等比数列的前n项和公式 课件

探究二 错位相减法求和 [典例 2] 求和：Sn＝1×2＋4×22＋7×23＋…＋(3n－2)×2n. [解析] ∵Sn＝1×2＋4×22＋7×23＋…＋(3n－2)×2n，① ∴2Sn＝1×22＋4×23＋…＋[3(n－1)－2]×2n＋(3n－2)×2n＋1，② ①－②，得 －Sn＝1×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－(3n－2)×2n＋1 ＝3×(2＋22＋…＋2n)－(3n－2)×2n＋1－4 ＝3×(2n＋1－2)－(3n－2)×2n＋1－4 ＝3×2n＋1－6－3n×2n＋1＋2n＋2－4
等比数列的综合问题，要分清通项公式 an 与前 n 项和公式 Sn，及公 式适用条件(q＝1 或 q≠1)；其次分清等比数列与等差数列，重视应 用方程思想、分类讨论思想．
应用等比数列前 n 项和公式时忽视分类讨论致误
[典例] 等比数列 1,2a,4a2,8a3，…的前 n 项和 Sn＝________. [解析] 公比为 q＝2a，
Sn＝a11－－aqnq＝a111－－qqn(q≠1)为等比数列的求和公式，其中涉及 a1，an，Sn， n，q 五个量，通常已知其中三个，即可求另外两个，方法是解方程组，这 也是等比数列的基本问题．当已知首项 a1、公比 q 及项数 n 时，用公式 Sn ＝a111－－qqn；当已知首项 a1、末项 an 及公比 q 时，用公式 Sn＝a11－－aqnq.另外 在这两个公式中强调公比 q≠1，若公比 q＝1，则数列为非零常数列，因此 在进行等比数列的前 n 项求和计算时需要对公比 q 是否为 1 进行讨论．分类 讨论思想是这一章中的一个重要思想，也是高考的重要考点．
等比数列的前 n 项和公式
等比数列的前 n 项和公式
已知量 首项、公比和项数
首项、末项和公比
公式
na1
q＝1
Sn＝__a_1_1_1－_－_q_q_n____q_≠__1_
na1
q＝1
Sn＝__a_11－_－_a_qn_q____q_≠__1_ __
探究一 等比数列的前 n 项和公式的基本运算 [典例 1] 在等比数列{an}中， (1)若 a1＝1，a5＝16，且 q>0，求 S7； (2)若 Sn＝189，q＝2，an＝96，求 a1 和 n； (3)若 a3＝32，S3＝92，求 a1 和公比 q.
＝2n＋2＋3(1－n)×2n＋1－10 ＝(5－3n)2n＋1－10. ∴Sn＝(3n－5)2n＋1＋10.
错位相减法来源、使用范围、注意事项
探究三 等比数列求和公式的综合应用 [典例 3] 已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和，a1＝b1＝1，且 b3S3＝36，b2S2＝8(n∈N*)． (1)求 an Tn.
∴a1·2n＝192，∴2n＝1a912. ∴189＝a1(2n－1)＝a11a912－1，
∴a1＝3. 又∵2n－1＝936＝32， ∴n＝6. 法二：由公式 Sn＝a11－－aqnq及条件得 189＝a1－1－962×2，解得 a1＝3，又由 an＝a1·qn－1， 得 96＝3·2n－1，解得 n＝6.
当 2a＝1，即 a＝12时，2a＝1，Sn＝n；
当 q≠1，即 a≠12时，2a≠1， 则 Sn＝1－1－22aan.
[答案]
n，
a＝12，
1－1－22aan，a≠12
[误区] 忽视等比数列前 n 项和公式的应用条件，未对等比数列的公 比 2a 分类讨论而导致错误． [防范措施] 应用等比数列前 n 项和公式时，要注意公比 q 是否为 1， 因为等比数列前 n 项和公式是“分段函数”形式．若题中公比不明 确，要分情况讨论，如本例，公比为 q＝2a，应该分 2a＝1,2a≠1 两 种情况讨论，否则结论就不完整．
(3)①当 q≠1 时，S3＝a111－－qq3＝92， 又 a3＝a1·q2＝32， ∴a1(1＋q＋q2)＝92，
3 即q22(1＋q＋q2)＝92， 解得 q＝－12(q＝1 舍去)， ∴a1＝6.
②当 q＝1 时，S3＝3a1， ∴a1＝32.
a1＝6， 综上得q＝－12，
或a1＝32， q＝1.
[解析] (1)因{an}为等比数列且 a1＝1，a5＝16， ∴a5＝a1q4， ∴16＝q4， ∴q＝2(q＝－2 舍)， ∴S7＝a111－－qq7＝11－－227＝127.
(2)法一：由 Sn＝a111－－qqn，an＝a1qn－1
以及已知条件得189＝a111－－22n， 96＝a1·2n－1.
q23＋3d＝36， [解析] (1)由题意得q2＋d＝8，
d＝2 解得q＝2
或d＝－23， q＝6，
∴abnn＝＝22nn－－1，1，
或an＝135－2n， bn＝6n－1.
(2)若 an<an＋1，由(1)知 an＝2n－1， ∴ana1n＋1＝2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1， ∴Tn＝121－13＋13－15＋…＋2n1－1－2n1＋1 ＝2nn＋1.