沽源县第一中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

沽源县第一中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图，已知双曲线
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|=4，P 是双曲线右支上一点，
直线PF 2交y 轴于点A ，△AF 1P 的内切圆切边PF 1于点Q ，若|PQ|=1，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．y=±x
B ．y=±3x
C ．y=±x
D ．y=±x
2． 过点),2(a M -，)4,(a N 的直线的斜率为2
1
-，则=||MN （ ） A ．10 B ．180 C ．36 D ．56
3． 函数
的零点所在区间为（ ）
A ．（3，4）
B ．（2，3）
C ．（1，2）
D ．（0，1）
4． 集合{}1,2,3的真子集共有（ ）
A ．个
B ．个
C ．个
D ．个 5． 设偶函数f （x ）满足f （x ）=2x ﹣4（x ≥0），则{x|f （x ﹣2）＜0}=（ ） A ．{x|x ＜﹣2或x ＞4} B ．{x|x ＜0或x ＞4} C ．{x|x ＜0或x ＞6} D ．{x|0＜x ＜4}
6． 设0＜a ＜1，实数x ，y 满足，则y 关于x 的函数的图象形状大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为12π，则该几何体的体积是（ ）
A ．4π
B ．12π
C ．16π
D ．48π
8． 若函数y=a x ﹣（b+1）（a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限，则有（ ） A ．a ＞1且b ＜1 B ．a ＞1且b ＞0 C ．0＜a ＜1且b ＞0 D ．0＜a ＜1且b ＜0
9． 经过点()1,1M 且在两轴上截距相等的直线是（ ） A ．20x y +-= B ．10x y +-=
C ．1x =或1y =
D ．20x y +-=或0x y -=
10．已知等比数列{a n }的第5项是二项式（x+）4展开式的常数项，则a 3•a 7（ ） A ．5 B ．18
C ．24
D ．36
11．将函数)63sin(
2)(π+=x x f 的图象向左平移4
π
个单位，再向上平移3个单位，得到函数)(x g 的图象， 则)(x g 的解析式为（ ）
A ．3)43sin(
2)(--=πx x g B ．3)43sin(2)(++=π
x x g C ．3)123sin(2)(+-=πx x g D ．3)12
3sin(2)(--=π
x x g
【命题意图】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度.
12．一个椭圆的半焦距为2，离心率e=，则它的短轴长是（ ）
A ．3
B ．
C ．2
D ．6
13．过抛物线2
2(0)y px p =>焦点F 的直线与双曲线2
2
18
-=y x 的一条渐近线平行，并交其抛物线于A 、 B 两点，若>AF BF ，且||3AF =，则抛物线方程为（ ）
A ．2
y x = B ．2
2y x = C ．24y x = D ．2
3y x =
【命题意图】本题考查抛物线方程、抛物线定义、双曲线标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查方程思想和运算能力．
14．设α、β是两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，命题p ：若平面α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；命题q ：l ∥α，m ⊥l ，m ⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p 或q
B ．p 且q
C ．￢p 或q
D ．p 且￢q
15．已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B．{x|﹣1＜x＜﹣lg2}
C．{x|x＞﹣lg2} D．{x|x＜﹣lg2}
二、填空题
16．已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且满足对任意的实数x都有f[f（x）﹣2x]=6，则f（x）+f（﹣x）的最小值等于．
17．若命题“∃x∈R，x2﹣2x+m≤0”是假命题，则m的取值范围是．
18．函数
1
()lg(1)
1
f x x
x
=++
-
的定义域是▲．
19．若函数f（x）=﹣m在x=1处取得极值，则实数m的值是．
三、解答题
20．（本题满分12分）如图1在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，D，E分别是AC，BC边上的中点，M为CD的中点，现将△CDE沿DE折起，使点A在平面CDE内的射影恰好为M．
（I）求AM的长；
（Ⅱ）求面DCE与面BCE夹角的余弦值．
21．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边
长的概率为（ ） A
B
C D
22．（本小题满分12分）
已知直三棱柱111C B A ABC -中，上底面是斜边为AC 的直角三角形，F E 、分别是11AC B A 、的中点.
（1）求证：//EF 平面ABC ； （2）求证：平面⊥AEF 平面B B AA 11.
23．（本小题满分12分）
两个人在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中 放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设,,x y z 分别表示甲，乙，丙3个 盒中的球数.
（1）求0x =，1y =，2z =的概率；
（2）记x y ξ=+，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.
【命题意图】本题考查频离散型随机变量及其分布列等基础知识，意在考查学生的统计思想和基本的运算能力．
24．（本小题满分10分）已知函数f （x ）＝|x －a |＋|x ＋b |，（a ≥0，b ≥0）． （1）求f （x ）的最小值，并求取最小值时x 的范围； （2）若f （x ）的最小值为2，求证：f （x ）≥a ＋b .
25．已知函数()x
f x e x a =-+，2
1()x g x x a e
=++，a R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x <成立，求的取值范围； （3）设1x ，2x 是函数()f x 的两个不同零点，求证：12
1x x e +<．
沽源县第一中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：设内切圆与AP切于点M，与AF1切于点N，
|PF1|=m，|QF1|=n，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即有m﹣（n﹣1）=2a，①
由切线的性质可得|AM|=|AN|，|NF1|=|QF1|=n，|MP|=|PQ|=1，
|MF2|=|NF1|=n，
即有m﹣1=n，②
由①②解得a=1，
由|F1F2|=4，则c=2，
b==，
由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，
即有渐近线方程为y=x．
故选D．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查切线的性质，运用对称性和双曲线的定义是解题的关键．
2．【答案】D
【解析】
考点：1.斜率；2.两点间距离.
3．【答案】B
【解析】解：函数的定义域为（0，+∞），易知函数在（0，+∞）上单调递增，
∵f（2）=log32﹣1＜0，f（3）=log33﹣＞0，
∴函数f（x）的零点一定在区间（2，3），
故选：B．
【点评】本题考查函数的单调性，考查零点存在定理，属于基础题．
4．【答案】C
【解析】
考点：真子集的概念.
5．【答案】D
【解析】解：∵偶函数f（x）=2x﹣4（x≥0），故它的图象
关于y轴对称，
且图象经过点（﹣2，0）、（0，﹣3），（2，0），
故f（x﹣2）的图象是把f（x）的图象向右平移2个
单位得到的，
故f（x﹣2）的图象经过点（0，0）、（2，﹣3），（4，0），
则由f（x﹣2）＜0，可得0＜x＜4，
故选：D．
【点评】本题主要考查指数不等式的解法，函数的图象的平移规律，属于中档题．6．【答案】A
【解析】解：0＜a＜1，实数x，y满足，即y=，故函数y为偶函数，它的图象关于y
轴对称，
在（0，+∞）上单调递增，且函数的图象经过点（0，1），
故选：A．
【点评】本题主要指数式与对数式的互化，函数的奇偶性、单调性以及特殊点，属于中档题．
7．【答案】B
【解析】解：由三视图可知几何体是底面半径为2的圆柱，
∴几何体的侧面积为2π×2×h=12π，解得h=3，
∴几何体的体积V=π×22×3=12π．
故选B．
【点评】本题考查了圆柱的三视图，结构特征，体积，表面积计算，属于基础题．
8．【答案】B
【解析】解：∵函数y=a x﹣（b+1）（a＞0，a≠1）的图象在第一、三、四象限，
∴根据图象的性质可得：a＞1，a0﹣b﹣1＜0，
即a＞1，b＞0，
故选：B
9．【答案】D
【解析】
考点：直线的方程.
10．【答案】D
【解析】解：二项式（x+）4展开式的通项公式为T r+1=•x4﹣2r，
令4﹣2r=0，解得r=2，∴展开式的常数项为6=a5，
∴a3a7=a52=36，
故选：D．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
11．【答案】B
【解析】根据三角函数图象的平移变换理论可得，将)(x f 的图象向左平移4
π个单位得到函数)4(π
+x f 的图
象，再将)4(π+x f 的图象向上平移3个单位得到函数3)4(++πx f 的图象，因此=)(x g 3)4
(++π
x f
3)4
3sin(23]6)4(31sin[2++=+++=π
ππx x .
12．【答案】C
【解析】解：∵椭圆的半焦距为2，离心率
e=，
∴c=2，a=3，
∴
b= ∴
2b=2
．
故选：C ．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．属基础题．
13．【答案】C
【解析】
由已知得双曲线的一条渐近线方程为=y ，设00(,)A x y ，则02>p x
，所以0
002
002322ì=ï
ï-ïïïï
+=íï
ï=ïïïïî
y p x p x y px ，
解得2=p 或4=p ，因为322
->p p
，故03p <<，故2=p ，所以抛物线方程为24y x =． 14．【答案】 C
【解析】解：在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中
命题p ：平面AC 为平面α，平面A 1C 1为平面β，直线A 1D 1，和直线AB 分别是直线m ，l ，
显然满足α∥β，l ⊂α，m ⊂β，而m 与l 异面，故命题p 不正确；﹣p 正确；
命题q ：平面AC 为平面α，平面A 1C 1为平面β，
直线A 1D 1，和直线AB 分别是直线m ，l ， 显然满足l ∥α，m ⊥l ，m ⊂β，而α∥β，故命题q 不正确；﹣q 正确；
故选C ．
【点评】此题是个基础题．考查面面平行的判定和性质定理，要说明一个命题不正确，只需举一个反例即可，否则给出证明；考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．
15．【答案】D
【解析】解：由题意可知f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，
故可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，
由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10x＞﹣1，
而10x＜可化为10x＜，即10x＜10﹣lg2，
由指数函数的单调性可知：x＜﹣lg2
故选：D
二、填空题
16．【答案】6．
【解析】解：根据题意可知：f（x）﹣2x是一个固定的数，记为a，则f（a）=6，
∴f（x）﹣2x=a，即f（x）=a+2x，
∴当x=a时，
又∵a+2a=6，∴a=2，
∴f（x）=2+2x，
∴f（x）+f（﹣x）=2+2x+2+2﹣x=2x+2﹣x+4
≥2+4=6，当且仅当x=0时成立，
∴f（x）+f（﹣x）的最小值等于6，
故答案为：6．
【点评】本题考查函数的最值，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
17．【答案】m＞1．
【解析】解：若命题“∃x ∈R ，x 2
﹣2x+m ≤0”是假命题，
则命题“∀x ∈R ，x 2
﹣2x+m ＞0”是真命题，
即判别式△=4﹣4m ＜0， 解得m ＞1，
故答案为：m ＞1
18．【答案】()()1,11,-⋃+∞
考点：定义域 19．【答案】
﹣2
【解析】解：函数f （x ）=﹣m 的导数为f ′（x ）=mx 2
+2x ，
由函数f （x ）=﹣m 在x=1处取得极值，
即有f ′（1）=0，
即m+2=0，解得m=﹣2，
即有f ′（x ）=﹣2x 2
+2x=﹣2（x ﹣1）x ，
可得x=1处附近导数左正右负，为极大值点．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查导数的运用：求极值，主要考查由极值点求参数的方法，属于基础题．
三、解答题
20．【答案】解：（I ）由已知可得AM ⊥CD ，又M 为CD 的中点， ∴
； 3分
（II ）在平面ABED 内，过AD 的中点O 作AD 的垂线OF ，交BE 于F 点， 以OA 为x 轴，OF 为y 轴，OC 为z 轴建立坐标系， 可得
，
∴
，
，5分
设
为面BCE 的法向量，由
可得=（1，2，﹣
），
∴cos ＜，
＞=
=
，∴面DCE 与面BCE 夹角的余弦值为
4分
21．【答案】C
【解析】
22．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【
解
析
】
试
题解析：证明：（1）连接C A 1，∵直三棱柱111C B A ABC -中，四边形C C AA 11是矩形， 故点F 在C A 1上，且F 为C A 1的中点，
在BC A 1∆中，∵F E 、分别是11AC B A 、的中点，∴BC EF //. 又⊄EF 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，∴//EF 平面ABC .
考点：1.线面平行的判定定理；2.面面垂直的判定定理. 23．【答案】
【解析】（1）由0x =，1y =，2z =知，甲、乙、丙3个盒中的球数分别为0，1，2，
此时的概率2
13111324
P C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭.
（4分）
24．【答案】
【解析】解：（1）由|x－a|＋|x＋b|≥|（x－a）－（x＋b）|
＝|a＋b|得，
当且仅当（x－a）（x＋b）≤0，即－b≤x≤a时，f（x）取得最小值，∴当x∈[－b，a]时，f（x）min＝|a＋b|＝a＋b.
（2）证明：由（1）知a＋b＝2，
（a＋b）2＝a＋b＋2ab≤2（a＋b）＝4，
∴a＋b≤2，
∴f（x）≥a＋b＝2≥a＋b，
即f （x ）≥a ＋b .
25．【答案】（１）()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞；（２）1a >或0a <；（３）证明见解析． 【解析】
试
题解析： （1）'()1x f x e =-．
令'()0f x >，得0x >，则()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；] 令'()0f x <，得0x <，则()f x 的单调递减区间为(,0)-∞． （2）记()()()F x f x g x =-，则2
1()2x
x F x e x a a e
=-
-+-， 1
'()2x x
F x e e =+
-．
∵1220x x e e +-≥=，∴'()0F x ≥， ∴函数()F x 为(上的增函数， ∴当[]0,2x ∈时，()F x 的最小值为2
(0)F a a =-． ∵存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x <成立，
∴()F x 的最小值小于0，即2
0a a -<，解得1a >或0a <．1
（3）由（1）知，0x =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点，即最小值为(0)1f a =+， 则只有1a <-时，函数()f x 由两个零点，不妨设12x x <， 易知10x <，20x >，
∴1222()()()()f x f x f x f x -=--22
22()()x
x e x a e x a -=-+-++2222x x e e x -=--，
令()2x
x
h x e e
x -=--（0x ≥），
考点：导数与函数的单调性；转化与化归思想．。