高中数学人教A版选修2-1课时训练18空间向量与平行.docx

课时训练18 空间向量与平行、垂直关系
一、综合题
1.若直线l 1,l 2的方向向量分别为a =(1,2,-2),b =(-2,3,2),则( ). A.l 1∥l 2 B.l 1⊥l 2 C.l 1、l 2相交不平行 D.不能确定 答案:B
解析:∵a =(1,2,-2),b =(-2,3,2),
∴1×(-2)+2×3+(-2×2)=0,即a ·b =0. ∴a ⊥b .∴l 1⊥l 2.
2.已知平面α的一个法向量是n =(1,1,1),A (2,3,1),B (1,3,2),则直线AB 与平面α的关系是( ). A .AB ∥α B .AB ⊥α C .AB ⊄α D .AB ∥α或AB ⊂α 答案:D
解析:=(-1,0,1).于是n ·=-1+0+1=0,所以⊥n ,因此AB ∥α或AB ⊂α. 3.已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC 的一个单位法向量为( ). A. B. C. D. 答案:B
解析:设平面ABC 的法向量为n =(x ,y ,z ),
则有取x=1,则y=-2,z=2. 所以n =(1,-2,2).
由于|n |=3,所以平面ABC 的一个单位法向量可以是.
4.若直线l 的方向向量为(2,1,m),平面α的法向量为,且l ⊥α,则m 的值为( ). A.1 B.2 C.4 D.-4 答案:C
解析:∵l ⊥α,
∴l 的方向向量与平面α的法向量共线. ∴(2,1,m)=λ,解得m=4.
5.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点M,P,Q 分别为棱AB,CD,BC 的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则
①A 1M ∥D 1P; ②A 1M ∥B 1Q;
③A 1M ∥平面DCC 1D 1; ④A 1M ∥平面D 1PQB 1.
以上正确说法的个数为( ). A.1 B.2 C.3 D.4 答案:C 解析:,
,
∴,从而A 1M ∥D 1P. ∴①③④正确.
6.如图PA ⊥面ABCD,四边形ABCD 为正方形,E 是CD 的中点,F 是AD 上一点,当BF ⊥PE 时,AF ∶FD 的值为( ).
A .1∶2
B .1∶1
C .3∶1
D .2∶1 答案:B
解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形边长为1,PA=a,则B(1,0,0),E,P(0,0,a).
设点F 的坐标为(0,y,0), 则=(-1,y,0),. ∵BF ⊥PE,∴·=0.
解得y=,即点F 的坐标为.
∴F 为AD 的中点.∴AF ∶FD=1∶1.
7.如图所示,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形,AC=2a,BB 1=3a,D 是A 1C 1的中点,点E 在棱AA 1上,要使CE ⊥面B 1DE,则AE= .
答案:a 或2a
解析:建立如图所示的坐标系,
则B 1(0,0,3a),D,C(0,a,0). 设点E 的坐标为(a,0,z), 则=(a,-a,z),=(a,0,z-3a).
由已知,2a 2+z 2-3az=0,解得z=a 或2a. ∴AE=a 或2a.
8.已知在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别在DB,D 1C 上,且DE=D 1F=a,其中a 为正方体的棱长.求证:EF ∥平面BB 1C 1C.
解:如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,
则E,F, 故.
又=(0,a,0),显然为平面BB 1C 1C 的一个法向量, 而·=(0,a,0)·=0, ∴.
又EF ⊄平面BB 1C 1C,所以EF ∥平面BB 1C 1C.
9.如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 为AA 1的中点,N 为A 1B 1上的点,满足A 1N=NB 1,P 为底面正方形A 1B 1C 1D 1的中心.求证:MN ⊥MC,MP ⊥B 1C.
解:如图,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,
则D 1(0,0,0),A 1(1,0,0),A(1,0,1),B 1(1,1,0),C(0,1,1). 又∵M 为AA 1中点,A 1N=NB 1,P 为底面中心, ∴M,N,P. ∴=(-1,0,1). ∵·=0, ∴.
∴MN⊥MC.
又∵·=0,
C.
∴.∴MP⊥B
1
10.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.
求证:(1)AM∥平面BDE;
(2)AM⊥平面BDF.
解:(1)建立如图所示的空间直角坐标系.
设AC∩BD=N,连结NE,则点N,E的坐标分别是,(0,0,1),
∴.
又点A,M的坐标分别是(,0),,
∴.
∴,且NE与AM不共线.
∴NE∥AM.
又∵NE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,
∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)知,
∵D(,0,0),F(,1),
∴=(0,,1).
∴·=0.∴.
同理.
又DF∩BF=F,∴AM⊥平面BDF.。