江西省瑞昌一中09-10学年高二下学期期中考试(数学理)

江西省瑞昌一中09-10学年高二下学期期中考试
数学（理科）
一、
选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）
1．若复数22
(1)1z i i =++-，则z 的虚部等于（ ） Ａ．1
Ｂ．3 Ｃ．i Ｄ． 3i
2．6(21)x -展开式中含2x 项的系数为（ ） A ．240 B ．120 C ．60 D ．15
3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生， 那么不同的选派方案种数为（ ）
A.14
B.24
C.28
D.48
4．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（ ） A ．⎰c
a dx x f )(
B ．
⎰
b a
dx x f )(+⎰c
b dx x f )(
C ．
⎰
c a
dx x f )( D ．()c b
f x dx ⎰－⎰b
a
dx x f )(
5．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个大于60°”时，反设正确的是( ) A ．假设三个内角都不大于60° B ．假设三个内角都大于60°
C ．假设三个内角至多有一个大于60°
D ．假设三个内角至多有两个大于60° 6．()F n 是一个关于自然数n 的命题，若()F k 真，则(1)F k +真，现已知(20)F 不真，那么： ①(21)F 不真；②(19)F 不真；③(21)F 真；④(18)F 不真；⑤(18)F 真．其中正确的结论为（ ） Ａ．②④
Ｂ．①② Ｃ．③⑤ Ｄ．①⑤
7．已知2n
x
⎛ ⎝的展开式中第三项与第五项的系数之比为－143,其中2i =－1，则展开式中 常数项是（ ）
A.－45i
B. 45i
C.－45
D.45
8．用数字1，2，3，4，5组成一个三位数（允许重复），其各数字之和等于9的概率为（ ）
A ．12513
B ．12516
C ．12518
D ．125
19
9．抛掷甲、乙两骰子，若事件A 表示“甲骰子的点数小于3”；事件B 表示“甲、乙两骰子的 点数之和等于6”，则P(B|A)的值等于（ ）
A ．31
B ．181
C ．61
D ．9
1
10．已知1c >，,1c c a -+=1--=c c b ,则正确的结论是（ ）
A. a b >
B. a b <
C. a b =
D.,a b 大小不确定 11．设0<a <b ，且f (x )＝x
x
++11，则下列大小关系式成立的是( ) A.f (a )< f (
2b a +)<f (ab ) B.f (2b
a +)<f (
b )< f (ab ) C.f (ab )< f (2b a +)<f (a ) D.f (b )< f (2
b
a +)<f (a
b )
12．右图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，
给出下列命题：
①3-是函数()y f x =的极值点； ②1-是函数()y f x =的最小值点； ③()y f x =在0x =处切线的斜率小于零； ④()y f x =在区间(3,1)-上单调递增. 则正确命题的序号是（ ）
A ．①②
B ．①④
C ．②③
D ．③④
二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）
13．若20102010012010(12)()x a a x a x x R -=+++∈,则20101222010
222
a a a
+++的值为________ 14．观察下列式子222222131151117
1,1,1222332344
+<++<+++< , …… ,
则可归纳出________________________________ 15．由图(1)有面积关系: PA B PAB
S PA PB S PA PB
''∆∆''⋅=⋅，则由(2) 有体积关系: .P A B C P ABC
V V '''--=
16．对于任意正整数n ，定义“n !!”如下： !!(2)(4)642n n n n =--······，
当n 是奇数当
n
是偶数时，时，!!(2)(4)n n n n =--····531··. 现在有如下四个命题：①2002!!的
个位数是0； ②2003!!的个位数是5;
③(2003!!)(2002!!)20032002321=⨯⨯⨯⨯⨯·； ④10012002!!210011000321=⨯⨯⨯⨯⨯⨯； 其中正确的命题有________________（填序号）
三、解答题（本大题共6个小题，满分74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）5名男生、2名女生站成一排照相： （Ⅰ）两名女生都不站在两端，有多少不同的站法？
（Ⅱ）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？ （Ⅲ）两名女生甲乙要相邻，且不与男生丙相邻，有多少种不同的站法？
18．（12分）有12件产品，其中4件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽5件．
（Ⅰ）求抽出的5
件中恰有2件次品的概率；
（Ⅱ）用X 表示抽出的5件中次品的件数，写出X 的分布列； （Ⅲ）求在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率． （以上各数值用分数表示）
2009-2010学年度下学期期中高二数学（理）参考答案
13. 0 14. 22
2
11121
123(1)1
n n n ++
+++
<++ (n ∈N *) 15. '''--⋅⋅=⋅⋅'''
.P A B C P ABC V PA PB PC V PA PB PC
16、①②③④ 17．解：（Ⅰ）2555A A ⋅=2400┄┄┄4分 （Ⅱ）61156555
A C C A +=3720┄┄8分
（Ⅲ）242245
A A A =960┄┄┄12分 18．解：（Ⅰ）
()23
4851214
233
C C P X C ===
┄┄┄┄┄┄┄┄3分
（Ⅱ）X 可取0,1,2,3,4 X 的分布列为
┄┄┄┄┄┄┄8分
（Ⅲ）记A 表示“第一次抽到次品”，B 表示“第二次抽到次品”则
()2
4212411
(),12311
C P A P A B C ==== ()()3|()11P A B P A B P A =
=┄┄┄┄12分 19.解：(1) ∵
2()ln(1)1x f x a x b
x =+-
++，∴
22'()1(1)a f x x x =-++，┄┄┄┄┄2分 ∵函数)(x f 在0x =处的切线方程为2y x =-+，∴'(0)21f a =-=-，∴1
a =┄┄┄5分
(2) ∵点(0)c ，在直线20x y +-=上， ∴20c -=，∴2c =，┄┄┄┄┄6分
∵(02)，在
2()ln(1)1x
f x x b x =+-
++的图象上，∴(0)2f b ==，┄┄┄┄┄7分
∴
2()ln(1)2(1)1x
f x x x x =+-
+>-+
由(1) 得：
22
121'()(1)1(1)(1)x f x x x x x -=
-=>-+++，
令'()0f x >，则1x >，因此函数()f x 的单调递增区间为（1，+∞），
令'()0f x <，则11x -<<，因此函数()f x 的单调递减区间为（– 1，1）┄┄┄┄┄10分 ∴当1x =时，函数()f x 取得极小值1ln2+．┄┄┄┄┄12分 20．解：（Ⅰ）()1
2
3
32S x
x dx -=--⎰
3213
1323|33x x x -⎛⎫
=--= ⎪⎝⎭
┄┄┄┄┄5分 （Ⅱ）()2
2
2
sin
V x x dx π
ππ=-⎰
2201cos 22x x dx π
π-⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
⎰ 32
1
11s i n 22
23x x x π
⎛⎫=-+ ⎪
⎝⎭3624
ππ+=┄┄┄┄┄12分
21.解：（Ⅰ）1222(221)a a a +=⨯-，因为113
a =，所以211
3515
a =
=⨯， 12333(231)a a a a ++=⨯-，解得3115735a ==⨯，同理411
7963
a ==
⨯.┄┄┄3分 （Ⅱ）根据计算结果，可以归纳出 1
(21)(21)
n a n n =
-+.┄┄┄5分
当1n =时，111
(211)(211)3
x =
=⨯-⨯+，与已知相符，归纳出的公式成立. ┄┄┄┄6分
假设当n k =（*k ∈N ）时，公式成立，即1
(21)(21)
a k k k =-+.
由(21)n n S n n a =-可得，111(1)(21)(21)k k k k k a S S k k a k k a +++=-=++--. 即 1
212111
2323(21)(21)(21)(23)k k k a
a k k k k k k k +--=
=⋅=
++-+++. 所以1
1
[2(1)1][2(1)1]
k a
k k +=
+-++.┄┄┄┄┄┄┄┄11分
即当1n k =+时公式也成立. 综上，1
(21)(21)
n a n n =-+对于任何*n ∈N 都成立. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
22．解：（Ⅰ）()()()/22223x x f x x a e x ax a a e =+++-+()()22x x a x a e
=++-┄┄2分
()f x 在()2,1--内为减函数，则有()/0f x ≤对()2,1x ∈--恒成立
2221a a -≤-⎧⎨-≥-⎩或2221
a a -≤-⎧⎨-≥-⎩0a ⇒≤或1a ≥┄┄┄┄┄┄┄┄4分
（Ⅱ）1a =时()()21x
f x x x e =++ ，
()()()/21x
f x x x e =++
()()()
/2,1,0,x f x f x ∈--<递减；(]()()/1,0,0,x f x f x ∈->递增。

当1x =时
()f x 有极小值。

()()()
2312,1,01
f f f e e
-=-==
故23 1.b e
<≤┄┄┄┄┄┄┄┄9分
（Ⅲ）要证22
11ln .3n n n n n ++-≤只需证()22
1ln 1ln 31n n n n
++-≤- ()2
2
1
ln 1ln ln 31n n n n
++-+≤+即证122
13n n n e e n ++≤ 由（Ⅱ）知：当1a =时
()()21x
f x x x e =++在[
)0,+∞上为增函数
则()11f f n ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
12213n
n n e e n ++⇒≤。

故有22
11ln .3n n n n n ++-≤┄┄┄┄┄┄┄14分 19．（12分）已知函数()()2ln 11
x
f x a x b x =+-++的图象与直线20x y +-=相切于点()0,c 。

（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间和极小值．
20．（12分）（Ⅰ）求曲线2
32y x y x =-=与所围成的
阴影部分（如右图）的面积。

（Ⅱ）将由直线2
y x π=
和曲线sin ,0,2y x x π⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
所围成 的平面图形绕x 轴旋转一周，求所得旋转体的体积。

21．（12分）在数列{}n a 中，113
a =，且(21)n n S n n a =-。

（Ⅰ）求234,,a a a 的值；
（Ⅱ）归纳{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.
22．（14分）已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈其中a 为实常数。

（Ⅰ）若()f x 在区间()2,1--内为减函数，求a 的取值范围；
（Ⅱ）若1,a =方程()0f x b -=在区间[]2,0-上恰有一个解，求b 的取值范围；
（Ⅲ）若*
,n N ∈求证： 22
11
ln .3n n n n n
++-≤。