机械振动——简谐运动的基本概念

旋转矢量
引言：前面介绍了用数学表达式及曲线表示简谐运动中位移和时间的关系。

本节将介绍用旋转矢量表示位移和时间的关系。

引入旋转矢量的优点：
1）形象地了解简谐运动的各个物理量；
2）为简谐运动的合成提供了最简捷的研究方法。

一、 旋转矢量图示法：
一长度为A 的矢量A
在XOY 平面内绕O
点沿逆时针方向旋转，其角速度为ω，在t=0时，矢量与X 轴的夹角为φ；这样的矢量称为
旋转矢量。

在任意时刻，矢量A
与X 轴的夹角
为ϕω+ t ，A
的矢端M 在轴上的投影为) cos(ϕω+=t A x 。

即：旋转矢量本身并不作简谐运动，而是旋转矢量的矢端在X 轴上的投影点在作简谐运动。

在旋转矢量的转动过程中，矢端作匀速圆周运动，此圆称为参考圆。

二、旋转矢量与简谐运动的关系：
简谐振动的方程x=Acos(ωt+φ)， 根据几何学原理可以把它看作一旋转着的矢量A 在x 轴上的投影。

振幅矢量转动一周，相当于振动一个周期。

当一矢量A 绕其一端点o 以角速度
ω 旋转时，另一端点在x 轴或y 轴上的投影点上将作简谐振动。

设t =0时，A 与x 轴夹角为ϕ ，t 时刻，A 转过ω t 角，则矢量端点在x 轴上投影点坐标为x =Asin （ωt+φ）。

显然投影点作简谐振动的振幅、圆频率、初相与A 矢量大小、旋转角速度、初始A 与x 轴夹角一一对应。

当然，投影点的速度和加速度也与简谐振动的速度和加速度相对应。

A ←→ 振幅 ω←→ 圆频率 φ←→ 初相位
ωt+φ←→ 相位
三、旋转矢量的应用： 1．作振动图(演示)：
用旋转矢量A 来表示简谐振动形象直观，一目了然，在以后分析两个以上谐振动合成时十分有用和方便。

旋转矢量图及简诣运动的x-t 图
2．求初相位：
如图，质点在x=A/2处向右运动，3/πϕ-＝ 质点在x=A/2处向左运动，3/πϕ＝ 质点在x=-A/2处向右运动，3/2πϕ-＝
质点在x=-A/2处向左运动，3/2πϕ＝ 3．可以用来求速度和加速度：
矢端M 的速度与加速度大小为A v M ω=、
A a M 2ω=，在X 轴上的投影为
)
t cos() t cos()
t sin() t sin(2
ϕωωϕωϕωωϕω+-=+-=+-=+=A a a A v v M M －
4．振动的合成(第6节内容)
例：一个质点沿x 轴作简谐运动，振幅A=0.06m ，周期T=2s ，初始时刻质点位于x 0=0.03m 处且向x 轴正方向运动。

求：（1）初相位；（2）在x=-0.03m 处且向向x 轴负方向运动时物体的速度和加速度以及质点从这一位置回到平衡位置所需要的最短时间。

解：（1）取平衡位置为坐标原点，质点的运动方程可写为 ()ϕω+=t A x cos
依题意，有A =0.06m ，T=2s ，则12
22-⋅===
s rad T πππω 在t =0时，m A x 03.0cos 06.0cos 0===ϕϕ
0sin 0>-=ϕωA v
因而解得 3
π
ϕ-=
故振动方程为
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=3cos 06.0ππt x （SI ）
用旋转矢量法，则初相位在第四象限，故3
π
ϕ-=。

（2）1t t =时，03.03cos 06.011-=⎪⎭⎫
⎝
⎛-
=ππt x
且⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-31ππt 为第二象限角，故3231πππ=-t
得 t 1=1s ，因而速度和加速度为
11116.03sin 06.0-=⋅-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--==
s m t dt dx v s t πππ 21212230.03cos 06.0-=⋅=⎪⎭⎫ ⎝
⎛--==s m t dt x d a s t πππ
从x=-0.03m 处且向向x 轴负方向运动到平衡位
置，意味着旋转矢量从M 1点转到M 2点，因而所需要的最短时间满足
πππω6
53223=-=∆t 故 s t 83.06
5
65===∆ππ
可见用旋转矢量方法求解是比较简单的。

单摆与复摆
引言：实际发生的振动问题并不象弹簧振子那么简单，大多数比较复杂；例如1）回复力不一定是弹性力，而是重力，浮力等其它性质的力；
2）合外力可能是非线性力，只有在一定的条件下，才能近似当作线性回复力。

此时研究问题的方法一般为：根据问题的性质，突出主要因素，建立合理的物理模型，使计算简化。

下面讨论两个实际振动问题的近似处理。

一、单摆——数学摆（Mathematical Pendulum ） 1．概念：单摆是一个理想化的振动系统：它是由一根无弹性的轻绳挂一个质点构成的。

若把质点从平衡位置略为移开，那么质点就在重力的作用下，在竖直平面内来回摆动。

摆锤——重物 摆线——细绳 平衡位置——O 点 2．动力学方程
讨论摆锤所受的力，有重力mg ，绳的拉力T ，合力即为摆锤所受的回复力为：θsin mg F -=
当θ很小时（θ<50
），sin θ≈θ 因而 F =-mg θ与角位移成正比
又因为摆锤沿圆弧运动，l x l x /＝，θθ=，近似在水平方向上运动。

因而 x l
mg l x mg
F -=-= 故单摆作简谐运动，mg/l 相当于弹簧振子的k 因而单摆的圆频率为 l
g
m k ==
2
ω 3．运动学方程和周期
单摆的振动方程为 ()ϕω+=t x x cos 0
振幅x 0和初相φ由初始条件确定。

由简谐运动的周期公式 k
m T π2＝ 得单摆的周期为 g
l T π
2＝ 4．说明：
1）单摆的合外力与弹性力类似，但本质不同，称为准弹性力； 2）单摆的周期与单摆的质量无关；
3）若单摆的振幅不是很小时，周期的一般表达式为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++ 2sin 43212sin 2112422222m
m g l T θθπ＋＝ 式中θm 为最大摆角，并且含有θm 的各项逐渐减小；
当θm<150时，实际周期与理想周期的误差不超过0.5%。

4）单摆可以当作计时器；
5）单摆提供了一种测量重力加速度的简便装置，只要测出周期T ，则
l
T g 22
4π=
5．单摆的频率
l g T ＝πω2=
l
g
T πν211＝=
二、复摆——物理摆（Physical Pendulum ） 1．概念：质量为m 的任意形状物体，被支持在无摩擦的与纸面垂直的水平轴O 上，将它拉开一个微小的角度θ后释放。

如忽略阻力与摩擦力，则物体将绕轴O 作微小的自由摆动——复摆。

2．运动方程
重力矩： M=-mglsin θ≈-mgl θ 当θ很小时（θ<50），sin θ≈θ 根据转动定律，可得
2
2
dt d J
J mgl θ
βθ＝＝－
故 022＝＋θθJ mgl
dt
d 令 J mgl =2
ω
则 02
22＝＋θωθdt
d
所以复摆也是作简谐运动。

3．周期与频率
mgl J
T π
2＝J
mgl
=ω
4．应用
1）测重力加速度：要求已知J ，l ，测T →g
2）测转动惯量：如果测出摆的质量，重心到转轴的距离以及单摆的周期，就可以得此物体系统绕该轴转动得转动惯量。

有些形状复杂得物体得转动惯量，用数学方法进行计算比较困难，有时甚至是不可能得，但用振动方法可以测定（要求已知g ，l ，测T →J ）。

简谐运动的能量
引言：作简谐运动的系统，除具有动能外，还具有势能，其能量是动能和势能的和。

一、简谐运动的能量 1．能量表达式
以弹性振子为例。

假设在t 时刻质点的位移为x ，速度为v ，则 ()ϕω+=t A x cos
()ϕωω+-=t A v sin
则系统动能为：()ϕωω+==t mA mv E k 2222sin 21
21 系统动能为：()ϕω+=t kA kx E p 2
22cos 2
121＝
因而系统的总能量为
()()ϕωϕωω++=
t kA t mA E E E p k 22222cos 2
1
sin 21＋＋＝
考虑到m
k
＝
2
ω，则 2222
121kA mA E ＝＝ω
即弹簧振子作简谐运动的能量与振幅的平方成正比。

由于系统不受外力作用，并且内力为保守力，故在简谐运动的过程中，动能与势能相互转化，总能量保持不变。

说明：
1．E ∝A 2，对任何简谐运动皆成立； 2．动能与势能都随时间作周期性变化，变化频率是位移与速度变化频率的两倍，而总能量保持不变；且总能量与位移无关。

动能E k =E-E p 2．能量曲线
注意理解能量守恒和动能、势能相互转化过程。

由能量守恒关系可得：k A 2/2= mv 02/2+ kx 02/2，解之即得：
2
02
0⎪⎭
⎫ ⎝⎛+ωv x A ＝
二、能量平均值
定义：一个随时间变化的物理量f(t)，在时间T 内的平均值定义为
()⎰=T
dt t f T f 0
1
因而弹簧振子在一个周期内的平均动能为
()22202224
1
41sin 211kA mA dt t mA T E T
k ==+=⎰ωϕωω
因而弹簧振子在一个周期内的平均势能为
()⎰==+T
p mA kA dt t kA T E 0222224
1
41cos 211ωϕω＝
结论：简谐运动的动能与势能在一个周期内的平均值相等，它们都等于总能量的一半。

三、应用
在忽略阻力的条件下，作简谐运动的系统只有动能和势能（弹性势能和重力势能），且二者之和保持不变，因而有
()0=+p k E E dt
d
将具体问题中的动能与势能表达式代入上式，经过简化后，即可得到简谐运动的微分方程及振动周期和频率。

这种方法在工程实际中有着广泛的应用。

此方法对于研究非机械振动非常方便。

例1．用机械能守恒定律求弹簧振子的运动方程。

解：弹簧振子在振动过程中，机械能守恒，即
C kA kx mv ==+2
222
12121 两边对时间求导，得
0221221=⋅+⋅dt
dx
x k dt dv v m
即
022=⋅+⋅xv k dt
x
d v m
02
2=+x m k
dt
x d 令m k ＝2
ω，则
02
22=+x dt
x d ω 其解为
()ϕω+'=t A x cos
代入守恒方程可得 A=A’
例2．劲度系数为k 、原长为l 、质量为m 的匀质弹簧，一端固定，另一端系一质量为M 的物体，在光滑的水平面上作直线运动，求其运动方程。

解：取物体受力平衡位置O 为坐标原点，向右为x 轴正方向，如图所示，设m <M 且振幅不大。

这样，弹簧上各点随物体作同相运动，固定端振幅为零，与物体相连的一端振幅与物体的振幅相同，各点的位移与到固定端的距离S 成正比(0≤S ≤l )。

当物体位于S 处时，取微元dS ，其质量为dm=mdS/l ，位移为Sx/l ，速度为(S/l)(dx/dt)，而dx/dt=v 正是物体运动的速度。

若忽略阻力，则系统机械能守恒。

当物体位于x 处时，弹簧的动能与物体的动能分别为
202
16121mv v l S dS l m E l
k =⎪⎭⎫
⎝⎛⋅=⎰
222
1
Mv E k =
系统的势能为
22
1kx E P =
根据机械能守恒定律，有
const kx Mv mv ＝＋＋22221
2161 const kx v m M ＝＋2
22
13121⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 将上式对时间求导，整理后可得
031＝＋kx dt dv m M ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+
或写成
0222＝＋x dt
x
d ω
式中 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
m M k 31/2＝ω 可见，当弹簧质量远小于物体的质量时，且系统作微小运动时，弹簧振子的运动可以认为是简谐运动，振动周期为
k
m M T 3
/22+==
π
ω
π
可见，周期比不计弹簧质量时要大。

不过当m=M 时，与严格计算结果相比较，误差也是不大于1％。