高中数学 2.3 1数学归纳法及其应用教案 新人教A版选修2-2

数学归纳法及其应用
考纲要求
1了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单问题
2掌握利用“观察→归纳→猜想→证明”探索问题的方法
重点、难点归纳
1归纳法
由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫做归纳法
2数学归纳法
对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当
n=k(k N，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

这种证明方法就叫做数学归纳法。

学法探秘
数学归纳法是证明有关自然数n的命题的一种方法，应用非常广泛，它是一种完全归纳法。

用数学归纳法证明一个命题必须分为两个步骤：第一步验证n取第一个允许值n0时命题成立；第二步从n=k(k≥n0)时命题成立的假设出发，推证n=k+1时命题也成立。

其中第一步是验证命题的起始正确性，是归纳的基础；第二步则是推证命题正确性的可传递性，是递推的依据。

两个步骤各司其职，缺一不可。

证明步骤与格式的完整与规范是数学归纳法的一个鲜明特征。

需要注意的是：在第二步证明“当n=k+1时命题成立”的过程中，
必须利用“归纳假设”，即必须用上“当n=k 时命题成立”这一条件。

因为“当n=k 时命题成立”实为一个已知条件，而“当n=k+1时命题成立”只是一个待证目标。

“观察→归纳→猜想→证明”是一种十分重要的思维方法，运用这种思维方法既能发现结论，又能证明结论的正确性。

这是分析问题和解决问题能力的一个重要内容，也是近几年高考的一个考查重点。

典型例析
例1用数学归纳法证明
证明：1当n=1时，左边=1-2
1
=2
1，右边=111+=2
1
，所以等式成立。

2
假设当n=k 时，等式成立，
即k
k k k k 21
2111211214
13
12
1
1+++++=--++-+- 。

那么，当n=k+1时，
这就是说，当n=k+1时等式也成立。

综上所述，等式对任何自然数n 都成立。

说明：要证明的等式左边共2n 项，而右边共n 项。

f(k)与f(k+1)相比较，左边增加两项，右边增加一项，并且二者右边的首项也不一样，因此在证明中采取了将
11+k 与2
21+k 合并的变形方式，这是在分析了f(k)与f(k+1)的差异和联系之后找到的方法。

例2(2002年湖南数学联赛试题)已知a 1=1，a 2=3，
a n+2=(n+3)a n+1-(n+2)a n ，若当m≥n 时，a m 的值都能被9整除，求n 的最小值。

解：因为a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝(n ＋3)a n ＋1－(n ＋2)a n ，所以a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝33，a 5＝153，a 6＝873，…。

因为a 5与a 6都能被9整除，所以由递推关系式a n ＋2＝(n ＋3)a n ＋1－(n ＋2)a n 可知a 5后面的所有项都能被9整除。

故n 的最小值为5。

另解：由a n ＋2＝(n ＋3)a n ＋1－(n ＋2)a n 可得a n ＋2－a n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋2)a n ＝(n ＋2)(a n ＋1－a n )＝(n ＋2) (n ＋1)(a n －a n －1) ＝…＝(n ＋2)· (n＋1)·n·(n－1) ·…·4·3·2·(a 2－a 1) ＝(n ＋2)!。

所以a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝1!＋2!＋3!＋…＋n!（n≥1）。

由于a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝33，a 5＝153，并且n≥6时n!能被9整除，所以n 的最小值为5。

例3求证：2
221
31211n ++++ <2-n
1
(n N ，且n≥2)
证明：1当n=2
时，左边=1+41=45<46=23=2-2
1
=右边，不等式成立。

2
假设当n=k(k N ，且k≥2)时不等式成立，
即2
221
31211k ++++ <2-k
1。

那么2
22131211k ++++
+
2
)1(1
+k <2-k 1
+
2
)1(1+k 。

由于2
22)1(1)1(1111])1(112[)112(+=+-+-=++--+-
k k k k k k k k >0
所以2
)1(112++-k k
<1
12+-k 故222131211k ++++
+
2
)1(1
+k <2-
1
1+k
这就是说，当n=k+1时，不等式也是成立的。

综上所述，不等式2
22131211n ++++
<2-n
1(n N ，且n≥2)成立。

说明：求解本题的关键在于证明：2
)1(11
2++-k k
<1
1
2+-
k ，方法有比较法和放缩法。

例4平面内有n 个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点。

证明这n 个圆把平面分成f(n)=n 2
-n+2个部分。

证明：1
当n=1时，平面内只有一个圆，这个圆将整个平面分成
了内外两部分，即f(2)=2；而当n=1时，n 2
-n+2=12
-1+2=2。

这正好说明当n=1时，平面内合条件的n 个圆将平面分成了f(n)=n 2
-n+2个部分。

2
假设合条件的k 个圆将平面分成f(k)=k 2
-k+2个部分，
那么，当n=k+1时，平面内共有合条件的k+1个圆。

原有的k 个圆已经将平面分成了f(k)=k 2
-k+2个部分；而第k+1个圆与原有的k 个圆交出2k 个交点，这2k 个交点将第k+1个圆分成2k 段圆弧，其中的每一段圆弧必将它自身所在的区域一分为二，所以平面的区域数会在f(k)=k 2
-k+2个部分的基础上增加2k 。

也就是说，合条件的k+1个圆分平面为f(k)+2k=k 2
-k+2+2k=k 2
+k+2个部分，而f(k+1)=(k+1)2
-(k+1)+2=k 2
+k+2。

这说明当n=k+1时命题仍然成立。

综上所述，合条件的n 个圆将平面分成f(n)=n 2
-n+2个部分。

强化训练 (略)
创新园地
1楼梯共n 级，每步只能跨上1级或2级，走完该n 级楼梯共有f(n)种不同的走法，则f(n)，f(n-1)，f(n-2)的关系为＿＿＿＿＿＿＿＿。

2已知二次函数f(x)满足f(-1)=0，且x≤f(x)≤2
1
(x 2
+1)对任意实数x 都成立。

(1)求f(1)的值； (2)求f(x)的解析式； (3)求证：])(1)2(1)1(1[
41n f f f +++ >4
2+n n
(n N)。