∞
−∞ −∞
∫
xyg ( x, y)dxdy
= ∫ dx∫ xy⋅8xy⋅dy
0 x
1
1
4. = 9
三 .随机变量的相关系数和 相关性 1.协方差