高中数学 电子题库 第二章§2 抛物线2.1 北师大版选修11

高中数学 电子题库 第二章§2 抛物线2.1 北师大版选修1-1
1.(2012·驻马店检测)抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( )
A ．(2，0)
B ．(－2，0)
C ．(4，0)
D ．(－4，0)
答案：B
2.在抛物线y 2＝2px (p >0)上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为( ) A.12
B ．1
C ．2
D ．4
解析：选C.由题意p 2
＋4＝5，所以p ＝2. 3.(2012·吉安质检)已知抛物线过点(1，1)，则该抛物线的标准方程是______．
解析：设抛物线为y 2＝2px (p >0)或x 2＝2my (m >0)，把(1，1)代入得1＝2p 或1＝2m ，
∴p ＝12或m ＝12
， ∴抛物线方程为y 2＝x 或x 2＝y .
答案：y 2＝x 或x 2＝y
4.动点P 到点F (2，0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则P 的轨迹方程为______________．
解析：由题意知，P 的轨迹是以点F (2，0)为焦点，以直线x ＋2＝0为准线的抛物线，
所以p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x .
答案：y 2＝8x
[A 级 基础达标]
1.(2012·阜阳检测)过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( )
A ．y 2＝4x 和x 2＝12
y B ．y 2＝4x
C ．y 2＝4x 和x 2＝－12
y D ．x 2＝－12
y 解析：选 C.因为点(1，－2)在第四象限，所以满足条件的抛物线的标准方程是y 2＝
2p 1x (p 1>0)或x 2＝－2p 2y (p 2>0)．将点(1，－2)分别代入上述两个方程，解得p 1＝2，p 2＝14.
因此满足条件的抛物线有两条，它们的方程分别为y 2＝4x 和x 2＝－12
y . 2.设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
解析：选B.由抛物线的方程得p 2＝42
＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6，故选B.
3.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )
A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|
B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2
C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|
D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|
解析：选C.由抛物线方程y 2＝2px (p >0)得准线方程为x ＝－p 2.由定义得|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p 2，则x 1＝|FP 1|－p 2，x 2＝|FP 2|－p 2，x 3＝|FP 3|－p 2
，又2x 2＝x 1＋x 3，所以2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|.
4.(2012·汉中质检)已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点M (m ，－2)到焦点的距离为4，则m ＝________．
解析：由已知，可设抛物线方程为x 2＝－2py .由抛物线定义有2＋p 2
＝4，∴p ＝4，∴x 2＝－8y .将(m ，－2)代入上式，得m 2＝16.∴m ＝±4.
答案：±4
5.已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．
解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52
.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54
. 答案：54
6.设抛物线y 2＝mx (m ≠0)的准线与直线x ＝1的距离为3，求抛物线的方程．
解：当m >0时，由2p ＝m ，得p 2＝m 4
， 这时抛物线的准线方程是x ＝－m 4
. ∵抛物线的准线与直线x ＝1的距离为3，
∴1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－m 4＝3，解得m ＝8. 这时抛物线的方程是y 2＝8x .
同理，当m <0时，抛物线的方程是y 2＝－16x .
[B 级 能力提升]
7.(2012·焦作检测)设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，
A 为垂足．如果直线AF 的斜率是－3，那么|PF |＝( )
A ．4 3
B ．8
C ．8 3
D ．16
解析：选B.如图，设准线l 与x 轴的交点为H ，由直线AF 的斜率为－3，得∠AFH ＝60°，∠FAH ＝30°，∴∠PAF ＝60°.
又由抛物线的定义知|PA |＝|PF |，
∴△PAF 为等边三角形，
由|HF |＝4得|AF |＝8，
∴|PF |＝8.
8.(2011·高考山东卷)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )
A ．(0，2)
B ．[0，2]
C ．(2，＋∞)
D ．[2，＋∞)
解析：选C.圆心到抛物线准线的距离为p ＝4，根据已知只要|FM |>4即可，根据抛物线定义，|FM |＝y 0＋2，由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．
9.设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A 的坐标为(0，2)，若线段FA 的中点B 在抛物线上，则点B 到该抛物线准线的距离为________．
解析：抛物线的焦点F 的坐标为(p 2，0)，线段FA 的中点B 的坐标为(p 4，1)，代入抛物线方程得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 的坐标为(24
，1)，故点B 到该抛物线准线x ＝－22的距离为24＋22＝324
. 答案：324
10.点M 到直线l ：y ＝－1的距离比它到点F (0，2)的距离小1，求点M 的轨迹方程． 解：∵点M 到直线l ：y ＝－1的距离比它到点F (0，2)的距离小1，
∴点M 到点F 的距离与它到直线l ：y ＝－2的距离相等，
即点M 的轨迹是以F (0，2)为焦点，直线l ：y ＝－2为准线的抛物线．
设M 点坐标为(x ，y )，∵p
2
＝2，且开口向上， ∴点M 的轨迹方程为x 2＝8y .
11.(创新题)已知A ，B 为抛物线y 2＝2x 上两个动点，|AB |＝3，求AB 的中
点P 到y 轴距离的最小值．
解：如图所示，分别过点A ，B ，P 作准线l 的垂线，设垂足分别为A 1，B 1，P 1，PP 1交y 轴于Q 点，连接AF ，BF ，由抛物线定义可知|AF |＝|A 1A |，|BF |＝|B 1B |，所以|A 1A |＋|B 1B |＝|AF |＋|BF |.又四边形
ABB 1A 1为梯形，P 1P 是中位线，所以|PP 1|＝12(|A 1A |＋|B 1B |)＝12
(|AF |＋|BF |)，所以|PP 1|≥12|AB |＝32.又|PQ |＝|PP 1|－p 2＝|PP 1|－12，所以|PQ |≥32－12
＝1，当且仅当A ，B ，F 三点共线时取等号．
故AB 的中点P 到y 轴距离的最小值为1.。