2019上海六年级 秋季自招班~第1讲 数论综合 讲义设计+习题(无答案)

模块一、整除
对于整数a 和b （b 不为0），如果存在整数q ，使a b q =⨯，则称a 能被b 整除，否则就称a 不能被b 整除，例如：7289=⨯，于是72被8（或9）整除． 整除特征：
1．末尾系
能否被2和5整除看末一位； 能否被4和25整除看末两位； 能否被8和125整除是看末三位．
2．差系
一位一段求数段差：11
1110001001010019911abcd a b c d a b c d c b a =+++=+++-+-倍数
∣若11d c b a -+-，则11abcd
三位一段求数段差：7、11、13 10000001000abcdefg a bcd efg =++ 9999991001a bcd efg bcd a =++-+
∣若1001efg bcd a -+，则1001abcdefg
3．和系
一位一段求数码和：3和9
910010999abc a b c a b a b c =++=++++的倍数
∣9a b c ++则9abc 两位一段求数段和：99
第1讲 数论综合
9910000100999999abcde a bc de a bc de bc a =++=++++倍数
∣若99de bc a ++，则99abcde
4．拆分系
1234,7289,100171113......=⨯=⨯=⨯⨯
注：要拆分成互质的数
5．试除法 模块二、素合因倍
1．算术基本定理：任何大于1的合数都可以表示成素数的乘积．
1212n r r r n N p p p =⋅⋅⋅
（其中素数123n p p p p <<⋅⋅⋅<，12n r r r ⋅⋅⋅,,, 是正整数，它们分别是123n p p p p ⋅⋅⋅，，，的指数）
则上式称为N 的标准分解式． 2．合数的因数个数
若正整数N 分解素因数的结果是1212n r r r n N p p p =⋅⋅⋅．
其中123n p p p p ⋅⋅⋅，，，为互不相同的质数，12n r r r ⋅⋅⋅,,,为正整数，则N 的正因数的个数为
()()()12111n r r r ++⋅⋅⋅+ ．
3．最大公因数和最小公倍数
设a ，b 为两个正整数，则(),a b 和[],a b 有如下关系： ()[],,ab a b a b =⨯
模块三、余数
当一个正整数b 去除另一个正整数a ，若商为c ，余数为r ，则有a bc r =+()0r b <<． 一、余数的性质 1. 余数小于除数
2. 带余除法：被除数=除数×商+余数
3. ()b a r -
4. 一个正整数a 被另一个正整数n ()1n >除时，余数只可能是0,1,2，…,()1n -中的一个，
这样我们可以把整数按余数来分类．
5. 余数的运算：
（1） 和的余数等于余数的和 （2） 积的余数等于余数的积 二、同余
定义：如果a 、b 除以m (1)m ≥所得的余数相同，那么称a 、b 模m 同余，记作
(mod )a b m ≡．
1．同余有关性质：
性质1：如果(mod )a b m ≡，那么a ，b 的差一定能被m 整除．
用式子表示为，若(mod )a b m ≡，那么a b mk -=，k 是整数，即m a b -．
性质2：如果(mod )a b m ≡，(mod )c d m ≡，那么(mod )a c b d m ±≡±，
(mod )ac bd m ≡．
性质3：如果(mod )a b m ≡，n 为正整数，那么(mod )n
n
a b m ≡． 2．中国剩余定理
对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法: 《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:
今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？ 题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2．那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数．
先由5735⨯=，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数35270⨯=是否可以，很显然70除以3余1
类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求．
最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，15符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：
270321215[3,5,7]233[3,5,7]k k ⨯+⨯+⨯±=-，其中k 是自然数．
也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数．
例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，
那么我们可以计算2703212152[3,5,7]23
⨯+⨯+⨯-⨯=得到所求
如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,
我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128．
在解决同余问题时，常把同余问题转化为整除问题来处理．恰当运用相关性质，灵活进行恒等变形，适当兼顾分类讨论．
模块四、奇数与偶数
如果一个数可以被2整除，那么我们就说这个数是偶数．如果一个整数不是偶数，那么这个数一定是奇数．
一个数是偶数还是奇数，是这个整数自身的一种性质，这种性质，叫做奇偶性．在解题时我们可以利用整数的奇偶性来分析和解决问题．
例题精讲
【例1】（1）一个五位数同时能被9和11整除，若划去该数两端的数码得到的三位数为673，则这个五位数是
（2）在235后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能同时被3、4、5整除，并且要求这个数值尽可能小，这个六位数是多少？
（3）如果某正整数不论从左边或右边读起都相同（例如36563，2002等）那么称该数为“回文数”，能被101整除的最大五位回文数是什么？
【例2】（1）一个两位质数，如果将它的十位数字和个位数字交换后，仍是一个两位质数，这样的质数可称为“特殊质数”，这样的“特殊质数”有_______个．
（2）已知a ，b ，c 都是正整数，且2371176a b c ⨯⨯=，则237a b c ++的值是 _________．
（3）311被一个两位数除，余数为41，这个两位数最小是________．
【例3】（1）“六一”儿童节，老师买来360块饼干、480粒糖，400只水果，制作小礼包，分别分给小朋友作为节日礼物，那么至多可以做________个小礼包．
（2）一块砖底面长22厘米，宽10厘米，要铺成一个正方形地面（不要折断，只能铺整砖）至少要多少块砖？
（3）两个正整数的最小公倍数是180，最大公约数是12，并且小数不能整除大数，求这两个数．
（4）甲数是36，甲、乙两数的最大公因数为4，最小公倍数是288，则乙数是_______．
【例4】已知1059,1417,2312分别被自然数x除时，所得的余数都是y，求x y
-的值．【例5】（1）如果两个数被3除余2，那么它们的积被3除，余数是_______．
（2）今天是星期六，再过33
+天之后是星期几？
33335555
【例6】（1）有一个正整数在300400之间，加上1后能被15、18和24整除，这个数是________．
（2）一个正整数除以3余2，除以5余4，除以7余6，求满足条件的最小正整数．
（3）一个正整数，除以5余4，除以7余2，除以8余1，则满足条件的最小的正整数为______,而满足条件的所有正整数可用代数式表示为_________．
（4）一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数．
【例7】现有分别能装2千克、3千克、4千克苹果的纸箱A 、B 、C 各若干个，如果将一筐苹果用A 箱装满，那么还余1千克；如果将它用B 箱或C 箱装满，那么也都余1千克，这筐苹果最小有____________千克．
【例8】（1）有100个自然数，它们的总和是2000，在这些数中奇数的个数比偶数的个数少，那么这些数中至多有多少个奇数？
（2）已知a ，b ，c 三个数中，有一个是2017，有一个是2018，有一个是2019．试判断
()()()123a b c -⨯-⨯-的奇偶性，并说明理由．
（3）在黑板上写3个整数，然后擦去一个换成其他两数之和或者差，这样操作下去，然后得到74,86,309．问：原来写的3个整数是否为1,3,5？
迎难而上
已知a 除以5余1，b 除以5余4，且30a b ->，求3a b -除以5的余数
熟能生巧
【练习1】要使六位数156
ABC能被36整除，而且所得的商最小，不同的三个数字A、B、C分别是_________．
【练习2】（1）把330分解素因数是__________________________________．
（2）正整数1260有______个因数．
（3）已知两个数的最大公约数为6，最小公倍数为144，这两个数的和为_______．
【练习3】（1）筐内有196个苹果，如果不一次拿出，也不一个一个地拿，要求每次拿出的苹果个数同样多，而且正好拿完，那么拿法共有（）
A．4种B．6种C．7种D．9种
（2）从运动场的一端到另一端全长100米，从一端到另一端止每隔4米插一面小红旗，现在要改成每隔5米插一面小红旗，有多少面小红旗不用移动．
【练习4】（1）一个正整数被7除余2，被6除余5，则这个正整数的最小值是________．
（2）一个不等于1的整数，它除967、1000、2001得到相同的余数，那么这个整数是_______．
（3）某中学的六年级有一百多名学生．若按三人一行排队，则多出一人；若按五人一行排队，则多出二人；若按七人一行排队，则多出一人．该年级的人数是．
（4）被3除余2，被5除余3，被7除余4的最小正整数是_________．
【练习5】今天是星期日，那么，今天以后的第3
2019天是（）
A．星期三B．星期四C．星期五D．星期六
【练习6】（1）判断11121314 (8990)
++++++的结果是奇数还是偶数．
（2）有20个自然数，其中奇数比偶数多，它们的总和是100，那么这20个数中至多有多少个偶数？
（3）若,p q为质数，且5391
+=，则p=________,q=_________．
p q。