配餐作业77不等式证明的基本方法

配餐作业(七十七) 不等式证明的基本方法
1．(2018·大理一模)已知函数f (x )＝|x |＋|x －3|。

(1)解关于x 的不等式f (x )－5≥x 。

(2)设m ，n ∈{y |y ＝f (x )}，试比较mn ＋4与2(m ＋n )的大小。

解 (1)f (x )＝|x |＋|x －3|＝⎩⎪⎨⎪
⎧
3－2x ，x <0，
3，0≤x ≤3，
2x －3，x >3。

f (x )－5≥x ，即⎩⎨
⎧
x <0，
3－2x ≥x ＋5或⎩⎨
⎧
0≤x ≤3，3≥x ＋5
或⎩⎨
⎧
x >3，2x －3≥x ＋5，
解得x ≤－2
3或x ∈∅或x ≥8，
所以不等式的解集为⎝ ⎛
⎦⎥⎤－∞，－23∪[8，＋∞)。

(2)由(1)易知f (x )≥3，所以m ≥3，n ≥3。

由于2(m ＋n )－(mn ＋4)＝ 2m －mn ＋2n －4＝(m －2)(2－n )。

且m ≥3，n ≥3，所以m －2>0,2－n <0， 即(m －2)(2－n )<0， 所以2(m ＋n )<mn ＋4。

2．(2017·郑州第二次质量预测)已知不等式|2x －3|<x 与不等式x 2
－mx ＋n <0的解集相同。

(1)求m －n 。

(2)若a ，b ，c ∈(0,1)，且ab ＋bc ＋ac ＝m －n ，求a ＋b ＋c 的最小值。

解 (1)|2x －3|<x ⇒x >0且－x <2x －3<x ⇒1<x <3， 所以x ＝1，x ＝3是方程x 2－mx ＋n ＝0的两个根。

所以⎩⎨
⎧
m ＝1＋3＝4，n ＝1×3＝3，
所以m －n ＝1。

(2)由(1)得ab ＋bc ＋ac ＝1，
(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝ a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋a 2＋c 2
2＋2。

因为a 2＋b 22≥ab ，b 2＋c 22≥bc ，a 2＋c 2
2≥ac ， 所以a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋a 2＋c 2
2≥ab ＋bc ＋ac ＝1，
所以(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋a 2＋c
22＋2≥3(当且仅当a ＝b
＝c ＝3
3时取等号)。

所以a ＋b ＋c 的最小值是3。

3．(2018·西安一模)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R 。

(1)解不等式f (x )<x ＋1。

(2)若对于x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤1
6，求证：f (x )<1。

解 (1)不等式f (x )<x ＋1，等价于|2x －1|<x ＋1， 即－x －1<2x －1<x ＋1，
求得0<x <2，故不等式f (x )<x ＋1的解集为(0,2)。

(2)证明：因为|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，
所以f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|(2y ＋1)|≤2·13＋16<1。

4．(2017·大理州二模)若关于x 的不等式|3x ＋2|＋|3x －1|－t ≥0的解集为R ，记实数t 的最大值为a 。

(1)求a 。

(2)若正实数m ，n 满足4m ＋5n ＝a ，求y ＝1m ＋2n ＋4
3m ＋3n 的最
小值。

解 (1)因为|3x ＋2|＋|3x －1|－t ≥0， 所以|3x ＋2|＋|3x －1|≥t ，
又因为|3x ＋2|＋|3x －1|≥|(3x ＋2)＋(1－3x )|＝3，所以t ≤3，从而实数t 的最大值a ＝3。

(2)因为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1
m ＋2n ＋43m ＋3n (4m ＋5n )＝ ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫1
m ＋2n ＋
43m ＋3n [(m ＋2n )＋(3m ＋3n )]≥
⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫
1
m ＋2n
·m ＋2n ＋4
3m ＋3n ·3m ＋3n 2＝9，
所以3⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫1
m ＋2n ＋43m ＋3n ≥9，从而y ≥3， 当且仅当1
m ＋2n ＝2
3m ＋3n ，即m ＝n ＝13时取等号，
所以y ＝1
m ＋2n ＋4
3m ＋3n
的最小值为3。

【方法技巧】
(1)恒成立问题一般转化为求函数的最值问题；(2)用柯西不等式求最值关键是“凑”定值，使1
m ＋2n ＋4
3m ＋3n 乘以(m ＋2n )＋(3m ＋3n )
＝a ，得到所求最值。

另外本小题可以用均值不等式求解：⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫1m ＋2n ＋43m ＋3n ⎣
⎡⎦⎤(m ＋2n )＋(3m ＋3n )＝5＋3m ＋3n m ＋2n ＋4(m ＋2n )3m ＋3n ≥5＋2
3m ＋3n m ＋2n ·4(m ＋2n )
3m ＋3n ＝9，因为(m ＋2n )＋(3m ＋3n )＝a ＝3，所以1
m ＋2n ＋43m ＋3n ≥3，即y ＝1m ＋2n ＋43m ＋3n
的最小值是3。

1．(2018·福建质检)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －2|，集合A ＝{x |f (x )<3}。

(1)求A 。

(2)若s ，t ∈A ，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－t s <⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －1s 。

解 (1)不等式f (x )<3⇔|2x ＋1|＋|x －2|<3，(*)
当x ≤－12时，不等式(*)可化为－3x ＋1<3，解得x >－2
3， 此时不等式(*)的解集为{|x －23<x ≤－1
2；
当－1
2<x <2时，不等式(*)可化为x ＋3<3，解得x <0， 此时不等式(*)的解集为{|x －1
2<x <0；
当x ≥2时，不等式(*)可化为3x －1<3，解得x <4
3， 此时不等式(*)的解集为∅。

综上，不等式(*)的解集为{|x －2
3<x <0。

所以A ＝{|x －2
3<x <0。

解：不等式f (x )<3等价于|2x ＋1|＋|x －2|－3<0，(*) 设函数g (x )＝|2x ＋1|＋|x －2|－3，则
g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
3x －4，x ≥2，x ，－12
<x <2，－3x －2，x ≤－12，
其图象如图所示，从图象可知，当且仅当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－23，0时，g (x )<0。

所以不等式(*)的解集为{|x －2
3<x <0。

所以A ＝{|x －2
3<x <0。

(2)证明：因为s ，t ∈A ，由(1)知s ，t ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t s 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1s 2＝1＋t 2
s 2－t 2－1s 2＝1s 2(1－t 2)(s 2
－1)<0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t s 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1s 2，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－t s <⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －1s 。

2．(2018·四川资阳模考)已知函数f (x )＝|x ＋1|。

(1)解不等式f (x ＋8)≥10－f (x )。

(2)若|x |>1，|y |<1，求证：f (y )<|x |·f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫y x 2。

解 (1)原不等式即为|x ＋9|≥10－|x ＋1|。

当x <－9时，则－x －9≥10＋x ＋1，解得x ≤－10。

当－9≤x ≤－1时，则x ＋9≥10＋x ＋1，此时不成立。

当x >－1时，则x ＋9≥10－x －1，解得x ≥0。

所以原不等式的解集为{x |x ≤－10或x ≥0}。

(2)证明：要证f (y )<|x |·f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
y x 2，
即|y ＋1|<|x |⎪⎪⎪⎪
⎪⎪y x 2＋1， 只需证明|y ＋1||x |<⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪
y x 2＋1，
即(y ＋1)2x 2<(y ＋x 2)2
x 4。

则有(y ＋1)2x 2－(y ＋x 2)2
x 4＝ x 2(y ＋1)2－(y ＋x 2)2
x 4
＝ x 2y 2＋2x 2y ＋x 2－(y 2＋2x 2y ＋x 4)
x 4＝ x 2y 2＋x 2－y 2－x 4x 4＝(1－x 2)(x 2－y 2)
x 4。

因为|x |>1，|y |<1，所以x 2>1，y 2<1。

所以(y ＋1)2x 2－(y ＋x 2)2x 4＝(1－x 2)(x 2－y 2)
x 4<0， 所以(y ＋1)2x 2<(y ＋x 2)2
x 4，原不等式得证。