已知零初始条件的输出响应函数,求传递函数

已知零初始条件的输出响应函数,求传递函数
1. 前言
输出响应函数和传递函数是信号处理中非常重要的两个概念。

输出响应函数是指系统对于某一初始条件下的输入信号，输出的输出信号的数学表达式。

而传递函数指的是系统的输入信号和输出信号之间的函数关系，它是输出响应函数和输入信号的傅里叶变换的比值。

在本文中，我们将重点讨论已知零初始条件的输出响应函数，如何求传递函数。

2. 零初始条件
在讨论之前，我们需要先了解一个概念——零初始条件。

系统的初始条件指的是在系统开始时的状态，这个状态可以是输出信号和/或系统内部变量的初始值。

如果我们希望系统在某一个时刻开始工作时，它的输出信号和系统内部变量都是从零开始的，那么我们就称之为零初始条件（也称为零状态）。

3. 已知输出响应函数
在信号处理的问题中，有时我们会遇到这样的情况：我们已经知道了系统的输出信号的数学表达式，但我们并不清楚该系统的传递函数。

那么我们该如何求解传递函数呢？
假设我们已知某个连续时间系统在零状态下的输出响应函数为：
$$y(t) = \sin(3t) + 2\cos(4t) + 4e^{-2t}$$
我们可以通过傅里叶变换求得该系统的频域特性。

4. 傅里叶变换
傅里叶变换（Fourier Transform）是将时域信号（时间函数）转
换到频域函数的一种数学技术。

它可以将非周期性信号转化为连续的
频谱图。

对于输入信号 $x(t)$，它的傅里叶变换为：
$$X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}
dt$$
而对于输出信号 $y(t)$，我们可以类似地得到其傅里叶变换
$Y(\omega)$。

5. 传递函数
接下来我们需要求得该系统的传递函数 $H(\omega)$。

它定义为
输出信号的傅里叶变换 $Y(\omega)$ 和输入信号的傅里叶变换
$X(\omega)$ 的比值：$H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)}$。

根据以上定义，我们可以推导出传递函数的解析表达式：
$$H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} =
\frac{\mathcal{F}[y(t)]}{\mathcal{F}[u(t)]}$$
其中 $\mathcal{F}$ 表示傅里叶变换，$u(t)$ 表示单位阶跃函数。

在我们的例子中，我们已知输出响应函数，因此可以通过傅里叶变换求得输出信号的频域特性 $Y(\omega)$。

我们仍需求得输入信号的傅里叶变换 $X(\omega)$。

对于单位阶跃函数 $u(t)$，其傅里叶变换为：
$$\mathcal{F}[u(t)] = \frac{1}{j\omega} +
\pi\delta(\omega)$$
其中 $\delta(\omega)$ 表示狄拉克 delta 函数。

于是我们可以得到：
$$H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} =
\frac{\mathcal{F}[y(t)]}{\mathcal{F}[u(t)]} =
\frac{\mathcal{F}[\sin(3t) + 2\cos(4t) + 4e^{-
2t}]}{\frac{1}{j\omega} + \pi\delta(\omega)}$$
6. 传递函数的具体形式
接下来我们需要对 $H(\omega)$ 进行进一步的计算。

首先是第一项 $\mathcal{F}[\sin(3t) + 2\cos(4t) + 4e^{-
2t}]$。

可以利用傅里叶变换的线性性，将其分解为三个单独的傅里叶变换：
$$\mathcal{F}[\sin(3t) + 2\cos(4t) + 4e^{-2t}] =
\mathcal{F}[\sin(3t)] + 2\mathcal{F}[\cos(4t)] +
4\mathcal{F}[e^{-2t}]$$
其中三个傅里叶变换的解析表达式如下：
$$\mathcal{F}[\sin(3t)] = \frac{3}{2j}[\delta(\omega + 3) - \delta(\omega - 3)]$$
$$\mathcal{F}[\cos(4t)] = \frac{1}{2}[2\pi\delta(\omega + 4) + 2\pi\delta(\omega - 4)]$$
$$\mathcal{F}[e^{-2t}] = \frac{1}{j\omega + 2}$$
代入 $H(\omega)$ 的式子中可得：
$$H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} =
\frac{\frac{3}{2j}[\delta(\omega + 3) - \delta(\omega - 3)] + 2\frac{1}{2}[2\pi\delta(\omega + 4) + 2\pi\delta(\omega - 4)] + 4\frac{1}{j\omega + 2}}{\frac{1}{j\omega} +
\pi\delta(\omega)}$$
简化得：
$$H(\omega) = \frac{3}{2j\omega}(\delta(\omega + 3) -
\delta(\omega - 3)) + 2\pi(\delta(\omega + 4) + \delta(\omega - 4))\cdot\frac{1}{j\omega} + \frac{4}{j\omega +
2}\cdot\frac{1}{j\omega}$$
继续化简：
$$H(\omega) = \frac{\frac{3}{2}\sin(3\omega)}{\omega} + \frac{4j\pi}{\omega^2 - 16} + \frac{4j}{\omega(\omega + 2)}$$
至此我们已求得系统的传递函数 $H(\omega)$。

7. 后续计算
在得到传递函数 $H(\omega)$ 之后，我们可以进一步利用拉普拉
斯变换求解系统的时域特性。

这里我们仅介绍其方法，不展开具体计算：
首先将 $H(\omega)$ 对 $\omega$ 进行反傅里叶变换，得到其时
域表达式 $h(t)$。

然后将 $H(\omega)$ 中的 $\omega$ 替换为 $s$，再次进行反傅里叶变换，得到系统的输出响应函数 $y(t)$。

8. 总结
本文简单介绍了已知零初始条件的输出响应函数，如何求解传递
函数的方法。

具体来说，我们需要先通过傅里叶变换求得输出信号的
频域特性，再通过传递函数的定义求解传递函数。

最后可以利用拉普
拉斯变换求解系统的时域特性。

传递函数是信号处理中非常重要的概念，它可以帮助我们更好地
理解系统的性质，实现系统的分析和设计等。

掌握传递函数的求解方
法是信号处理学习的重要内容之一。