长郡中学高三第三次月考数学试卷(文科)

长郡中学高三第三次月考数学试卷（文科）
命题人：张志忠
一、选择题（每小题的答案是唯一的。

每题5分，共50分）： 1、
已知全集I ＝｛x │x ＝1
，m ∈N *｝，A ＝｛x │x ＝
n
21
，n ∈N *｝，B=｛x │x ＝(1)n
，n ∈N *｝，那么 （ ）
（A ）A B ＝φ （B ）A C I B ＝φ （C ）A B C I ＝φ （D ）A C I B C I ＝φ 2、
把函数),0)(sin(πϕωϕω<>+=x y 的图象向左平移6
π个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得图象的解析式是x y sin =，则（ ） （A ）6
,2π
ϕω== （B ）1221,π
ϕω-==（C ）621
,π
ϕω=
= （D ）3
,2πϕω-== 3、 过抛物线的焦点任作一弦,设它的长度为m,它的中点到准线的距离为d,则有( )
(A) d<2m (B) d>2m (C) d ＝2m (D)d 与2
m
关系不定 4、
已知等差数列｛n a ｝，n S 表示前n 项的和，,0,0993<>+S a a 则n S S S ,,21中
最小的是（ ）
（A ）S 4 （B ）5S （C ）S 6 （D ）9S 5、
一元二次方程)0(0122≠=++a x ax 有一个正实数根和一个负实数根的充分不必要．．．．．
条件．．
是
（ ） （A ）．0<a （B ）．0>a
（C ）．1-<a
（D ）．1>a
6、
函数11212y x x ⎛⎫
=
≠ ⎪-⎝⎭
的图象与函数()11022y x x =+≠的图象关于（ ） （A ）.y 轴对称 （B ）. x 轴对称 （C ）. 原点对称 （D ）.直线y x =对称 7、
已知6
π
βα=
+，则α、β满足关系式
0tan 3tan 2)tan (tan 3=+++βαβαa ，则=αtan （ ）
（A ）)1(3
3a - （B ）
)1(3
3a + （C ）)1(3a - （D ）)1(3a +
8、
已知非零实数a,b,c 满足b c a <-，则下列不等式中正确的是（ ） （A ）c b a +< （B ）c b a -> （C ） c b a +< (D) b c a ->
9、 已知x,y 为非负实数且,422=+y x 则P ＝10)(4++-y x xy 的最大最小值情况是
（ ）
（A ） 最大值为2，最小值为42)21(- （B ） 最大值为2，最小值为0
（C ） 最大值为10，最小值为42)21(-
（D ） 不存在最大值和最小值 10、 如图所示，水平地面上有一个大球，现有如下方法测量球的大小，用一个锐角为
45º的三角板，斜边紧靠球面，一条直角边紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA=5cm ，则球的表面积为 ( ) (A) 100πcm 2 (B) 100(3十22)πcm 2 (C) 100(3－22)πcm 2 (D) 200πcm 2
二、填空题（每题4分，共20分）： 11、 在－9和3之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成和为－21的等差数列，则n 的值为_________ 12、 由0，1，2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为___________ 13、 若含有集合A={1，2，4，8，16}中三个元素的A 的所有子集依次记为B 1，B 2，B 3，…，B n （其中n ∈N *），又将集合B i （i =1，
2，3，…，n ）的元素的和记为i a ，则321a a a ++ n a ++ = .
14、
菱形ABCD 的边长为G F E A a ,,,60,0=∠，H 分别在AB 、BC 、CD 、DA
上，且3a DH DG BF BE ====，沿EH 与FG 把菱形的两个锐角对折起来，使A 、C 两点重合，这时A 点到平面EFGH 的距离为_________ 15、 有以下命题：
（1） 已知A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则−→−AB +−→−BC ＋−→−CD +−→−DA ＝→
0； （2） ︱a ︱－︱b ︱＝︱a ＋b ︱是a 、b 共线的充要条件； （3） 若→
a 与→
b 共线，则→
a 与→
b 所在的直线平行；
（4） 对空间任意一点O 和不共线的三点
A 、
B 、
C ，若
−→
−OP =x −→
−OA +y −→
−OB +−→
−OC z (其中R z y x ∈,,)，则P 、A 、B 、C 四点共面。

其中不正确．．．的命题的序号是__________
长郡中学高三第三次月考数学试卷（文科）
命题人：张志忠
学校 班次 姓名 考号
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长郡中学高三第三次月考数学答案（文科）
一、选择题：BDCBC 、DDAAB 。

二、填空题（每题4分，共20分）： 16、 5 17、 210 18、 186 19、
2
a
20、 234 三、解答题： 21、
（1）由正弦定理，得
B
C
A B C sin sin sin 3cos cos -= （2分）即sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB ∴sin(B+C)=3sinAcosB （4分）∵A+B+C=180°∴sinA=3sinAcosB （5分）∵0°<A<180°∴cosB=
31（6分）∴sinB=
23
2
（7分） （2）由余弦定理，cosB=
,22
22ac
b c a -+ 再由b=42,a =c, cosB=31得c 2=24 （10分） ∴S △ABC =21a csinB=2
1
c 2sinB=82 （12分） 22、
(1)证：以A 为原点，分别以1AD AB 、、为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标
系， 设BE ＝m ，CF =n,则有B 1(a ，0，a )，D 1(0，a ，a )， E (a ，m ，0)，F (a －n ，a ，0) ---- 3分 ∴
11(,,)(,,)
B F n a a D E a m a a =--=--
，由
B 1F ⊥D 1E ，得
11()()()0B F D E an a m a a a ⋅=-+-+--=
故,m n =即BE =CF ．--- 6分
(2)解：]
4
)2([62
2
1a a x a V CEF
C +--=----------8分 当2a x =时，三棱锥C 1－CEF 的体积最大，这时E 、F 分别为BC 、C
D 的中点 ------- 10分 连结AC 交EF 于G 点，连
结C 1G ，则AC ⊥EF 由三垂线定理知C 1G ⊥EF ，∴∠C 1GC 是二面角C 1－EF －C 的平面角---------12分∵a CC a AC GC ===
1,4241，∴22tan 11==∠GC
CC GC C 即二面角C 1－EF －C 的大
小为22arctan ． --------- 14分 23、
略解：（1）由
)
()(x f x f -=-在
()
b b ,-内恒成立得
2-=a ------------------------------------4分
再由
02121>+-x x 得21
21<<-x -------------------------------------------------------------------6分 所以2121≤<-≤-
b b 得⎥⎦
⎤
⎝⎛∈21,0b ---------------------------------------------------------------8分 （2）)(x f 在()b b ,-内单调递减，证明略。

-------------------------------------------------14分 24、
解：（1）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8－p ）万件，年销售收入为
70
(11.8)1%
p p --万元，则商场该年对该商品征收的总管理费为70
(11.8)1%
p p --p %（万元）. 故所求函数为:7
(11810)100y p p p
=
--. 由 11.8－p ＞0及p ＞0得定义域为0＜p ＜595
. -------4分
（2）由y ≥14，得7
(11810)100p p
p
--≥14.化简得2
1220p p -+≤0，即(2)(
10)p p --
≤0，解得2≤p
≤10.故当比率在［2%，10%］内时，商场收取的管理费将不少于14万元. -------8分 （3）第二年，当商场收取的管理费不少于14万元时，厂家的销售收入为70
()(11.8)1%
g p p p =--（2≤p ≤10）.∵70882
()(11.8)700(10)1%100
g p p p p =
-=+--为减函数，∴m ax
()
(2)700g p g ==（万元）.
故当比率为2%时，厂家销售金额最大，且商场所收管理费又不少于14万元. -------12分 25、 答案：解：（1）由32)1(3232111+=+-=-=+++n n n n n n a a n a S n a S 得及∴
3
23
3
1=∴=+++c a a n n （4'）
（2）1111112)3(3:)1(3,32-⋅+=+=∴-==n n a a a a S a 知由 *3
2.3N n a n n ∈-=∴ （8'）
（3）设存在S ，P ，r 成等差数列使且r p s a a a r P S N ,,,*
∈r s p a a a +=∴2 （10'） 即 )323()323()323(2-⋅+-⋅=-⋅r s p s r s p r
s p -+-++=∴+=∴21222211（12'）
s
r s p r
P S N r P S -+-∴∈22..1*
、且 为
偶
数
1+2不存在满足条件的三项
矛盾为奇数s r - （14'） 26、
解：（Ⅰ）设点C ，G 的坐标分别为),(),,(0
y x y x ，),(),1(),1(0
y y x x y x y x GC GB GA --+--+---=++
=--=)3,3(00y y x x 0003,3y y x x ==，由AB GM MB MA //||||和=，知点M 的坐标为（0，
y 0），由||||=，可得,)(12
022
y y x y -+=
+∴.13
,949122222=++=+y x y x y 即
点C 的轨迹方程是).0(13
2
2≠=+y y x …6分
（Ⅱ）直线l 的斜率为k （k ≠0），则它的方程为y=k （x －2），由⎩⎨⎧=-+-=.
033),2(2
2y x x k y 可得
,0344)3(2222=-+-+k x k x k ……8分其中,0)1(36)34)(3(4162224>-=-+-=∆k k k k
∴.011≠<<-k k 且 …………9分设两交点E 、F 的坐标分别为 ),(),,(2211y x y x ，
由韦达定理得：.3
34,342
2
212221+-=⋅+=+k k x x k k x x 又因为),2(),2(2211-=-=x k y x k y 从而
)2)(2)(1()2)(2(2122121--+=+--=⋅x x k y y x x PF PE
).3
2
1(93)1(9)4342334)(
1(2222+-=++=++⨯-+-+=k k k k k k k k …11分，又).2
9,3(,433,1022∈⋅<+<<<k k 所以∴⋅的取值范围是（3，
2
9
）.……14分。