2024-2025学年八年级数学上学期期中测试卷(福建专用,人教版九上第21~24章)(全解全析)

2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷
（福建专用）
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：人教版九上第21章~第24章。

5．难度系数：0.65。

第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若关于x 的一元二次方程220x x m +-=有一个根为1-，则m 的值为（ ）A ．3-B ．3C ．1-D ．1
【答案】C
【解析】解：∵关于x 的一元二次方程220x x m +-=有一个根为1-，∴()()2
1210m -+´--=，∴1m =-，故选C ．
2．抛物线()2
214y x =+-的顶点坐标是（ ）A ．()1,4B ．()1,4-C ．()1,4-D ．()
1,4--【答案】D
【解析】解：抛物线()2
214y x =+-的顶点坐标是()1,4--，故选：D ．
3．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】解：A 、该图形不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不合题意；B 、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；C 、该图形不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不合题意；D 、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意，故选：B ．
4．下列函数是二次函数的是（ ）A ．2y ax bx c =++ B ．2
13y x =
-C ．(1)y x x =+ D ．22(4)y x x =+-
【答案】C
【解析】解：A ．当0a =时2y ax bx c =++不是二次函数，故本选项不符合题意；B ．函数21
3y x
=
-，分母中含有x ，故本选项不符合题意；C ．函数2(1)y x x x x =+=+，是二次函数，故本选项符合题意；D ．函数2216(84)y x x x +=+=-，是一次函数，故本选项不符合题意．故选：C ．
5．方程()()310x x -+=的解是（ ）A ．123,1x x ==B ．123,1x x =-=C ．123,1x x ==-D ．123,1
x x =-=-【答案】C
【解析】解：()()310x x -+=，30x -=或10x +=，123,1x x ==-，
故选：C ．
6．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】B
【解析】解：设正多边形的边数为n ．由题意可得：
360n
°
＝72°，∴n ＝5，故选：B ．7．已知坐标原点为O ，点()21A ，
，将OA 绕原点O 顺时针旋转90°后A ¢的坐标是（ ）
A ．()21-，
B ．()21-，
C ．()12-，
D ．()12-，
【答案】C
【解析】解：过A 作AC y ^轴于C ，过A ¢作D y A ¢^轴于D ．
∵9090AOA ACO ¢Ð=°Ð=°，，
∴9090AOC A OD A AOC ¢Ð+Ð=°Ð+Ð=°，，∴A A OD ¢Ð=Ð，
在ACO △和ODA ¢V 中，∵OAC ODA CAO A OD OA OA Ð=Ðìï
Ð=Т=¢í¢
ïî
，∴()ACO ODA AAS ¢≌V V ，
12A D OC OD CA ¢\====，，∴A ¢的坐标是()12-，
．故选：C ．
8．如图，已知AB 是O e 的直径，C ，D ，E 是O e 上的三个点，相等的是（ ）
A ．C Ð和D Ð
B ．DAB Ð和CAB Ð
C ．C Ð和EBA Ð
D ．DAB Ð和DBE
Ð【答案】A
【解析】解：∵AB 是O e 的直径，∴90E C D Ð=Ð=Ð=°，故A 正确；∵ DB
和 BC 不一定相等，∴DAB Ð和CAB Ð不一定相等，故B 错误；∵ AB AE ¹，∴C EBA йÐ，故C
错误；
∵ DB
和 DE 不一定相等，∴DAB Ð和DBE Ð不一定相等，故D 错误．故选：A ．9．如图，抛物线213
22
y x x =
--的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，以AB 为直径在x 轴上方画半圆交y 轴于点E ，圆心为I ，P 是半圆上一动点，连接DP ，点Q 为PD 的中点．下列四种说法：
①点C 在I e 上；②IQ PD ^；
③当点P 沿半圆从点B 运动至点A 时，点Q 运动的路径长为p ；④线段BQ 的长可以是3.2．其中正确说法的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】A
【解析】解：抛物线213
22
y x x =
--的图象与坐标轴交于点A ，B ，C ，∴()()31,0,3,0,0,2A B C æ
ö-ç÷è
ø﹣，∴点()1,0I ，I e 的半径为2，∵()2
213112222
y x x x =
--=--，∴顶点D 的坐标为：()1,2D -，∴2ID =，∴点D 在I e 上．
①2IC ==¹，故点C 不在I e 上，故①不正确；
②∵圆心为I ，P 是半圆上一动点，点D 在I e 上，点Q 为PD 的中点．∴IQ PD ^或者I ，Q 两点重合，故②错误；
③图中实点G 、Q 、I 、F 是点N 运动中所处的位置，
则GF 是等腰直角三角形的中位线， 2
2,1
AB G ID F ==
交GF 于点R ，则四边形GDFI 为正方形，当点P 在半圆任意位置时，中点为Q ，连接IQ ，则IQ PD ^，连接QR ，则11
122
QR ID IR RD RG R GF F =
======，则点Q 的运动轨迹为以R 为圆心的半圆，则Q 运动的路径长21
2
r p p ´==，故③正确；
④由③得，当点Q 运动到点G 的位置时，BQ 3.2=<，∴线段BQ 的长不可以是3.2，故④不正确．故正确说法有：③．故选：A ．
10．已知抛物线()2
0y ax bx c a =++¹与x 轴的交点为()0A 1，和()30B ，，点()111P x y ，，()222P x y ，是抛物线
上不同于A B ，的两个点，记1P AB △的面积为1S ，2P AB △的面积为2S ，则下列结论正确的是（ ）A ．当122x x >+时，12
S S >B ．当122x x <-时，12
S S <C ．当12221x x ->->时，12S S >D ．当12221x x ->+>时，12
S S <【答案】C
【解析】解：不妨假设0a >，如图，1P 、2P 满足 122x x >+，
12PP AB Q ∥，12S S \=，故A 错误；
当12x =-，21x =-时，满足122x x <-，则12S S >，故B 错误；
12221x x ->->Q ，\1P 、2P 在x 轴的上方，且1P 离x 轴的距离比2P 离x 轴的距离大，12S S \>，故C 正确；
如图，1P 、2P 满足12221x x ->+>，但12S S =，故D 错误，不符合题意；
故选：C ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填写在横线上.
11．某印刷厂1月份印刷了书籍50万册，第一季度共印175万册，设2月份、3月份平均增长率为x ，根
据题意方程可列为
．
【答案】()()2
50501501175
x x ++++=【解析】解：设2月份、3月份平均增长率为x ，那么2，3月份的印刷书籍分别是()()2
501501x x ++、
，根据题意，可得()()2
50501501175x x ++++=．故答案为：()()2
50501501175x x ++++=．
12．将抛物线243y x x =-+向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的新抛物线的解析式为
．
【答案】222
y x x -=+【解析】解：抛物线2243(2)1y x x x =-+=--，将其向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，新抛物线的解析式是：222(21)12(1)122y x x x x =-+-+=-+=-+．故答案是：222y x x -=+．
13．如图，将一块直角三角尺AOB 绕直角顶点O 按顺时针方向旋转()0180a a <<度后得到COD △，若
118AOD Ð=°，则旋转角a =
°．
【答案】28
【解析】解：COD QV 是AOB V 绕直角顶点O 按顺时针方向旋转()0180a a <<度后所得，
AOC a \Ð=°，
Q 90AOB Ð=°，90COD AOB \Ð=Ð=°，
又118AOD Ð=°Q ，1189028AOC AOD COD \Ð=Ð-Ð=°-°=°，28a \=，故答案为：28．
14．如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，点O 为对角线交点，以各边中点为圆心，1cm 为半径依次作
3
4
圆，连接点O 和BC 的中点E ，则图中阴影部分的面积为
．
【答案】2
11cm
4p æö-ç÷èø
【解析】解：过点O 作OF AB ^交AB 于点F ，如图所示：
∵E 是BC 的中点，且四边形ABCD 是正方形，∴OE BC ^，∵OF AB ^，∴四边形FBEO 是正方形，
那么图中阴影部分的面积为：()
22
11111S S S 2211cm 44444
F F FBEO p p --=´´-´=-e 圆正方形，
故答案为：2
11cm
4p æö-ç÷èø
15．如图所示，一段抛物线：(3)(03)y x x x =--££，记为1C ，它与x 轴交于点1,O A ；将1C 绕点1A 旋转180°
得2C ，交x 轴于点2A ；将2C 绕点2A 旋转180°得3C ，交x 轴于点3;A L 如此进行下去，直至得22C ，若(65,)P n 在第22段抛物线22C 上，则n =
．
【答案】2
-【解析】解：∵一段抛物线1:(3)(03)C y x x x =--££与x 轴交于点1,O A ，∴图象与x 轴交点坐标为：1(0,0),(3,0)O A ，
∵将1C ，绕点1A 旋转180°得2C ，交x 轴于点2A ，∴2(6,0)A ；∴2C 的解析式为(3)(6)(36)y x x x =--££，
∵将2C 绕点2A 旋转180°得3C x 轴于点3A ，∴3()9,0A ；∴3C 的解析式为(6)(9)(69)y x x x =---££，
∴n C 的解析式为(1)(33)(3)(333)n y x n x n n x n =--+--££，∴22C 的解析式为(63)(66)(6366)y x x x =--££，当65x =时，(6563)(6566)2n =-´-=-．故答案为：2-．
16．如图，在O e 中，AB CD ，是相交的两条弦，点E 为交点，且AC AE =．
现给出以下四个结论：
BD DE =①；
②若AC BD ∥，则ACE △是等边三角形；③若CE DE =，则AB CD ^；
④在弦AB 上截取AP BD =，若AC CD =，则CPB ADC Ð=Ð；
其中正确的是 ．（只填正确的序号）
【答案】①②④
【解析】解：AC CE =Q ，ACE AEC \Ð=Ð，
DEB AEC Ð=ÐQ ，ACE ABD Ð=Ð，DEB EBD \Ð=Ð，
BD DE \=，故①正确，符合题意；
AC BD Q P ，CAB ABD \Ð=Ð，CAB ACE AEC \Ð=Ð=Ð，180CAB ACE AEC Ð+Ð+Ð=°Q ，60CAB ACE AEC \Ð=Ð=Ð=°，
ACE \V 是等边三角形，故②正确，符合题意；
若CE DE =，当AB 为直径时，可得AB CD ^，故③错误，不符合题意；如图，连接CP ，
在CDB △和CAP V 中，CA CD
CAP CDB AP DB =ìï
Ð=Ðíï=î，
()SAS CDB CAP \V V ≌，DCB ACP \Ð=Ð， BD
BD =Q ，DAB DCB \Ð=Ð，ACP DAB \Ð=Ð，CPB CAD \Ð=Ð，
AC CD =Q ，ADC CAD \Ð=Ð
，
CPB ADC \Ð=Ð，故④正确，符合题意.
综上所述，正确的有①②④，故答案为：①②④．
三、解答题：本题共9小题，共86分。

其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分,25题14分。

17．（本题满分8分）解一元二次方程：
(1)24100x x +-=；(2)()()233x x x ++=+.
【解析】（1）解：24100x x +-=，移项得2410x x +=，……1分
配方得244104x x ++=+，即()2
214x +=，……2分
开方得2x +=……3分
∴12x =-22x =-分（2）解：()()233x x x ++=+，
移项，得()()()2330x x x ++-+=，……5分∴()()3210x x éù++-=ëû，……6分∴30x +=或()210x +-=，……7分∴13x =-，21x =-．……8分
18．（本题满分8分）如图，将ABC V 绕点A 逆时针旋转得到ADE V ，点C 和点E 是对应点，若
90,CAE AB Ð=°=BD 的长．
【解析】解：∵将ABC V 绕点A 逆时针旋转得到ADE V ，点C 和点E 是对应点，……2分
∴AB AD ==90BAD CAE Ð=Ð=°，……6分
BD \==……8分
19．（本题满分8分）已知二次函数243y x x =-+的大致图象如图：
(1)求该二次函数与x 轴的交点坐标和顶点坐标；
(2)结合（1）的结论及该二次函数的图象，直接写出当0y >时，x 的取值范围．
【解析】（1）当0y =时，2430x x -+=，解得1213x x ==，，……2分
所以该二次函数与x 轴的交点坐标为()()1030，
,，；……3分因为()2
224344121y x x x x x =-+=-+-=--，……4分
所以抛物线的顶点坐标为()21-，；……5分（2）由图象可知，当0y >时，x 的取值范围是1x <或3x >．……8分
20．（本题满分8分）我县交警大队在全县范围内持续开展道路交通安全综合整治“百日会战”，对骑乘电动
自行车、摩托车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某经销商购进一种头盔，进货单价为30元．当销售单价为40元时，600个，在此基础上销售单价每提高1元，月销售量将减少10个．该经销商为使销售该头盔的月利润达到10000元，并且尽可能减少库存，则应将该品牌头盔的实际销售单价定为多少元？说明你的理由．
【解析】解：设该品牌头盔的实际售价每个应定为x 元，根据题意，得
()()30600104010000x x ---=éùëû，……2分
解得150x =，280x =．……4分
当50x =时，()()6001040600105040500x --=--=；……5分
当80x =时，()()6001040600108040200x --=--=．……6分
∵500200＞，
∴为了尽可能减少库存，只取50x =．……7分
答：该品牌头盔的实际售价每个应定为50元．……8分
21．（本题满分8分）如图，在Rt ABC △中，90C Ð=°，以BC 为直径的O e 交AB 于点D ，切线DE 交AC
于点E ．
(1)求证：AE DE =；
(2)若8AD =，5DE =，求BC 的长．
【解析】（1）证明：如图，连接OD ，
∵DE 是切线，∴90ODE Ð=°，
∴90ADE BDO Ð+Ð=°，……1分
∵90ACB Ð=°，∴A B ÐÐ=°+90，……2分
∵OD OB =，∴B BDO Ð=Ð，……3分
∴ADE A Ð=Ð，∴AE DE =．……4分
（2）解：如图，连接CD ．
∵ADE A Ð=Ð，∴AE DE =，……5分
∵BC 是O e 的直径，90ACB Ð=°，∴EC 是O e 的切线，
∴ED EC =，∴AE EC =，……6分
∵5DE =，∴210AC DE ==，
在Rt ADC V 中，222DC AC AD =-，∴6DC =，……7分
设BD x =，在Rt BDC V 中，2226BC x =+，
在Rt ABC △中，()222810BC x =+-，∴()22226810x x +=+-，解得92
x =
，
∴152BC ==．……8分22．（本题满分10分）如图，在Rt ABC △中，90C Ð=°，3BC =．
(1)尺规作图：将ABC V 绕点A 顺时针旋转得到AB C ¢¢△，并使点C ¢落在边AB 上．（要求：不写作法，保留作图痕迹）．
(2)连接B B ¢，若4AC =，求B B ¢的长．
【解析】（1）解：如图所示，AB C ¢¢△即为所求；
……3分
（2）解：如图所示，
∵在Rt ABC △中，90C Ð=°，3BC =，4AC =，
∴5AB ==，……5分
∵ABC V 绕点A 顺时针旋转得到AB C ¢¢△，
∴4AC AC ¢==，3B C BC ¢¢==，……7分
∴18090BC B AC B ¢¢¢¢Ð=°-Ð=°，541BC AB AC ¢¢=-=-=，……8分
在Rt BC B ¢¢△中，由勾股定理得BB ===¢．……10分
23．（本题满分10分）高尔夫球是一项具有特殊魅力的运动，它能让人们在优美的环境中锻炼身体、陶治
情操、修身养性、交流技巧，同时也被誉为“时尚优雅的运动”．如图，以40m /s 的速度将高尔夫球沿与地面成30o 角的方向击出时，高尔夫球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，高尔夫球飞行时离地面的高度y （单位：m ）与飞行的时间x （单位：s ）之间具有函数关系：2520y x x =-+．
该二次函数图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表；x
01234y 0a
20150
(1)写出a 的值________，并画出函数图象；
(2)当飞行时间x =________s 时，高尔夫球高度达到最高；
(3)求高尔夫球飞行高度为15m 时所用的时间．
【解析】（1）解：当1x =时，25120115a =-´+´=，
故答案为：15；……2分
图象如图所示：
……4分
（2）解：()
202225b a -=-=´-Q ，\2x =时，高尔夫球高度达到最高，……6分故答案为：2．
（3）解：当15y =时，可得252015x x -+=……7分
11x \=，23x =……9分
答：高尔夫球飞行高度为15m 时所用的时间是1秒或3秒．……10分
24．（本题满分12分）如图1，在ABC V 中，D 在边AC 上，圆O 为锐角BCD △的外接圆，连接CO 并延长
交AB 于点E ，设DBC a Ð=．
(1)若60a =°，求DCE Ð的度数；
(2)如图2，作BF AC ^，垂足为F ，BF 与CE 交于点G ，已知ABD CBF Ð=Ð．
①求证：EB EG =；
②若58CE AC ==，，求FG FB 的值．
【解析】（1）如图，连接OD ，
∵22DOC DBC a Ð=Ð=，
又∵OD OC =，∴()11802902
DCE a a Ð=°-=°-，……2分∵60a =°，∴9030DCE Ð=°-a =°；……3分
（2）①证明：∵ABD CBF Ð=Ð，
∴EBG ABD DBF CBF DBF DBC Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，……4分
设DBC a Ð=，则EBG DBC Ð=Ð=a ，由（1）得：90DCE a Ð=°-，
∵BF AC ^，∴FGC BGE a Ð=Ð=，
∴EBG EGB Ð=Ð，∴EB EG =.……5分
②解：如图，作EM BF ^于点M ，EN AC ^于点N ，
由①得：90EBG ACE Ð=a Ð=°-a ，，
∵BF AC ^，∴90A a Ð=°-，
∴90A ACE a Ð==°-∠，∴5CE ==，……6分
∵8EN AC AC ^=，，∴4CN =，……7分
∴由勾股定理得3EN =，……8分
∵EM BF NF BF EN AC ^^^，，，
∴四边形EMFN 为矩形，∴3EN MF ==，……9分
∵EB EG EM BG =^，，∴BM GM =，……10分
∴26FG FB FM MG FM BM FM +=-++==．……12分
25．（本题满分14分）矩形AOCD 中，把点D 沿AE 对折，使点D 落在OC 上的F 点，已知8AO =，
10AD =．
(1)求F 点的坐标；
(2)如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛物线仅有一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线过点O F ，，且直线636y x =-是该抛物线的切线，求抛物线的解析式；
(3)直线35(3)4y k x =--与（2）中的抛物线交于P Q ，两点，点B 的坐标为353,4æö-ç÷è
ø．求证： 11PB QB +为定值（参考公式：在平面直角坐标系中，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，则M ，N 两点之间的距离为
MN =）．
【解析】（1）解：由折叠的性质得ADE AFE V V ≌，则 .
AF AD =
又10,8,AD AO ==∵6OF ===，
∴()6,0F ．……2分
（2）解：依题意可设过点O F 、的抛物线解析式为()()06y a x x =--，即()()60y ax x a =-¹，如图，
依题意知，抛物线与直线636y x =-相切，()6,636y ax x y x ì=-\í=-î
……4分()266360ax a x \-++=有两个相等的实数根，
()2
Δ664360a a éù\=-+-´=ëû……5分解得1,
a =∴抛物线的解析式为26y x x =-．……6分
（3）证明： 设 ()()1122,,,,
P x y Q x y
假设 123,3x x ><，依题意得()2353,46y k x y x x
ì=--ïíï=-î得()235630,4
x k x k -+++=……8分126,x x k +=+∴123534
x x k ×=+，……9分
11PB QB +=Q
=
分121133x x ö=
+÷--ø……11分
=分=分……14分。