2022届新疆石河子第一中学高三8月月考数学(理)试题(A卷)(解析版)

2022届新疆石河子第一中学高三8月月考数学（理）试题（A
卷）
一、单选题
1．已知集合{}0A x x =>，{}13B x Z x =∈-<<，那么A B =（ ） A ．{}1,2 B ．{}03x x <<
C ．{}1,0-
D ．{}0,1,2
【答案】A
【分析】先求出集合B ，再求两集合的交集即可 【详解】因为{}13B x Z x =∈-<<，所以{}0,1,2B =， 因为{}0A x x =>， 所以A B ={}1,2， 故选：A
2．已知(1i)34i z +⋅=+，则z =（ ） A ．55i 22-
B ．55i 22+
C ．72i 12
+
D ．71i 22
-
【答案】B
【分析】根据复数模的计算公式，以及复数的运算法则和共轭复数的定义可求解.
【详解】由复数模的运算公式，可得34i 5+=， 得()1i 5z +⋅=，
所以()()()51i 555i 1i 1i 1i 22z -=
==-++-，则55i 22
=+z . 故选：B ．
3．给出下列四个命题，正确的有：（ ） A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为假命题
B ．命题“0x ∀>，有1x e ≥”的否定为“00x ∃≤，有01x e <”
C ．1x ≥-的必要不充分条件是1x >-
D ．在锐角ABC 中，必有sin sin cos cos A B A B +>+ 【答案】D
【分析】对A ，根据复合命题判断真假即可；对B ，根据全称命题的否定即可求解；对
C ，根据充分条件，必要条件的定义即可判断；对
D ，根据锐角三角形角的性质以及诱导公式即可判断.
【详解】解：对A ，若p q ∨为真命题， 则包含,p q 都为真命题，,p q 一真一假，
当,p q 都为真命题时，p q ∧也为真命题，故A 错误；
对B ，命题“0x ∀>，有1x e ≥”的否定为“00x ∃>，有01x e <”，故B 错误； 对C ，当1x >-时能够推出1x ≥-， 当1x ≥-时，推不出1x >-，
即1x >-是1x ≥-的充分不必要条件，故C 错误； 对D ，ABC 为锐角三角形，
故0,0,2
22
A B A B π
ππ
π<<<<
<+<， 即0,02
2
A B B A π
π
<
-<<
-<，
即sin sin ,sin sin 22A B B A ππ⎛⎫⎛⎫
-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
即cos sin ,cos sin A B B A <<,
即sin sin cos cos A B A B +>+，故D 正确. 故选：D.
4．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意实数x 都有()()40f x f x +-=，当
[]2,0x ∈-时，()24f x x =-+，则()11f =（ ）
A ．117-
B ．117
C ．3
D ．3-
【答案】D
【分析】利用()()40f x f x +-=和偶函数两个条件，推出周期性即可.
【详解】()f x 为偶函数，故()()f x f x =-，又()()40f x f x +-=，用x -取代x ，得到()(4)0f x f x -++=，于是()(4)0f x f x ++=，再用4x +取代x ，于是 (4)(8)0f x f x +++=，所以(8)()f x f x +=，则()11(3)f f =，
对于()()40f x f x +-=，取3x =，那么()()310f f +=，又函数为偶函数，则(1)(1)f f =-，当[]2,0x ∈-时，()24f x x =-+，于是()21(1)43f -=--+=，()13f =，
()3(1)3f f =-=-，故()11(3)3f f ==-.
故选：D.
5．如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，底面ABC 是正三角形，侧棱垂直于底面，且
AA AB '=，则A B '与B C '所成角的余弦值为（ ）
A ．154
-
B ．
154
C ．14-
D ．14
【答案】D
【分析】建立空间坐标系，写出直线的方向向量，利用向量夹角公式可求答案. 【详解】取AC 中点为O ,以O 为原点，以,OB OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设2AB =， 则(3,0,0),(3,0,2),(0,1,2),(0,1,0)B B A C ''- 所以(3,1,2),(3,1,2)A B B C ''=-=-- 由向量夹角公式得21
cos ,,4
88A B B C A B B C A B B C
''⋅''=
=
=⨯'' 又由异面直线夹角的范围可知，异面直线A B '与B C '所成角的余弦值为1
4
.
故选：D.
6．正项等比数列{}n a 的公比1q ≠，且2311
,,2
a a a 成等差数列，则3445a a a a ++的值（ ）
A 51
+ B 51
- C 15
-D 51
+或
【答案】B
【分析】首先根据条件求q ，再根据等比数列的性质，得34451
a a a a q
+=+，即可求解. 【详解】因为2311
,,2
a a a 成等差数列，所以321a a a =+，
即21q q =+，0q >
，解得：q =
34451a a a a q +===+故选：B
7．为迎接第24届冬季奥林匹克运动会，某校安排甲､乙､丙､丁､戊共五名学生担任冰球､冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人.则学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为（ ）
A ．34
B ．23
C ．56
D ．12
【答案】B
【分析】根据古典概型计算公式，结合排列和组合的定义进行求解即可.
【详解】所有的安排方法223313
425
3
5
32
2
106536150C C C A C A A +=⨯+⨯⨯=， 若只有1人去冰球项目做志愿者，有()22
1
12424
42
22443256C C C C A A ⎛⎫+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭
； 若恰有2人去冰球项目做志愿者，有212
43263236C C A =⨯⨯=；
若有3人去冰球项目做志愿者，有32
42428C A =⨯=，
所以共有56368100++=种安排法，
所以学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为1002
1503
=. 故选：B
【点睛】关键点睛：运用排列和组合的知识求出所有的安排方法数是解题的关键.
8．将函数()sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，坐标不变，
得到函数()g x 的图象，则下列说法中正确的是（ ） A ．1
32
g π⎛⎫= ⎪⎝⎭
B ．()g x 在区间5,
66
ππ
⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上是增函数 C ．24
x π
=-
是()g x 图象的一条对称轴
D ．,06
π
⎛⎫
⎪⎝
⎭
是()g x 图象的一个对称中心
【答案】C
【分析】利用三角函数的图象伸缩变换求得()g x ，然后逐一分析四个选项得答案．
【详解】函数()sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，
坐标不变，得到函数()g x 的解析式 ()sin 43g x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，
对于A ：sin 4sin 0333g ππππ⎛⎫⎛⎫
=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，故A 错误；
对于B ：由()242,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈得，()5,242242k k x k Z ππππ
-+
≤≤+∈，故()g x 在区间5,66ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上有增有减，故B 错误；对于C ：
sin sin 124632g ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 所以24
x π
=-
是()g x 图象的一条对称轴，故C 正确；
对于D ：2sin sin 6333g ππππ⎛⎫⎛⎫
=-== ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以,06
π
⎛⎫
⎪⎝
⎭
不是()g x 图像的一个对称中心，故D 错误．
故选：C ．
9．设0.3222,0.3,log 0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小顺序是（ ） A ．c ＜a ＜b B ．c ＜b ＜a C ．a ＜c ＜b D ．b ＜c ＜a
【答案】B
【分析】根据指数函数，对数函数的单调性来判断数值大小. 【详解】
0.30221a =>=，20.30.091b ==<，22log 0.3log 10c =<=；
c b a ∴<<.
故选：B .
10．已知锐角αβ、满足6
π
αβ+=，则
14
sin cos cos sin αβαβ
+的最小值为（ ）
A ．20
B ．18
C ．16
D ．12
【答案】B
【分析】首先由两角和的正弦公式可得1
sin cos cos sin 2
αβαβ+=，再由基本不等式计算可得；
【详解】解：因为6
π
αβ+=
，所以()1
sin sin cos cos sin 2
αβαβαβ+=+=
，所以2sin cos 2cos sin 1αβαβ+=
因为αβ、为锐角，所以sin cos 0αβ>，cos sin 0αβ> 所以
()1414
2sin cos 2cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
2cos sin 8sin cos 2cos sin 8sin cos 2810218sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβ
αβαβαβαβ
=+
++≥+⋅=
当且仅当1
cos sin 2sin cos 2
αβαβ==时取等号， 故选：B
【点睛】本题考查两角和的正弦公式的应用以及基本不等式的应用，属于中档题. 11．如图，椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，点P 在y 轴上，线段FP 交椭圆于
点Q ．若OQ FP ⊥，3FP FQ =，则椭圆的离心率是（ ）
A ．1
3
B ．12
C 2
D 3【答案】D
【分析】由3FP FQ =可得点Q 的横坐标为2
3
c -，再由OQ FP ⊥可求出得点Q 的纵坐
标的绝对值为
2
3
c ，然后将点Q 的坐标代入椭圆方程中化简可求出椭圆的离心率 【详解】解：由题意得(,0)F c -，设00(,)Q x y ， 因为3FP FQ =，所以
023x OF
=
，得02
3
x c =-， 因为OQ FP ⊥，所以()2
2000222339
y x OF x c c c c ⎛⎫=⋅-=-= ⎪⎝⎭，
所以02
y =
， 因为00(,)Q x y 在椭圆上，
所以22
2242199c c a b
+=，
化简得，222222429b c a c a b +=，
因为222b a c =-，所以222222224()29()c a c a c a a c -+=-，
422491540a a c a -+=，得2222
(34)(3)0a c a c --=，
解得
c a =
c a = 故选：D
12．无穷数列{}n a 满足：只要()*
,p q a a p q =∈N ，必有11p q a a ++=，则称{}n a 为“和谐递
进数列”．若{}n a 为“和谐递进数列”，n S 为其前n 项和，且11a =，
22a =，41a =，686a a +=，则2021S =（ ） A ．4713 B ．4714
C ．4715
D ．4716
【答案】B
【分析】根据条件求出数列的前几项，得到数列{}n a 是以3为周期的数列，从而得到答案.
【详解】由题知141a a ==，22a =，所以522a a ==， 同理36a a =，741a a ==，852a a ==， 因为686a a +=，所以364a a ==， 故数列{}n a 是以3为周期的数列，
()()202167332124673124714S S ⨯+==++⨯++=，
故选： B ． 二、填空题
13．已知a b ⊥，2a =，3b =，且32a b +与a b λ-垂直，则λ=______. 【答案】3
2
【分析】由题设向量的垂直关系有0a b ⋅=且(32)()0a b a b λ+⋅-=，而
22
()()3232a b a b a b λλ+-⋅=-，结合已知条件即可求λ的值．
【详解】由题设知：0a b ⋅=且(32)()0a b a b λ+⋅-=， ∴22320a b λ-=，又||2,||3a b ==，
∴32
λ=
. 故答案为：3
2
14．已知双曲线C ：2
21(0)x y m m
-=>的一条渐近线为30x my +=，则双曲线C 的实
轴长为___________. 【答案】23
【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，从而求出3a =，即可求解. 【详解】由渐近线方程30x my +=化简得3
y x m
=-
， 即3
b a m
=，同时平方得2223b a m =，
又双曲线中22,1a m b ==， 故
231m m
=，解得3,0m m ==（舍去）， 所以23,3a a == ，实轴长223a =. 故答案为：23.
15．如图：在ABC 中，222
23
b a
c ac =+-，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，2AC =，
求DBC △的面积最大值___________
2【分析】由余弦定理得出cos B ，平方关系计算出sin B ，利用基本不等式可得3≥ac ，根据111
sin 3
32
==⨯⨯DBC
ABC
S
S ac B 可得答案. 【详解】由余弦定理得2
2
2
213cos 223ac
a c
b B a
c ac +-===
， 因为0B π<<，()2
22
sin 1cos =-=
B B 222224
2333
=+-≥-=b a c ac ac ac ac ，
即4
43
≥
ac ，所以3≥ac 当且仅当a c =等号成立， 因为2AD DC =，
所以11111sin 33
3232==
⨯⨯≤⨯⨯=
DBC
ABC
S
S ac B 所以DBC △的面积最大值为3
. 16．已知函数()x f x xe =，()2ln 2g x x x =，若()()12f x g x t ==，0t >，则12
ln t
x x 的最大值为______________ 【答案】2
e
【分析】由已知等式代入可得12122ln 2x
x t x e x ==，然后结合对数的运算和性质得出
()()1122ln ln 2ln ln 2ln x x x x t +=+=，构造函数()ln 0y x x x =+>并由函数的单调性可得
出()12ln 2x x =，代入到所求式子后得12ln ln 2ln 2
t t t
t x x t ==
，再次构造函数()2ln t h t t
=
，利用导数研究函数的单调性，可知当t e =时，()h t 取得最大值，代入即可求出12
ln t
x x 的最大值.
【详解】解：由题意得，()111x
f x x e t ==，()2222ln 2
g x x x t ==，
11222ln 2x x t x e x ==∴，0t >，
()()1122ln ln 2l l n 2n x x t x e x ==∴，
即()()1122ln ln 2ln ln 2ln x x x x t +=+=， 设()ln 0y x x x =+>，则1
10y x
'=+
>， 可知ln y x x =+在()0,∞+上单调递增， 所以()12ln 2x x =，
则()()112112ln ln 2ln ln 2ln x x x x x x t +=+==， 122x x t ∴=，则122
t x x =
， 12ln ln 2ln 2
t t t
t x x t ∴
==，
令()2ln t
h t t
=
，则()222ln t h t t -'=，
当0t e <≤时，则()0h t '≥，()h t 单调递增， 当0e >时，则()0h t '<，()h t 单调递减， 故当t e =时，()h t 取得最大值()2
h e e
=， 即
12ln t x x 的最大值为2
e
. 故答案为：2
e
.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，解决本题的关键是利用对数的运算进行化简以及构造新函数并灵活利用函数的单调性，属于中档题. 三、解答题
17．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1:4sin C ρθ=，曲线2:4cos C ρθ=. （1）求曲线1C 与2C 的直角坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()6
R π
θρ=
∈，设3C 与1C 和2C 的交点分别为M ，N ，求
MN .
【答案】(1)1C ：2240x y y +-=，2C ：2240x y x +-=；
(2)2. 【分析】(1)根据题设条件结合极坐标与直角坐标互化公式即可作答； (2)在极坐标系中，求出点M ，N 的极径即可得解.
【详解】(1)依题意，点P 在极坐标系和直角坐标系中坐标分别为(,)ρθ，(,)x y ，则有
222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪
=⎨⎪=+⎩
， 由4sin ρθ=得2
4sin ρρθ=，于是得224x y y +=，
由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，于是得224x y x +=，
曲线1C 与2C 的直角坐标方程分别为2240x y y +-=，2240x y x +-=； (2)因为直线3C 经过极点，
于是由4sin 6ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩
得点M 的极径2M ρ=，由4cos 6ρθπ
θ=⎧⎪
⎨=⎪⎩得点N
的极径N ρ=
所以||232M N MN ρρ=-=-. 18．函数()|1|f x x =+
（1）求不等式()5(3)f x f x ≤--的解集；
（2）已知关于x 的不等式2()||4f x x a x ++≤+在 [1,1]-上有解，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）{23}x x -≤≤∣；（2）24a -≤≤.
【分析】（1）分1,12x x <--≤≤和2x >三种情况去掉绝对值，分别解出不等式，可得不等式的解集；
（2）利用[1,1]x ∈-去掉绝对值，参变分离求出最值，可得实数a 的取值范围． 【详解】（1）不等式()5(3)f x f x ≤--，即|1||2|5x x ++-≤，
等价于1125x x x <-⎧⎨---+≤⎩或12125x x x -≤≤⎧⎨+-+≤⎩或2
125x x x >⎧⎨
++-≤⎩
解得：23x -≤≤，
所以原不等式的解集为{23}x
x -≤≤∣. （2）当[1,1]x ∈-时，不等式2()||4f x x a x ++≤+，即||2x a x +≤-， 所以||2x a x +≤-在[1,1]-上有解，
即222a x -≤≤-在[1,1]-上有解，即()max 222a x -≤≤- 所以24a -≤≤.
19．已知抛物线2
1:4C y x =与椭圆22
2221x y C a b
=+=（0a b >>）有公共的焦点，2C 的左、
右焦点分别为1F ，2F ，该椭圆的离心率为1
2.
(1)求椭圆2C 的方程
(2)如图，若直线l 与x 轴，椭圆2C 顺次交于P ，Q ，R （P 点在椭圆左顶点的左侧），且1
PFQ ∠与1PF R ∠互补，求证：直线PR 过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1)22
143
x y +
=
(2)证明见解析，()4,0-
【分析】（1）由抛物线方程求出焦点坐标可得c 的值，再由1
2
c e a ==，222b a c =-求出,a b 的值即可得椭圆2C 的方程；
（2）设()11,Q x y ，()22,R x y ，()11,0F -，直线PQ 方程为(0)x my n m =+≠与椭圆方程联立求出12y y +，12y y ，由题意可得110QF RF k k +=，即
1212011
y y
x x +=++，1222110x y y x y y +++=，将11x my n =+，22x my n =+代入结合12y y +，12y y 求出n 的值
即可求解. (1)
由抛物线2
1:4C y x =可得抛物线的焦点为()1,0，
所以椭圆的半焦距1c =，又因为椭圆的离心率为1
2
c e a ==， 可得2a =，所以222413b a c =-=-=
，即b = 所以椭圆2C 的方程为：22
143
x y +
=. (2)
设()11,Q x y ，()22,R x y ，()11,0F -，
因为1PFQ ∠与1PF R ∠互补，所以110QF RF k k +=， 即
1212011
y y
x x +=++，化简整理，可得1222110x y y x y y +++=①， 设直线PQ 方程为(0)x my n m =+≠，
联立直线与椭圆方程2214
3x my n x y =+⎧⎪
⎨+=⎪
⎩，
化简整理，可得222(34)63120m y mny n +++-=，
2222364(34)(312)0m n m n ∆=-+->，可得2234n m <+②，
由韦达定理可得122634mn y y m +=-+，2122312
34
n y y m -=
+③， 将11x my n =+，22x my n =+代入①，可得12122(1)()0my y n y y +++=④，
再将③代入④，可得2226(4)6(1)
3434
m n mn n m m -+=++，解得：4n =-，
所以直线PQ 的方程为4x my =-，所以直线PR 过定点()4,0-. 【点睛】思路点睛：解决定值、定点的方法，
一、从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关； 二、直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算.
20．如图，直角坐标系中，圆的方程为2
2
1x y +=，1,0A ，13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ，13,22C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
为圆上三个定点，某同学从A 点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．设掷骰子n 次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为()n P A ，()n P B ，()n P C ．例如：掷骰子一次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为()10P A =，()112P B =
，()11
2
P C =．
（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到A ，B ，C 处的概率；
（2）掷骰子N 次时，若以X 轴非负半轴为始边，以射线OA ，OB ，OC 为终边的角的余弦值记为随机变量n X ，求4X 的分布列和数学期望；
（3）记()n n P A a =，()n n P B b =，()n n
P C c =，其中1n n n a b c ++=．证明：数列13n b ⎧
⎫-⎨⎬⎩
⎭是等比数列，并求2020a .
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）证明详见解析，2019
202011132a ⎡⎤
⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
. 【分析】（1）由概率的乘法公式，可得所求值；
（2）随机变量4X 的可能数值为1，1
2-，结合（1）运用概率的乘法公式，可随机变量
4X 的分布列和期望；
（3）易知n n b c =，即11(2)n n b c n --=≥，由条件推得121n n b b -+=，利用构造法可得
1
111362n n b -⎛⎫=+- ⎪
⎝⎭
，从而求得2020a 的值.
【详解】（1）211111()22222P A =⋅+⋅=，2111()224P B =⋅=，2111
()224P C =⋅=
31111111()2222224P A =⨯⨯+⨯⨯=，31113()2428P B ⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭，31113
()2428
P C ⎛⎫=⋅⎪+= ⎝⎭
综上，
（2）随机变量4X 的可能数值为1，1
2
-.
综合（1）得
()()43311()()2P X P B P C ==+⋅
33138828
⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭， ()43311()()22P X P A P C ⎛
⎫=-=+⋅ ⎪⎝
⎭()3315()()28P A P B ++⋅=，
故随机变量4X 的分布列为
()43151
182816
E X =⨯-⨯=.
（3）易知n n b c =，因此，11(2)n n b c n --=≥ 而当2n ≥时，()()111111
22
n n n n n b a c a b ----=
+=+， 又1111n n n a b c ---++=， 即121n n b b -+=. 因此()111122n n n b b b --=
-+111
(2)22
n b n -=-+≥，
故11111
3223n n b b --=-+-111111(2)2623n n b b n --⎛⎫=-+=--≥ ⎪⎝⎭
即数列13n b ⎧
⎫-⎨⎬⎩
⎭是以11136b -=为首项，公比为12-的等比数列.
所以1
111362n n b -⎛⎫
=+- ⎪
⎝⎭
，
又11111212362n n n a b -⎡⎤⎛⎫=-=-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1111111133232n n --⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=--=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
故2019
2020
11132a ⎡⎤
⎛⎫
=+⎢⎥ ⎪⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】本题考查数列与解析几何、概率统计的交会、等比数列的定义与通项公式、随机变量的分布列与期望，考查统计与概率思想、函数与方程思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题. 21．设f(x)=xln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R. （Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；
（Ⅱ）已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞，当0a >时，函数()g x 单调递增区间为
10,2a （），单调递减区间为1,2a
+∞（）； （Ⅱ）12a >
【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出()g x '，然后讨论当0a ≤时，当0a >时的两种情况即得.
（Ⅱ）分以下情况讨论：①当0a ≤时，②当102a <<时，③当12a =时，④当1
2
a >时，综合即得.
试题解析：（Ⅰ）由()ln 22,f x x ax a =-+' 可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞， 则()1122ax
g x a x x
='-=
-， 当0a ≤时，
()0,x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；
当0a >时， 1
0,2x a
∈（）时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 1
,2x a
∈+∞（
）时，()0g x '<，函数()g x 单调递减.
所以当0a ≤时，()g x 单调递增区间为()0,+∞； 当0a >时，函数()g x 单调递增区间为
10,2a （），单调递减区间为1
,2a
+∞（）. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()10f '=.
①当0a ≤时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减. 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增. 所以()f x 在x=1处取得极小值，不合题意. ②当102a <<
时，112a
>，由(Ⅰ)知()f x '在1
0,2a （）内单调递增，
可得当当()0,1x ∈时，()0f x '<，1
1,2x a
∈（）时，()0f x '>， 所以()f x 在(0,1)内单调递减，在
11,2a
（）内单调递增， 所以()f x 在x=1处取得极小值，不合题意. ③当1
2a =
时，即
112a
=时，()f x '在(0,1)内单调递增，在 ()1,+∞内单调递减， 所以当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤， ()f x 单调递减，不合题意. ④当12a >
时，即1012a << ，当1
,12x a
∈（）时，()0f x '>，()f x 单调递增,
当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减， 所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为1
2
a >
. 【解析】应用导数研究函数的单调性、极值,分类讨论思想
【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力及分类讨论思想等. 22．已知函数()n ()l f x x x m m R =--∈.
（1）若函数()f x 有两个零点，求m 的取值范围；
（2）证明：当3m ≥-时，关于x 的不等式()()20x
f x x e +-<在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上恒成立.
【答案】（1）(),1-∞-；（2）证明见解析.
【分析】（1）可得ln m x x =-．令()ln g x x x =-，可得()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，则m g <（1）1=-即可，
（2）()(2)0x f x x e +-<，可得(2)ln x m x e x x >-+-．设()(2)ln x h x x e x x =-+-，1
.[,1]2
x ∈，
1()(1)()x h x x e x
'=--，设1
()x x e x μ=-，21()0x u x e x '=+>．存在01(2x ∈，1)，00()x μ=，即
001x e x =
，00x lnx ∴=-．0
max 000000
1()()(2)12()x
h x h x x e lnx x x x ==-+-=-+，又00
1
412(
)3x x -<-+<-即可． 【详解】解：（1）令()ln 0f x x x m =--=，ln m x x ∴=-． 令()ln g x x x =-．1
1()1x
g x x
x
-∴'=-=
． (0,1)x ∴∈时，()0g x '>，(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，
()g x ∴在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，
且0x →时，()g x →-∞，x →+∞时，()g x →-∞，
∴要使函数()f x 有两个零点，则m g <（1）1=-即可，
m ∴的取值范围的取值范围为：(,1)-∞-．
（2）()(2)0x f x x e +-<，(2)ln x m x e x x ∴>-+-． 设()(2)ln x h x x e x x =-+-，1
.[,1]2
x ∈
1()(1)()x h x x e x
'=--，设1
()x x e x μ=-，21()0x u x e x '=+>．
()x μ∴在1[,1]2
上单调递增，而1
()202μ<，μ（1）10e =->．
01
(2
x ∴∃∈，1)，00()x μ=，即001x e x =，00x lnx ∴=-．
()h x ∴在01
(,)2
x 单调递增，在0(x ，1)单调递减．
∴0
max 000000
1
()()(2)ln 12(
)x
h x h x x e x x x x ==-+-=-+ ∴01(,1)2
x ∈，∴
00
1(2,)5
2
x x +∈，00
1
412(
)3x x ∴-<-+<- 3m ∴-时，关于x 的不等式()(2)0x f x x e +-<在1[,1]2
上恒成立．
【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．。