TE, TM 模型与 Darwin 模型的等价性

摘要
本文利用向量分解, 分别在二维有界多连通区域和二维无界区域里研究了 TE,
TM 模型. 我们发现, 对初始条件作一些正则性假设的前提下, TE, TM 模型和 Darwin 模
型是等价的.
关键词
TE, TM 模型 Darwin 模型 等价性 无界区域
35Q60, 35J25, 35L50
MSC(2000) 主题分类
∇ × (∇ × φ) = − φ, ∇ × (∇ × v ) = − v + ∇(∇ · v ).
注意二维向量的旋度是一个标量. 最常用的 Hilbert 空间是
H 1 (Ω) = {ϕ ∈ L2 (Ω); ∇ϕ ∈ (L2
2 0 ,Ω
+ ∇ϕ
1 2 2 0 ,Ω ) ,
根据23结合18式和边界条件18式得到26结合2326节同样的做法我们能得到tetm模型与darwin模型的等价性二维有界多连通区域里tetm模型的解的正则性现在考虑tetm模型的解的正则性
中国科学 A 辑 : 数学 2009 年 第 39 卷 第 12 期 : 1443 ∼ 1461

廖才秀等: TE, TM 模型与 Darwin 模型的等价性
记 ∂ Ω 为良导体的边界, 则 ET 和 EL 能够唯一确定. 在 Darwin 模型中, 记 E D = D D ET + EL 和 B D 分别为电场强度 E 和磁感应强度 B 的逼近. 通过一些推导, 方程组 (1)–(4) 将变成下面的 Darwin 模型 [1] :
这里 χi 满足
cij =
Γj
χi = 0, x ∈ Ω, (20) χ | = δ , 0 j m, i Γj ij ∂χi 2 2 ∂n dS. 进一步地, 如果 L (Ω) 中的函数 f 还满足 ∇ × f = 0, f × n |Γ = 0, 则
D ET × n |Γi = 0, D ET · n, 1 Γi
= 0.
这里, Γi (0 i m) 是边界 Γ = ∂ Ω 的连通部分, 而 n 是单位外法线方向, Γ0 是外边界. 记 1 1 H − 2 (Γi ) 和 H 2 (Γi ) 的对偶积为 ·, · Γi .
Degond 和 Raviart[1] 研究了 Darwin 模型与 Maxwell 方程的逼近性, 并指出它们的逼近
1
引言
Darwin 模型是 Maxwell 方程组的一个逼近模型. Maxwell 方程组满足下面的方程: 1 ∂E − ∇ × B = −µJ , c2 ∂t ∂B + ∇ × E = 0, ∂t 1 ∇ · E = ρ, ε ∇ · B = 0,
(1) (2) (3) (4)
其中 E = E (x, t) 和 B = B (x, t) 分别表示电场强度和磁感应强度, ρ = ρ(x, t) 和 J = J (x, t) 分别是体电荷密度和电流密度, 它们满足下面的电荷守恒方程: ∂ρ (5) + ∇ · J = 0. ∂t 正常数 c、 ε 和 µ 分别是光速、 介电常数和磁导率, 它们之间满足
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中国科学 A 辑: 数学 第 39 卷 第 12 期
我们发现了一个非常有意思的结果: 在二维时, Darwin 模型与 TE, TM 模型是等价的, 这个 与三维情形有很大的不同. 最近, Ying 和 Li[3] , Liao 和 Ying[4] 分别研究了 Darwin 模型中电 场和磁场在二维无界区域的边值问题. 文献 [3, 4] 建立了变分公式, 证明了适定性, 并用无限 元方法求解了这些问题, 还进行了收敛性分析并提供了数值例子. 结果表明, 无界区域时问 题的解都不是唯一的. 对于电场 E 来说, 它们之间相差二维空间中的一个函数, 而对于磁感 应强度 B 来说, 它们之间却相差三维空间中的一个函数. 但是, 本文发现, 若初始条件满足 一些正则性条件, 则能证明 Darwin 模型的一个解是 TE, TM 模型的解.
研究了二维有界多连通区域的向量分解. 根据需要, 这里 我们提供另一个分解, 它与文献 [6] 的结果有些不同. 定理 3.1
(L2 (Ω))2 中的任意函数 f 都可以分解如下形式: f = ∇φ + ∇ × u,
其中 u 是下面问题的解:
∇ × (∇ × u − f ) = 0, (∇ × u − f ) × n | = 0,

TE, TM 模型与 Darwin 模型的等价性
廖才秀 x*, 应隆安 yz
x 华南师范大学数学科学学院, 广州 510631 y 北京大学数学科学学院, 北京 100871 z 厦门大学数学科学学院, 厦门 361005 E-mail: liaocaixiu800919@, yingla@, yingla@ 收稿日期: 2008-12-01; 接受日期: 2009-03-05; * 通信作者
Γ
(17)
φ 满足
∇ · (∇φ − f ) = 0, φ| =α, 0 i
Γi i
x ∈ Ω, m,
(18)
αi (0
i
m) 在相差一个常数的意义下唯一确定, 而且是下面方程的解:
m
cij αj =
j =0 Ω
f · ∇χi dx,
0
i
m,
(19)
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它们的子空间
H0 (div; Ω) = {v ∈ H (div; Ω); v · n = 0 在 Γ 上}, H0 (curl; Ω) = {v ∈ H (curl; Ω); v × n = 0 在 Γ 上},
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廖才秀等: TE, TM 模型与 Darwin 模型的等价性
它们的交空间为
H (curl, div; Ω) = H (div; Ω) ∩ H (curl; Ω).
2
符号和 Green 公式
令 Ω 是 R2 的一个开区域, 它是有界还是无界的, 依赖于我们所考虑的问题而定. 边 界 Γ = ∂ Ω 是 Lipschitz 连续的. 当考虑有界多连通区域问题时, 记 Γ0 是 Ω 的外边界, Γi (1 i m) 是 Γ 的其他部分. 当考虑无界区域问题时, 我们进一步假设边界 ∂ Ω 是简单闭 的. 记 ∂ Ω 的单位外法线方向为 n. 记 D(Ω) 为无穷次可微且有紧支集的函数构成的空间, D (Ω) 是 D(Ω) 的对偶空间, 通常也称作在 Ω 上的分布空间. 记 C 0 (Ω) 是定义在 Ω 上的连 m 续函数空间, C m (Ω) = {u ∈ C 0 (Ω); ∂ α u ∈ C 0 (Ω), ∀|α| m}. C0 (Ω) 由 C m (Ω) 中有紧支集的 函数组成. 对于一个有界区域 Ω, 引入 Hilbert 空间和一些基本的公式. 定义旋度算子如下: ∂φ ∂φ ∇×φ= ,− , φ ∈ D (Ω), ∂x2 ∂x1 ∂v2 ∂v1 ∇×v = − , v ∈ D (Ω)2 . ∂x1 ∂x2 很容易验证下面的恒等式成立:
D (i) EL = EL = ∇ψ, 其中 ψ 满足 ψ = ρ , x ∈ Ω, ε ψ| =α, 0 i Γi i
(6) m,
其中 αi (0
i
m) 是微分方程 m dαj 1 cij = dt ε j =0 α (0) = α , 0 i i0
J · ∇χi dx,
1
其中, · 0 是 (L2 (Ω))2 范数 (若只是标量函数的话就是指 L2 (Ω) 范数), | · |1 是半范数, | u |1 = 1 ( Ω (∇u)2 dx) 2 . 现在给出下面的 Green 公式:
∇ · uΦdx = −
Ω Ω
u · ∇Φdx + u · n, Φ Γ ,
∀ u ∈ H (div; Ω),
(9) (10) (11) (12)
= 0,
x ∈ Ω,
B D · n | ∂ Ω = B0 · n, (∇ × B D ) × n | ∂ Ω = µJ × n. (iii)
D ET
为下面问题的解:
D ET =
∇·
D ET
∂ ∇ × B D , x ∈ Ω, ∂t = 0 , x ∈ Ω,
(13) (14) (15) (16)
Ω
0
i
m, (7)
i
m
的解. 这里 αi0 依赖于 EL 的初始条件, χi 满足 χi = 0, x ∈ Ω, χ | =δ , 0 j
i Γj ij
(8) m,
cij 表示 (ii) B
∂χi dS. Γj ∂n D
为下述问题的解:
− B D = µ∇ × J , ∇·B
D
x ∈ Ω,
¯ ¯ 是特征速度, c 是光速. 这 关系是 E − E D 0 = O(η 3 ), B − B D 0 = O(η 2 ), 其中 η = v c, v 说明在电流变化不快时, Darwin 模型是 Maxwell 方程组的一个很好的逼近模型.
1995 年, Ciarlet 和 Zou[2] 用有限元方法研究了 Darwin 模型椭圆边值问题在三维有界
u
1,∗ 2
=
Ω
| ∇u | dx +
Ω
u2 dx 2 |x| ln2 |x|
1 2
.
1 ,∗ ∞ 文献 [5] 已经证明它是一个 Hilbert 空间. 记 H0 (Ω) 是 C0 (Ω) 在范数 | · |1 意义下的闭包.
3
二维有界多连通区域的向量分解
Girault 和 Raviart[6,
pp. 37−41]
单连通区域的解. 他们建立了 H (curl; Ω) 和 H (curl, div; Ω) 变分公式, 并证明了变分问题的 适定性, 然后分别用 Nedelec 有限元和 H 1 (Ω) 有限元求解这两类变分问题. 本文主要研究 Maxwell 方程组在二维有界多连通区域和二维无界区域的情形. 对于二 维情形, 假设 E 和 B 都与 x3 无关, 则 Maxwell 方程组可以分为两个互相独立的方程组: 横 向的电场模型和横向的磁场模型. 为简单起见, 这两个模型分别称为 TE 模型和 TM 模型.
对于空间 H (div; Ω), H (curl; Ω) 和 H (curl, div; Ω), 分别赋予下面的范数:
v v v
0,div 0,curl
=( v =( v
2 0 2 0
2 + ∇·v 2 0) , 2 + ∇×v 2 0) , 1
1
0,curl,div
=( v
2 0
+ ∇·v
2 0
2 + ∇×v 2 0) .
∀ Φ ∈ H 1 (Ω), ∀ w ∈ H 1 (Ω).
(∇ × u)wdx =
Ω Ω
u · ∇ × wdx + n × u, w Γ ,
∀ u ∈ H (curl; Ω),
当考虑无界区域问题时, 记 Ωc 是 Ω 的补集. 我们给出下面的带权 Sobolev 空间 (为简 单起见, 假设原点 o 在 ∂ Ω 的内部, 且对所有的 x ∈ Ω, 都有 |x| > 1 成立): u ∈ L2 (Ω) , H 1,∗ (Ω) = u ∈ D (Ω); ∇u, |x|ln |x| 赋予如下范数
引用格式: 廖才秀, 应隆安. TE, TM 模型与 Darwin 模型的等价性. 中国科学 A, 2009, 39(12): 1443–1461
Liao C X, Ying L A. The equivalence between the TE, TM model and the Darwin models. Sci China Math, 2010, 53, DOI: 10.1007/s11425-009-0185-5
εµc2 = 1. 1992 年, Degond 和 Raviart[1] 研究了在三维有界单连通区域 Darwin 模型与 Maxwell 方
程组的逼近性. 他们把电场 E 分解为横场 ET 与纵场 EL 之和, 其中 ET 满足 ∇ · ET = 0, ET EL 满足 ∇ × EL = 0. 然后把 E = ET + EL 代入 (1) 式中, 忽略 ∂∂t , 从而得到 Darwin 模 型.
ϕ
0 ,Ω
=
Ω
| ϕ | dx
2
1 2
.
定义空间
1 H0 (Ω) = {v ∈ H 1 (Ω); v = 0 在 Γ 上},
H (div; Ω) = {v ∈ (L2 (Ω))2 , ∇ · v ∈ L2 (Ω)}, H (curl; Ω) = {v ∈ (L2 (Ω))2 , ∇ × v ∈ L2 (Ω)},