新人教版九年级数学上册 21.3 第3课时 几何图形与一元二次方程

1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色
纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图
的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的
方程是（ B ）
A．x2+130x-1400=0
B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0
D．x2-65x-350=0
27
9x

27 9
33 2

54
27
3 1.8.
2
2
4
故左右边衬的宽度为:
21 7x
21 7 3 32来自42 213
1.4.
2
2
4
21cm
方法点拨
（1）主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式 是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面 积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;
（2）与直角三角形有关的问题：直角三角形两直角边的平方 和等于斜边的平方是这类问题的等量关系，即用勾股定理列方程.
例2：如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水 渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个矩 形小块,水渠应挖多宽？
分析：设水渠宽为xm，将所有耕地的
1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点） 2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）
问题 某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三
条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外一条与AD平行，其
余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽
应该设计为多少？设通道宽为xm，则由题意列的方程为
新人教版九年级数学上册
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程 第3课时 几何图形与一元二次方程
增长率问题
a(1+x)2=b,其中a为增长前 的量，x为增长率，2为增长 次数，b为增长后的量.
平均变化率问题
降低率问题
a(1-x)2=b,其中a为降低前的 量，x为降低率，2为降低次 数，b为降低后的量.注意1 与x位置不可调换.
27cm
21cm
解:设上下边衬的9xcm，左右边衬宽为
7xcm依题意得
27cm
(27 18x)(2114x) 3 27 21,
方程的哪个根
4
解方程得 x 6 3 3 .
合乎实际意义? 为什么?
4
故上下边衬的宽度为:
9

6

3
3 1.8,
4
21cm
故左右边衬的宽度为: 7 6 3 3 1.4. 4
_(_3_0_-_2_x_)_(2_0_-_x_)_=__6_×__7_8__.
A
D
B
C
讲授新课
一 几何图形与一元二次方程
典例精析
例1 要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21cm正中央是 一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所 占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬 等宽,应如何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1cm）
答：上下边衬的宽度为:1.8cm,左右边衬的宽度为:1.4cm.
试一试
如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面
的问题？
解:设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm。
27cm
依题意得
9x 7x 3 27 21, 4
解得
x2

3
3 2
，x2


3 3（舍去）. 2
故上下边衬的宽度为:
解方程,得
x1 =
答：鸡场的为（
x2= ）m满足条件.
(舍去),
3. 如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样
宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要
使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.
解：设道路宽为x米，由平移得
到图2，则宽为(20-x)米，长为
图1
（32-x)米，列方程得 （20-x)(32-x)=540，
x 80cm x
50cm
x
x
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,养鸡场的一边靠墙(墙长25m),另
外三边用木栏围成,木栏长40m.
25m
(1) 养鸡场的面积能达到180m2吗?
如果能,请给出设计方案;如果不能,请
180m2
说明理由.
解:设养鸡场的长为xm,根据题意得:
x
即 x2 - 40x + 360=0.
21cm
27cm
分析:这本书的长宽之比 9 ：7 正中央的 矩形长宽之比 9 ：7 ，上下边衬与左右边衬 之比 9 ：7 .
解：设中央长方形的长和宽分别为9a和7a由 此得到上下边衬宽度之比为：
1 (27 9a) : 1 (21 7a)
2
2
9(3 a) : 7(3 a) 9 : 7.
整理得 x2-52x+100=0，
解得 x1=50(舍去），x2=2.
图2
答：道路宽为2米.
几何图形
常见几何图形面积是等量关 系.
几何图形与一元 二次方程问题
类型
课本封面问题 彩条宽度问题
常采用图形平 移能聚零为整 方便列方程
面积拼在一起，变成一个新的矩形，
长为 (92 – 2x )m, 宽(60 - x)m.
解：设水渠的宽应挖 x m .
( 92 - 2x)（60 - x ）= 6×885. 解得 x1=105(舍去），x2=1.
注意：结果 应符合实际 意义
方法点拨
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改 变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容 易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按 原图的位置修路）.