高考数学论文模拟试题数列压轴题谈谈高考命题趋势 论文

智才艺州攀枝花市创界学校从2021
年各地高考模拟试题数列
2021年高考已经完毕，2021届的高考的号角即将吹响，很多考生一头埋进全国高考试题里去研究，我们不妨停下脚步，从各地的模拟试题当中掘金呢。

模拟试题是各大名师或者学科带头人的智慧的结晶，那我就从2021年各地模拟试题谈谈自己的看法吧。

将数列
{}n a 中的所有项按第一行排3项，以下每一行比上一行多一项的规那么排成如下数表：
……
记表中的第一列数1a ，4a ，8a ，…，构成数列{}n b ．
〔Ⅰ〕设m a b =8
，求m 的值；
〔Ⅱ〕假设11
=b ，
对于任何*∈N n ，都有0>n b ，且0)1(12
21=+-+++n n n n b b nb b n ．求数列{}n b 的通项公式； 〔Ⅲ〕对于〔Ⅱ〕中的数列
{}n b ，假设上表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为)0(>q q 的等
比数列，且5
266
=
a ，求上表中第k 〔*
∈N k 〕行所有项的和)(k S ． [解]〔Ⅰ〕由题意，4319876543=+++++++=m
〔Ⅱ〕由0)1(12
2
1
=+-+++n n n n b b nb b n ，0>n b
令n
n a a t 1
+=
得0>t
，且0)1(2=-++n t t n
即0])1)[(1(=-++n t n t ，
所以
1
1+=+n n
b b n n 因此
2112=b b ，3223=b b ，．．．，n
n b b n n 11-=-
将各式相乘得n
b n
1=
〔Ⅲ〕设上表中每行的公比都为q ，且0q >．因为6311543=+⋅⋅⋅+++，
所以表中第1行至第9行一共含有数列
{}n b 的前63项，故66a 在表中第10行第三列，
因此5221066
=
⋅=q b a ．又10
110=b ，所以2q =．那么)12(11)1()(2
2-=--=++k k k k
q q b k S ．*∈N k
【考虑】第二问中为什么不用数学归纳法呢，我们姑且先猜猜。

由11
=b 且0)1(1221=+-+++n n n n b b nb b n 知
012222=-+b b ，02>b ，21
2=
∴b 012323=-+b b ，03>b ，2
1
3=∴b
因此，可猜测n
b n 1=〔*
∈N n 〕
将n b n 1=，1
11+=+n b n 代入原式左端得
左端11+=
n n 1-0)
1(1
=++n n 即原式成立，故n
b n
1
=
为数列的通项． 『经历探究』看到第二问中比较复杂的式子，我们应该想想，是不是可以先猜猜他的结果，假设猜中了，但是不会做，我还可以得一分，高考有时一分就决定一个人命运呀。

假设猜出结果，想想数学归纳法，因为答案上有很多方法很妙的，在考场中很难想到，我们换种思维，就能寻找解题的捷径。

很多出题人很喜欢在压轴题中混合上很多的知识点，而且混合上的每一个知识点都有些难度。

向量与数列的综合再也普通不过了，但是最后一问来点数论的知识，题目档次就上去了，让我们来看看202长宁区的一道题目。

设x 轴、
y 轴正方向上的单位向量分别是→
i
、
→
j ，坐标平面上点列n A 、)(*∈N n B n
分别满足以下两个条件：①→
→
=j OA 1且→
→
→
++=j i A A n n 1；②→
→
=i
OB 31
且→→
+⨯=i B B n
n n 3)3
2(1
.
〔1〕求→2OA 及→
3OA 的坐标，并证明点n A 在直线1+=x y 上；
〔2〕假设四边形
11++n n n n A B B A 的面积是n a ，求)(*∈N n a n 的表达式；
〔3〕对于〔2〕中的n a ，是否存在最小的自然数M ，对一切*
∈N n 都有M a n
<
成立？假设存在，求M ；假设不存在，说明理由．
解
)
2,1(2)(2112=+=++=+=→
→→→→→→→j i j i j A A OA OA ，
)3,2(32)(23223=+=+++=+=→
→
→
→
→
→
→
→
→
j i j i j i A A OA OA
所以
)
,1(n n A n -，它满足直线方程
1+=x y ，因此点n
A 在直线
1+=x y 上。

〔2〕。

设直线
1+=x y 交x 轴于)0,1(-P ，
那么
，
等
即在数列
中，27
16
554
+
==a a 是数列的最大项， 所以存在最小的自然数，对一切
都有
＜M 成立.
[考虑]这道题目其实难度不大，但是许多考生容易做懵，为什么呢，没耐心呗。

当时我在监考的时候，我发现考场很多考生这道题目空在那儿，倒把下面一道比较难的解析几何题目解出来了，后来我问这个学生原因，学生说太烦了，而且弄不好就错，与其花那么多力气做错一题，不如先做下面一题。

我可以明确的告诉每位考生，高考繁琐的计算，易错的陷阱题肯定有的，平时训练就要耐心做下去。

数列中对奇偶数的讨论往往是压轴题目的难点所在，略微有些错误就会前功尽弃，下面看看202崇明县的模拟试题：
数列{}n a 中的相邻两项12-k a ,k a 2〔 3,2,1=k 〕是关于x 的方程
02)12()224(12=⨯++++-+k k k x k x 的两个根，且12-k a ≤k a 2( ,3,2,1=k ).
〔1〕求4321,,,a a a a 的值； 〔2〕求数列{}n a 的通项n a ； 〔3〕求数列{}n a 的前n 项的和n S . 解：〔1〕由((42))(2)0k x
k x -+-=可知方程两根为42,2k k +
1k =，12=a ，26=a
2k =，34=a ，=410a
〔2〕〔理〕当4k ≤，即8n ≤时，1
2
2,22,n n n a n n 为奇数为偶数+⎧⎪=⎨⎪+⎩
当5k ≥，即9n ≥时，2
24,2,n n n n a n 为奇数为偶数+⎧⎪=⎨⎪⎩
〔3〕〔理〕当4k ≤，即8n ≤时，1
2
2,22,n n n a n n 为奇数为偶数+⎧⎪=⎨⎪+⎩
，
ⅰ〕当2,n k k N
=∈为偶数时，
ⅱ〕当21,n
k k N
=-∈为奇数时，
n s =()()-+--+
+-2
1
12
12
2212
n n n +12
2
n +
当5k ≥，即9n ≥时，224,2,n n n n a n 为奇数为偶数+⎧⎪=⎨⎪⎩
ⅰ〕当2,n
k k N *=∈为偶数时，
ⅱ〕当21,n
k k N •=-∈为奇数时，
n s =()()-+--+
+-2
1
12
12
2212
n n n +24n +
【考虑】其它各对数列中奇偶数的讨论已经淡化了，但是2021，2021卷中照旧有奇偶数讨论的影子，讨论作为一种思想方法，是不会但出高考舞台的，这需要我们一定的耐心和信心。

其实最具代表性奇偶讨论的题目是2021年一模的第20题， 〔2021一模〕在数列
{}n a 中，01>=p a ，且，N n ∈
（1） 假设数列{}n a 为等差数列，求p 的值。

（2） 求数列{}n a 的前n 项和n S
解：〔1〕设数列{}n a 的公差为d ，那么d n a a n
)1(1-+=，nd a a n +=+11，
依题得：23)]()1([211
++=+-+n n nd a d n a ，对*∈N n 恒成立。

即：23)()2(212
12122
++=-+-+n n d a a n d d a n d
，对*∈N n 恒成立。

所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=2
321
1212
12d a a d d a d ，即：⎩⎨⎧==211a d 或者⎩⎨⎧-=-=211a d
01>=p a ，故p 的值是2。

〔2〕)3)(2(2321
++=++=⋅+n n n n a a n n
所以，
1
32++=+n n a a n n ① 当n 为奇数，且3≥n 时，
1
1
,,46,2423513-+===-n n a a a a a a n n 。

相乘得
,211+=n a a n 所以.2
1
p n a n +=当1=n 也符合。

② 当n 为偶数，且4≥n 时，
3524=a a ，1
1
57246-+==-n n a a a a n n
相乘得
,312+=n a a n 所以23
1a n a n += 621=⋅a a ，所以p a 62=。

因此p
n a n )
1(2+=，当2=n 时也符合。

所以数列{}n a 的通项公式为⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧++=为偶数为奇数n p
n n p n a n ,)
1(2,2
1。

当n 为偶数时，
当n 为奇数时，1-n 为偶数，
所以⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++++-+++=为偶数为奇数，n p n n p n n n p
n n p n n S n 2)4(8)2(,2)3)(1(8)3)(1(
【考虑】本道题目当中引入了字母计算，这就使题目抽象多了，题目抽象没关系，只要你有耐心一定能迎刃而解，我们再看看202的月考试题，这上面的奇偶讨论就比较刁钻了：
〔20212月月考〕a 为实数，数列{}n a 满足1a a =，当2n ≥时，111
13
(3)4(3)
n n n n n a a a a a ----->⎧=⎨
-≤⎩，
〔Ⅰ〕{}100100
100a a S =n 当时，求数列的前项的和；(5分)
〔Ⅱ〕证明：对于数列
{}n a ，一定存在*k N ∈，使03k a <≤；(5分)
〔Ⅲ〕令2(1)n n n n a b =--，当23a <<时，求证：1
20.12n
i
i a
b =+<∑(6分) 解:〔Ⅰ〕100
a =当时，
由题意知数列{}n a 的前34项成首项为100,公差为－3的等差数列,从第35项开场,奇数项均为3,偶数项均为1,从而100S =(100979441)(3131)
3466++++++++++
共项共项
……(3分) =
(1001)3466
(31)1717132184922
+⨯++⨯=+=.…………(5分)
〔Ⅱ〕证明：①假设103a <
≤,那么题意成立…………………(6分)
②假设13a >,此时数列{}n a 的前假设干项满足13n n a a --=,即13(1)n a a n =--.
设(]*13,33,(1,)a k k k k N ∈
+≥∈,那么当1n k =+时,(]1130,3k a a k +=-∈.
……(8分) ③假设1
0a ≤,由题意得2143a a =->,那么由②
……………(10分)
〔Ⅲ〕当23a <<时，因为()
4n
a n a a ⎧=⎨
-⎩
为奇数(n 为偶数), 所以2(1)n n n n a b =--=()
2(1)4()
2(1)
n n
n n a a
⎧
⎪--⎪
⎨
-⎪⎪--⎩n 为奇数n 为偶数……………(11分)
因为n b >0,所以只要证明当3n ≥时不等式成立即可.
而2121212212212422(42)
2121(21)(21)
k k k k k k k k a
a a a
b b -+----⋅++-+=+=+-+-
21212121412141222224
22122
k k k k k k k k a a a -+-+---⋅+⋅++<<=+-………(13分) ①当*2(2)n
k k N k =∈≥且
1
411(1())42
4(4)1314
k a --=++⨯-
11(4)(1())4444312312k a a -+⨯-+=+<+20.12a +=……(15分) ②当*
21(2)n
k k N k =-∈≥且时,由于n b >0,所以2121
1
k k
i i
i i b b -==<∑∑<
20.12
a
+ 综上所述,原不等式成立………(16分)
【考虑】虽然很刁钻，但是卷很喜欢出这种刁钻的题目，说难也只不过如此，就是考生在考场里愿不愿意做，肯不肯做，能不能静下心来把思路理清楚。

有些地方的奇偶讨论还要来点分类讨论，你不能模糊，模糊了你自己做着做着就糊涂了，下面我们看看202奉贤区的一道试题：
点集}|),{(n m y y x L
⋅==，其中)1,2(b x m -=→，)1,1(+=→
b n ，点列),(n n n b a P 在L 中，
1P 为L 与y 轴的交点，等差数列}{n a 的公差为1，*∈N n 。

〔1〕求数列}{n b 的通项公式；
〔2〕假设
()f n ＝
，
令(1)(2)(3)()n S f f f f n =+++
+；试用解析式写出n
S 关于n 的函数。

〔3〕假设
()
f n ＝
，
给定常数m(
*,2m N m ∈≥),是否存在*∈N k ，使得
()2()f k m f m +=，假设存在，求出k 的值；假设不存在，请说明理由。

〔1〕y ＝
·＝(2x －b)＋(b ＋1)＝2x ＋1-----(1分)
21y x =+与x 轴的交点111(,)P a b 为(0,1)，所以10a =；-----(1分)
所以1(1)1n
a a n =+-⨯，即1n a n =-，-----(1分)
因为(,)n n n P a b 在21y x =+上，所以21n n b a =+，即21n b n =------(1分)
〔2〕设
(){
n n a f n b =(21)(2)
n k n k =-=〔*
k N ∈〕， 即
1(){21n f n n -=-(21)(2)
n k n k =-=〔*
k N ∈〕----(1分)
〔A 〕当2n k =时，212342121321....(...)n
k k k k S S a b a b a a a a a --==++++++=+++
242(...)k b b b ++++----(1分)
=
02234122k k k k +-+-⨯+⨯=23k ，而2n k =，所以23
4
n S n =----(1分) 〔B 〕当21n k =-时，2113212422(...)(...)n k k k S S a a a b b b ---==+++++++----(1分)
=
022345
(1)22k k k k +-+-⨯+⨯-=2341k k -+，----(1分) 而12n k +=，所以231424
n n S n =------(1分)
因此2231
,214243,24
n n n n k S n n k ⎧--=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ ，〔*
k N ∈〕----(1分)
〔3〕假设*∈N k
，使得()2()f k m f m +=，
〔A 〕m 为奇数 〔一〕
k
为奇数，那么
k m +为偶数。

那么()1f m m =-，()2()1f m k m k +=+-。

那么
2()12(1)m k m +-=-，解得：12
k =
与*
k N ∈矛盾。

----(1分) 〔二〕
k
为偶数，那么
k m +为奇数。

那么()21f m m =-，()()1f m k m k +=+-。

那么
()12(21)m k m +-=-，解得：31k m =-〔31m -是正偶数〕。

----(1分)
〔B 〕m 为偶数 〔一〕
k
为奇数，那么
k m +为奇数。

那么()1f m m =-，()()1f m k m k +=+-。

那么
()12(1)m k m +-=-，解得：1k m =-〔1m -是正奇数〕。

----(1分)
〔二〕k 为偶数，那么
k m +为偶数。

那么()21f m m =-，()2()1f m k m k +=+-。

那么
2()12(21)m k m +-=-，解得：12
k m =-
与*
k N ∈矛盾。

----(1分) 由此得：对于给定常数m(*
,2m N m ∈≥)，这样的k 总存在；当m 是奇数时，31k m =-；当m 是
偶数时，1k
m =-。

----(1分)
很多学生做着做着就摸不清东西南北了，糊涂了，全糊在里面了，假设给考生两个小时，静下心来好好做这一道题目，那么我可以保证很多人能多得10分。

【预测】这几年高考数学的数列压轴题都很难，有些题目的方法很妙，但是我们说在如今根底上进步5－8分还是有可能的，数列压轴题目照旧会和前面的函数，向量，解析几何等等综合，但是记住讨论这种思想方法，奇偶讨论，参数讨论，分类讨论等等很重要，假设压轴题不涉及讨论，只是奇妙的方法搞你，那就不是高考题目，那是比奥赛还奥赛的奥赛题目，希望大家在平时训练中关注这种方法，衷心祝愿2021届考生能在这个方面有所打破。