华师版九年级下册数学第26章 二次函数 集训课堂 测素质 二次函数与一元一次方程
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确的是( ) A．x1＜－A1＜2＜x2B．－1＜x1＜2＜x2
C．－1＜x1＜x2＜2D．x1＜－1＜x2＜2
6 【2020·德州】二次函数y＝x2＋bx的图象如图，对称 轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2＋bx－t＝ 0(t为实数)在－1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围 是( ) A．t≥C－1 B.－1≤t＜3 C.－1≤t＜8 D．3＜t＜8
(1)若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；
解：将点 A(－3，－3)，B(1，－1)的坐标代入 y＝kx ＋b，得－k＋3kb＋＝b－＝1－，3，解得kb＝＝12－，32.
∴直线 l 的表达式为 y＝12x－32. 联立 y＝ax2＋2x－1 与 y＝12x－32， 则有 2ax2＋3x＋1＝0.
①在直线x＝1左侧，y随x的增大而增大， ∴x＝m＋2＝－1时，y有最大值－4， 则m＝－3； ②在直线x＝1右侧，y随x的增大而减小， ∴x＝m＝3时，y有最大值－4. 综上所述，m＝－3或m＝3.
(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出 a的取值范围.
解：a 的取值范围为49≤a＜98或 a≤－2.
证明：当x＝2时，m＝4a＋2b－(a＋b)＝3a＋b>0①， ∵ a ＋ b<0 ， ∴ － a － b ＞ 0 ② ， ① ② 相 加 得 ： 2a>0 ， ∴a>0.
17 (14分)在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2＋ 2x－1(a≠0)和直线l：y＝kx＋b，点A(－3，－3)，B(1， －1)均在直线l上.
12 如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y＝a(x－4)2 ＋k与y轴的交点，B是这条抛物线上的另一点，且 AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 ________. 24
13 【2021·武汉】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常 数)，a＋b＋c＝0.下列四个结论： ①若抛物线经过点(－3，0)，则b＝2a； ②若b＝c，则方程cx2＋bx＋a＝0一定有根x＝－2； ③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点； ④点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，若0<a<c，则 当x1<x2<1时，y1>y2. 其中正确的是________(填写序号).
解：当 x＝1 时，y＝a＋b－(a＋b)＝0， ∴二次函数的图象不经过点 C，把点 A(－1，4)， B(0，－1)的坐标分别代入得 4－＝1a＝－－b－（（a＋a＋b）b），，解得ab＝＝3－，2， ∴二次函数的表达式为 y＝3x2－2x－1.
(3)若a＋b<0，点P(2，m)(m>0)在该二次函数图象上，求 证：a>0.
①②④
14 (10分)已知抛物线 y＝－12x2＋bx＋c经过 点(1，0)，0，32.
(1)求该抛物线的函数表达式；
解：把点(1，0)，0，32的坐标代入 y＝－12x2＋bx＋c， 得－c＝1232＋，b＋c＝0，解得bc＝＝32－，1，则抛物线的表达式 为 y＝－12x2－x＋32.
(2)将抛物线 y＝－12x2＋bx＋c 平移，使其顶点恰好落在原点， 请写出一种平移的方法及平移后抛物线的表达式. 解：∵y＝－12x2－x＋32＝－12(x＋1)2＋2，∴将抛物线 向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度后 其顶点恰好落在原点．平移后的抛物线的表达式为 y ＝－12x2.
∴二次函数的表达式为 y＝x2－2x－3，
即 y＝(x－1)2－4.
∴函数图象的顶点坐标是(1，－4)．
(2)在原题图上，画出函数图象的其余部分； 略．
(3)利用图象写出方程ax2＋bx＋c＝0的解； (4)利x1＝用－图1象，写x2出＝不3.等式ax2＋bx＋c>0的解集.
x＜－1或x＞3.
16 (12分)【中考·杭州】设二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)(a， b是常数，a≠0).
(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由；
解：设y＝0，则ax2＋bx－(a＋b)＝0. ∵Δ＝b2－4·a[－(a＋b)]＝b2＋4ab＋4a2＝(2a＋b)2≥0， ∴方程有两个不相等的实数根或两个相等的实数根． ∴二次函数图象与x轴的交点的个数为两个或一个．
(2)若该二次函数图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1， 1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；
9 二次函数y＝x2－2x＋6有最__小____值，是___5___.
10 二次函数y＝x2－2x－3的图象如图，当y<0时，自变量 x的取值范围是___－__1_＜__x_＜__3_____.
11 如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋ bx＋c的图象的顶点坐标为A(－2，－2)，且过点B(0， 2)，则y关于x的函数表达式为____________. y＝x2＋4x＋2
华师版九年级
第26章二次函数
集训课堂
测素质
二次函数与一元一次方程
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1C 2C 3B
6C 7D 8C
答案呈现
11
16
12 24
17
13 ①②④
4C
9 小；5 14
5A
10
15
1 【中考·荆门】抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点 个数为( ) C A．0B．1C．2D．3
∵抛物线 C 与直线 l 有交点，
∴Δ＝9－8a≥0，解得
9 a≤8.
∴a 的取值范围为 a≤98且 a≠0.
(2) 当 a ＝ － 1 ， 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ 2x － 1 的 自 变 量 x 满 足 m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为－4，求m的值；
解：根据题意可得抛物线C：y＝－x2＋2x－1. ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1. 当y＝－4时，－x2＋2x－1＝－4， 解得x＝－1或x＝3.
2 【中考·上海】下列对二次函数y＝x2－x的图象的描述， 正确的是( ) C A．开口向下B．对称轴是y轴
C．经过原点D．在对称轴右侧部分是下降的
3 【中考·益阳】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如 图所示，则下列说法正确的是( ) B A．ac<0
B．b<0
C．b2－4ac<0
D．a＋b＋c<0
7 【中考·泸州】已知二次函数 y＝ax2＋2ax＋3a2＋3(其中
x 是自变量)，当 x≥2 时，y 随 x 的增大而增大，且－2≤x≤1
时，y 的最大值为 9，则 a 的值为( D )
A.1 或－2 B．－ 2或 2
C. 2
D．1
8 【2020·宜宾】函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点
(2，0)，顶点坐标为(－1，n)，其中n>0.以下结论正确的是
() ①aCbc>0；②函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x＝1和x＝－2处的 函数值相等；③函数y＝kx＋1的图象与函数y＝ax2＋bx＋ c(a≠0)的图象总有两个不同的交点；④函数y＝ax2＋bx＋ c(a≠0)在－3≤x≤3内既有最大值又有最小值. A．①③B．①②③C．①④D．②③④
… 【2021•陕西】下表中列出的是一个二次函数的自变量 x与函数y的几组对应值：
－ x… 0 1 3…
2
－－－
y …6
…
464
下列各选项中，正确的是( C ) A.这个函数的图象开口向下 B.这个函数的图象与x轴无交点 C.这个函数的最小值小于－6 D.当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
5 【中考·梧州】已知m＞0，关于x的一元二次方程(x＋ 1)(x－2)－m＝0的解为x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正
15 (12分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与y轴相交于 点(0，－3)，并经过点(－2，5)，它的对称轴是直线x ＝1，如图为函数图象的一部分.
(1)求二次函数的表达式，写出函数图象的顶点坐标；
解：根据题意，得
c4＝a－－23b，＋c＝5，解得ba＝＝－1，2，
－2ba＝1.
c＝－3.
C．－1＜x1＜x2＜2D．x1＜－1＜x2＜2
6 【2020·德州】二次函数y＝x2＋bx的图象如图，对称 轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2＋bx－t＝ 0(t为实数)在－1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围 是( ) A．t≥C－1 B.－1≤t＜3 C.－1≤t＜8 D．3＜t＜8
(1)若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；
解：将点 A(－3，－3)，B(1，－1)的坐标代入 y＝kx ＋b，得－k＋3kb＋＝b－＝1－，3，解得kb＝＝12－，32.
∴直线 l 的表达式为 y＝12x－32. 联立 y＝ax2＋2x－1 与 y＝12x－32， 则有 2ax2＋3x＋1＝0.
①在直线x＝1左侧，y随x的增大而增大， ∴x＝m＋2＝－1时，y有最大值－4， 则m＝－3； ②在直线x＝1右侧，y随x的增大而减小， ∴x＝m＝3时，y有最大值－4. 综上所述，m＝－3或m＝3.
(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出 a的取值范围.
解：a 的取值范围为49≤a＜98或 a≤－2.
证明：当x＝2时，m＝4a＋2b－(a＋b)＝3a＋b>0①， ∵ a ＋ b<0 ， ∴ － a － b ＞ 0 ② ， ① ② 相 加 得 ： 2a>0 ， ∴a>0.
17 (14分)在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2＋ 2x－1(a≠0)和直线l：y＝kx＋b，点A(－3，－3)，B(1， －1)均在直线l上.
12 如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y＝a(x－4)2 ＋k与y轴的交点，B是这条抛物线上的另一点，且 AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 ________. 24
13 【2021·武汉】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常 数)，a＋b＋c＝0.下列四个结论： ①若抛物线经过点(－3，0)，则b＝2a； ②若b＝c，则方程cx2＋bx＋a＝0一定有根x＝－2； ③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点； ④点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，若0<a<c，则 当x1<x2<1时，y1>y2. 其中正确的是________(填写序号).
解：当 x＝1 时，y＝a＋b－(a＋b)＝0， ∴二次函数的图象不经过点 C，把点 A(－1，4)， B(0，－1)的坐标分别代入得 4－＝1a＝－－b－（（a＋a＋b）b），，解得ab＝＝3－，2， ∴二次函数的表达式为 y＝3x2－2x－1.
(3)若a＋b<0，点P(2，m)(m>0)在该二次函数图象上，求 证：a>0.
①②④
14 (10分)已知抛物线 y＝－12x2＋bx＋c经过 点(1，0)，0，32.
(1)求该抛物线的函数表达式；
解：把点(1，0)，0，32的坐标代入 y＝－12x2＋bx＋c， 得－c＝1232＋，b＋c＝0，解得bc＝＝32－，1，则抛物线的表达式 为 y＝－12x2－x＋32.
(2)将抛物线 y＝－12x2＋bx＋c 平移，使其顶点恰好落在原点， 请写出一种平移的方法及平移后抛物线的表达式. 解：∵y＝－12x2－x＋32＝－12(x＋1)2＋2，∴将抛物线 向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度后 其顶点恰好落在原点．平移后的抛物线的表达式为 y ＝－12x2.
∴二次函数的表达式为 y＝x2－2x－3，
即 y＝(x－1)2－4.
∴函数图象的顶点坐标是(1，－4)．
(2)在原题图上，画出函数图象的其余部分； 略．
(3)利用图象写出方程ax2＋bx＋c＝0的解； (4)利x1＝用－图1象，写x2出＝不3.等式ax2＋bx＋c>0的解集.
x＜－1或x＞3.
16 (12分)【中考·杭州】设二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)(a， b是常数，a≠0).
(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由；
解：设y＝0，则ax2＋bx－(a＋b)＝0. ∵Δ＝b2－4·a[－(a＋b)]＝b2＋4ab＋4a2＝(2a＋b)2≥0， ∴方程有两个不相等的实数根或两个相等的实数根． ∴二次函数图象与x轴的交点的个数为两个或一个．
(2)若该二次函数图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1， 1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；
9 二次函数y＝x2－2x＋6有最__小____值，是___5___.
10 二次函数y＝x2－2x－3的图象如图，当y<0时，自变量 x的取值范围是___－__1_＜__x_＜__3_____.
11 如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋ bx＋c的图象的顶点坐标为A(－2，－2)，且过点B(0， 2)，则y关于x的函数表达式为____________. y＝x2＋4x＋2
华师版九年级
第26章二次函数
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9 小；5 14
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1 【中考·荆门】抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点 个数为( ) C A．0B．1C．2D．3
∵抛物线 C 与直线 l 有交点，
∴Δ＝9－8a≥0，解得
9 a≤8.
∴a 的取值范围为 a≤98且 a≠0.
(2) 当 a ＝ － 1 ， 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ 2x － 1 的 自 变 量 x 满 足 m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为－4，求m的值；
解：根据题意可得抛物线C：y＝－x2＋2x－1. ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1. 当y＝－4时，－x2＋2x－1＝－4， 解得x＝－1或x＝3.
2 【中考·上海】下列对二次函数y＝x2－x的图象的描述， 正确的是( ) C A．开口向下B．对称轴是y轴
C．经过原点D．在对称轴右侧部分是下降的
3 【中考·益阳】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如 图所示，则下列说法正确的是( ) B A．ac<0
B．b<0
C．b2－4ac<0
D．a＋b＋c<0
7 【中考·泸州】已知二次函数 y＝ax2＋2ax＋3a2＋3(其中
x 是自变量)，当 x≥2 时，y 随 x 的增大而增大，且－2≤x≤1
时，y 的最大值为 9，则 a 的值为( D )
A.1 或－2 B．－ 2或 2
C. 2
D．1
8 【2020·宜宾】函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点
(2，0)，顶点坐标为(－1，n)，其中n>0.以下结论正确的是
() ①aCbc>0；②函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x＝1和x＝－2处的 函数值相等；③函数y＝kx＋1的图象与函数y＝ax2＋bx＋ c(a≠0)的图象总有两个不同的交点；④函数y＝ax2＋bx＋ c(a≠0)在－3≤x≤3内既有最大值又有最小值. A．①③B．①②③C．①④D．②③④
… 【2021•陕西】下表中列出的是一个二次函数的自变量 x与函数y的几组对应值：
－ x… 0 1 3…
2
－－－
y …6
…
464
下列各选项中，正确的是( C ) A.这个函数的图象开口向下 B.这个函数的图象与x轴无交点 C.这个函数的最小值小于－6 D.当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
5 【中考·梧州】已知m＞0，关于x的一元二次方程(x＋ 1)(x－2)－m＝0的解为x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正
15 (12分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与y轴相交于 点(0，－3)，并经过点(－2，5)，它的对称轴是直线x ＝1，如图为函数图象的一部分.
(1)求二次函数的表达式，写出函数图象的顶点坐标；
解：根据题意，得
c4＝a－－23b，＋c＝5，解得ba＝＝－1，2，
－2ba＝1.
c＝－3.