常用的基本求导公式

常用的基本求导公式
1．基本求导公式
⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1
)(-='n n
nx x ；一般地，1
)(-='αααx x 。

特别地：1)(='x ，x x 2)(2
='，2
1
)1(x
x -='，x
x 2
1)(
=
'。

⑶ x
x
e e =')(；一般地，)
1,0( ln )(≠>='a a a a
a x
x。

⑷ x
x 1)(ln ='；一般地，)1,0( ln 1
)(log
≠>=
'a a a
x x a。

2．求导法则 ⑴ 四则运算法则
设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）
)0)(( ,)
()
()()()())()((
2
≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别
2
1()
(
)()()
g x g x g x ''=-。

3．微分 函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 4、 常用的不定积分公式 （1）
⎰⎰⎰⎰⎰+==+=+=-≠++=+c
x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 43
,2,),1( 1143
32
21αααα
；
（2） C x dx x
+=⎰||ln 1； C
e
dx e x
x
+=⎰；
)
1,0( ln ≠>+=⎰a a C a a dx a x
x
；
（3）⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 5、定积分
()()|()()
b b a a
f x dx F x F b F a ==-⎰
⑴ ⎰⎰⎰+=+b
a
b
a
b a
dx
x g k dx x f k dx x g k x f k
)()()]()([2121
⑵ 分部积分法
设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则
⎰⎰-=b
a
b a
b
a x du x v x v x u x dv x u )
()()
()()()(
6、线性代数 特殊矩阵的概念 （1）、零矩阵 ,00002
2⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⨯O
（2）、单位矩阵
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=100010001 n I 二阶,10012
2⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⨯I
(3)、对角矩阵
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=n a a a A 000000021 (4)、对称矩阵
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==75253121
2,A a a ji ij
(5)、上三角形矩阵⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=nn n n a a a a a a A 000
022211211
下三角形矩阵
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡=n a a a A 000000021
(6)、矩阵转置
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 21
22221
11211
转置后
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n
n n T a a a a a a a a a A 2122212
12111
6、矩阵运算 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=+h d g c f b e a h g
f e d c
b a
B A
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=dh cf dg ce bh af bg ae h g
f e
d c b a AB
7、MATLAB 软件计算题
例 6 试写出用MATLAB 软件求函数)e ln(2
x
x x y ++=的二阶导数y ''的命令语句。

解：>>clear;
>>syms x y;
>>y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x)); >>dy=diff(y,2)
例：试写出用MATLAB 软件求函数)
e ln(x x y +=的一
阶导数y '的命令语句。

>>clear; >>syms x y;
>>y=log(sqrt(x)+exp(x));
>>dy=diff(y)
例11 试写出用MATLAB软件计算定积分
⎰2 1
d
e
13
x
x
x的命令语句。

解：>>clear;
>>syms x y;
>>y=(1/x)*exp(x^3);
>>int(y,1,2)
例试写出用MATLAB软件计算定积分⎰x
x
x d
e
13
的命令语句。

解：>>clear;
>>syms x y;
>>y=(1/x)*exp(x^3);
>>int(y)
MATLAB软件的函数命令
表1 MATLAB软件中的函数命令
运算符号
典型例题
例1 设某物资要从产地A 1，A 2，A 3调往销地B 1，B 2，B 3，B 4，运输平衡表（单位：吨）和运价表（单位：百元/吨）如下表所示：
运输平衡表与运价表 销
地 产地 B 1 B 2 B 3 B 4 供应
量 B 1 B 2 B 3 B 4
A 1 7 3 11
3 1
1
A 2 4 1 9 2 8 A 3
9 7 4 10
5
需求量
3 6 5 6 20 （1）用最小元素法编制的初始调运方案， （2）检验上述初始调运方案是否最优，若非最优，求最优调运方案，并计算最低运输总费用。

解：用最小元素法编制的初始调运方案如下表所示：
运输平衡表与运价表
找空格对应的闭回路，计算检验数：11
λ＝
1，12
λ＝1，22λ＝0，24λ＝－2
已出现负检验数，方案需要调整，调整量为
1
调整后的第二个调运方案如下表：
运输平衡表与运价表
求第二个调运方案的检验数：
＝－1
11
已出现负检验数，方案需要再调整，调整量为2
调整后的第三个调运方案如下表：
运输平衡表与运价表
求第三个调运方案的检验数：
λ＝2，14λ＝1，22λ＝2，23λ＝1，
12
λ＝9，33λ＝12
31
所有检验数非负，故第三个调运方案最优，最低运输总费用为：
2×3＋5×3＋1×1＋3×8＋6×4＋3×5＝85（百元）
例 2 某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。

今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时分别为6台时、3台时和6台时。

另外，三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300元/件。

由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供应180公斤，工时每天只有150台时。

1．试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大的线
性规划模型。

2. 写出用MATLAB 软件计算该线性规划问题的命令语句。

解：1、设生产甲、乙、丙三种产品分别为x 1件、
x 2件和x 3件，显然x 1，x 2，x 3≥0
线性规划模型为
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤++≤++++=0150636180544300250400max 3
213213213
21x x x x x x x x x x x x S ，，
2．解上述线性规划问题的语句为： >>clear;
>>C=-[400 250 300]; >>A=[4 4 5;6 3 6]; >>B=[180;150]; >>LB=[0;0;0];
>>[X,fval,exitflag]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
例3已知矩阵
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2101111412210101C B A ，，，求：
T
C AB +
解
：
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=+3612201116012101111412210101C AB
例4 设y ＝(1＋x 2)ln
x ，求：y ' 解：
x
x x x x x x x y 2
2
2
1ln 2))(ln 1(ln )1(++
='++'+='
例5 设x
y x
+=
1e ，求：y '
解：
2
2
)1(e )1()1(e )1()e (x x x x x y x
x x +=+'+-+'='
例7 某厂生产某种产品的固定成本为2万元，每多生产1百台产品，总成本增加1万元，销售该产品q 百台的收入为R (q )＝4q －0.5q 2
（万元）。

当产量为多少时，利润最大？最大利
润为多少？
解：产量为q 百台的总成本函数为：C (q )＝q ＋2
利润函数L (q )＝R (q )－C (q )＝－0.5q 2＋3q －2
令ML (q )＝－q ＋3＝0 得唯一驻点 q ＝3（百台）
故当产量q ＝3百台时，利润最大，最大利润为
L (3)＝－0.5×32
＋3×3－2＝2.5（万元）
例8 某物流企业生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000元，而
每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。

解：库存总成本函数q q q C 100000000040)(+= 令0
1000000000
40
1)(2
=-='q
q C 得定义域内的唯一驻点
q ＝200000件。

即经济批量为200000件。

例9 计算定积分：⎰+1
d )
e 3(x x x
解：2
5e 3)e 32
1(d )e 3(|1
2
1
-
=+=+⎰x x
x
x x 例10 计算定积分：⎰+3
12d )2(x x
x
解：
3ln 2326|)|ln 23
1(d )2(|31331
2+=+=+⎰x x x x x
教学补充说明
1. 对编程问题，要记住函数e x ，ln x ，x 在MATLAB 软件中相应的命令函数exp(x)，log(x)，sqrt(x)；
2 对积分问题，主要掌握积分性质及下列三个积分公式：
c x a x x a a
++=
+⎰1
11d （a ≠－1）
c x x x +=⎰
e d e
c
x x x +=⎰||ln d 1
7. 记住两个函数值：e 0
＝1，ln
1＝0。

模拟试题
一、单项选择题：（每小题4分，共20分）
1. 若某物资的总供应量（ C ）总需求量，可增设一个虚销地，其需求量取总供应量与总需求量的差额，并取各产地到该销地的单位运价为0，则可将该不平衡运输问题化为平衡运输问题。

(A) 等于(B) 小于
(C) 大于(D) 不超过
2．某物流公司有三种化学原料A
1，A
2
，A
3。

每公斤原料A
1含B
1
，B
2
，B
3
三种化学成分的含量
分别为0.7公斤、0.2公斤和0.1公斤；每公斤
原料A
2含B
1
，B
2
，B
3
的含量分别为0.1公斤、0.3
公斤和0.6公斤；每公斤原料A
3含B
1
，B
2
，B
3
的
含量分别为0.3公斤、0.4公斤和0.3公斤。

每
公斤原料A
1，A
2
，A
3
的成本分别为500元、300
元和400元。

今需要B
1成分至少100公斤，B
2
成分至少50公斤，B
3
成分至少80公斤。

为列出
使总成本最小的线性规划模型，设原料A
1，A
2
，
A
3
的用量分别为x1公斤、x2公斤和x3公斤，则目标函数为（ D ）。

(A) max S＝500x1＋(B) min S＝100x1＋50x2
300x 2＋400x 3 ＋80x 3
(C) max S ＝100x 1＋50x 2＋80x 3
(D) min S ＝500x 1＋
300x 2＋400x 3
3. 设⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡-=721,7421
x B x
A ，并且A ＝
B ，则x ＝（
C ）。

(A) 4 (B) 3 (C) 2
(D) 1
4．设运输某物品q 吨的成本（单位：元）函数为C (q )＝q 2
＋50q ＋2000，则运输该物品100吨时的平均成本为（ A ）元/吨。

(A) 170 (B) 250 (C) 1700
(D) 17000
5. 已知运输某物品q 吨的边际收入函数为
MR
(q )，则运输该物品从100吨到300吨时的收
入增加量为（ D ）。

(A) )0(d )(300100
C q q MR +⎰ (B) ⎰
100300
d )(q q MR (C) ⎰q q MR d )( (D) ⎰
300
100
d )(q
q MR
二、计算题：（每小题7分，共21分）
6．已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2101111412210101C B A ，，，求：AB
＋C
解：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+3702210116012101111412210101C AB
7. 设3
1ln x
x
y +=，求：y '
解：
2
32
3233
3)1(ln 31)1()1()(ln )1()(ln x x x x x x x x x x y +-+=
+'+⋅-+⋅'='
8. 计算定积分：⎰+10
3
d )
e 2(x
x
x 解：4
7e 2)e 241(d )e 2(|10410
3
-
=+=+⎰x x x x x
三、编程题：（每小题6分，共12分） 9. 试写出用MATLAB 软件求函数)
e ln(
2x x x y ++=的
二阶导数y ''的命令语句。

解：>>clear;
>>syms x y;
>>y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x)); >>dy=diff(y,2)
10. 试写出用MATLAB 软件计算定积分⎰10
d e x
x x 的命令语句。

解：>>clear;
>>syms x y; >>y=x*exp(sqrt(x)); >>int(y,0,1)
四、应用题（第11、12题各14分，第13题19分，共47分）
11. 某物流企业生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000元，而
每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。

解： 库存总成本函数q
q q C 1000000000
40)(+
= 令010********
401)(2
=-='q
q C 得定义域内的惟一驻点q ＝200000件。

即经济批量为200000件。

12. 某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。

今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时分别为6台时、3台时和6台时。

另外，三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300元/件。

由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供应180公斤，工时每天只有150台时。

试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型，并写出用MATLAB 软件计算该线性规划问题的命令语句。

解：设生产甲、乙、丙三种产品分别为x 1件、x 2
件和x 3件，显然x 1，x 2，x 3≥0
线性规划模型为
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤++≤++++=0150636180544300250400max 3
213213213
21x x x x x x x x x x x x S ，，
解上述线性规划问题的语句为： >>clear;
>>C=-[400 250 300]; >>A=[4 4 5;6 3 6]; >>B=[180;150]; >>LB=[0;0;0];
>>[X,fval,exitflag]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
线性规划习题
1. 某物流公司下属企业生产甲、乙两种产品，要用A ，B ，C 三种不同的原料，从工艺资料知道：每生产一件产品甲，需用三种原料分别为1，1，0单位；生产一件产品乙，需用三种原料分别为1，2，1单位。

每天原料供应的能力分别为6，8，3单位。

又知，销售一件产品甲，企业可得利润3万元；销售一件产品乙，企业可得利润4万元。

试写出能使利润最大的线性规划模
型，并用MATLAB 软件计算（写出命令语句，并用MATLAB 软件运行）。

解：设生产甲产品1x 吨，乙产品2
x 吨。

线性规划模型为：
2
1
43m ax x x S +=
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤≤+≤+0
,38262122121x x x x x x x
用MATLAB 软件计算该线性规划模型的命令语句为：
>> clear; >> C=-[3 4]; >> A=[1 1;1 2;0 1]; >> B=[6;8;3]; >> LB=[0;0];
>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB) 2. 某物流公司有三种化学产品A 1，A 2，A 3
都含有三种化学成分B 1，B 2，B 3，每种产品成分含量及价格(元/斤)如下表，今需要B 1成分至少100斤，B 2成分至少50斤，B 3成分至少80斤，试列出使总成本最小的线性规划模型。

相关情况表
解：设生产1
A 产品1
x 公斤, 生产2
A 产品2
x 公斤,
生产3
A 产品3
x 公斤,
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧≥≥++≥++≥++++=0,,803.06.01.0504.03.02.0100
3.01.07.0400300500min 321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x S
3. 某物流企业下属家具厂生产桌子和椅子，产品的销路挺好。

生产每张桌子的利润为12元，每张椅子的利润为10元。

生产每张桌子在该厂的装配中心需要10分钟，在精加工中心需要20分钟；生产每张椅子在装配中心需要14分钟，在精加工中心需要12分钟。

该厂装配中心一天可利用的时间不超过1000分钟，精加工中心一天可利用的时间不超过880分钟。

假设生产桌子和椅子的材料能保证供给。

试写出使企业
获得最大利润的线性规划模型，并用MATLAB 软件计算（写出命令语句，并用MATLAB 软件运行出结果）
解：设生产桌子1
x 张，生产椅子2
x 张
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+≤++=0
,880
12201000
14101012max 212
12
1
2
1x x x x x x x x S MATLAB 软件的命令语句为： >> clear; >> C=-[12 10]; >> A=[10 14; 20 12]; >> B=[1000；880]; >> LB=[0;0];
>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB) 4、某物流企业在一个生产周期内生产甲、乙两种产品，这两种产品分别需要A,B,C,D 四种不同的机床加工，这四种机床的可用工时分别为1500，1200，1800，1400.每件甲产品分别需要A,B,C 机床加工4工时、2工时、5工时；每件乙产品分别需要A,B,D 机床加工3工时、3工时、2工时。

又知甲产品每件利润6元，乙产品每件利润8元。

试写出能获得最大利润的线性规划问
题。

解：设生产甲产品1x 件，乙产品2
x 件。

线性规划模型为： 2
186m ax x x S += ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+≤+0,140021800
5120032150034212121
21x x x x x x x x
用MATLAB 软件计算该线性规划模型的命令语句为：
>> clear;
>> C=-[6 8];
>> A=[4 3;2 3;5 0；0 2];
>> B=[1500；1200；1800；1400];
>> LB=[0;0];
>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
5、 某物流企业用甲、乙两种原材料生产A,B,C
三种产品。

企业现有甲原料30吨，乙原料50吨。

每吨A 产品需要甲原料2吨；每吨B 产品需要甲原料1吨，乙原料2吨；每吨C 产品需要乙原料4吨。

又知每吨A,B,C 产品的利润分别为3万元、2万元和0.5万元。

试写出能获得最大利润的线性规划问题。

解：设生产A 产品1x 吨，B 产品2
x 吨，C 产品3x 吨。

线性规划模型为： 3
215.023m ax x x x S ++= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+0,,50423023213221x x x x x x x
用MATLAB 软件计算该线性规划模型的命令语句为：
>> clear;
>> C=-[3 2 0.5];
>> A=[2 1;2 4];
>> B=[30；50];
>> LB=[0;0；0];
>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)。