2019高三数学人教A版 文一轮课时分层训练26 数系的扩

课时分层训练(二十六)
数系的扩充与复数的引入
(对应学生用书第264页)
A组基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是()
A．i(1＋i)2B．i2(1－i)
C．(1＋i)2D．i(1＋i)
C[A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．
B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数．
C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数．
D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．
故选C．]
2．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝() A．－3 B．－2
C．2 D．3
A[(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题意知a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故选A．]
3．(2016·山东高考)若复数z＝
2
1－i
，其中i为虚数单位，则z
－
＝()
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
B[∵z＝2
1－i ＝
2(1＋i)
(1－i)(1＋i)
＝
2(1＋i)
2＝1＋i，∴z
－
＝1－i.]
4．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋y i，其中x，y是实数，则|x＋y i|＝() A．1 B． 2
C． 3 D．2
B[∵(1＋i)x＝1＋y i，∴x＋x i＝1＋y i.
又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝x ＝1. ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.]
5．(2017·山东高考)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2＝( ) A ．－2i B ．2i C ．－2
D ．2
A [法一：z ＝1＋i i ＝(1＋i )(－i )i (－i )＝1－i ，
z 2＝(1－i)2＝－2i.
法二：(z i)2＝(1＋i)2，－z 2＝2i ，z 2＝－2i. 故选A ．]
6．若i 为虚数单位，图4-4-3中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z
1＋i
的点是( )
图4-4-3
A ．E
B ．F
C ．G
D ．H
D [由题图知复数z ＝3＋i ，
∴z
1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i. ∴表示复数
z
1＋i
的点为H .] 7．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是 ( )
【导学号：79170146】
A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2
B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2
C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2
D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 2
1＝z 22
D [对于A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，是真命题；对于B ，C 易判断是
真命题；对于D ，若z 1＝2，z 2＝1＋3i ，则|z 1|＝|z 2|，但z 21＝4，z 22＝－2＋23
i ，是假命题．] 二、填空题
8．(2016·江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________．
5 [因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5.] 9．已知a ∈R ，若
1＋a i
2－i
为实数，则a ＝________. －12 [1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2＋i ＋2a i －a 5＝2－a 5＋1＋2a 5i.
∵
1＋a i 2－i
为实数，∴1＋2a 5＝0，∴a ＝－1
2.] 10．(2018·南昌模拟)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z |＝________.
【导学号：79170147】
10 [z ＝－1＋i,1－z ＝1－(－1－i)＝2＋i ，
所以|(1－z )·z |＝|(2＋i)(－1＋i)|＝|2＋i|·|－1＋i|＝5×2＝10.]
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．已知复数z 1＝－12＋32i ，z 2＝－12－3
2i ，则下列命题中错误的是 ( ) A ．z 21＝z 2 B ．|z 1|＝|z 2|
C ．z 31－z 32＝1
D ．z 1，z 2互为共轭复数
C [依题意，注意到z 21
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＋32i 2＝1－3
4－32i ＝－12－32i ＝z 2，因此选项
A 正确；注意到|z 1|＝1＝|z 2|，因此选项
B 正确；注意到z 1＝－12－3
2i ＝z 2，
因此选项D 正确；注意到z 31＝z 2
1·
z 1＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝1，同理z 32＝1，因此z 31－z 32＝0，选项C 错误．综上所述，选C ．]
2．(2018·濮阳模拟)计算⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 017
＝( ) A ．－2i B ．0 C ．2i
D ．2
B [∵1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1＋i )(1－i )＝2i
2＝i ，1－i 1＋i
＝－i ，
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 017＝(i 4)504·i ＋[(－i)4]504·(－i)＝i －i ＝0，故选B.] 3．(2018·河南百校联盟模拟)已知复数z 的共轭复数为z ，若⎝ ⎛⎭⎪⎫3z 2＋z 2(1－22i)
＝5－2i(i 为虚数单位)，则在复平面内，复数z 所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
A [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则3z 2＋z
2＝2a ＋b i ， 故2a ＋b i ＝5－2i
1－22i
＝1＋2i ，
故a ＝12，b ＝2，则在复平面内，复数z 所对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，2，位于
第一象限．]
4．已知复数z 1＝cos 15°＋sin 15°i 和复数z 2＝cos 45°＋sin 45°i ，则z 1·z 2＝________. 【导学号：79170148】
12＋3
2i [z 1·
z 2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i ＝cos 60°＋sin 60°i ＝12＋3
2i.]。