北京市朝阳区高三数学上学期期中练习试题 理 北师大版

数学试卷（理工类） 2012.11
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项. 1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =, 集合{}1,3,5A =, {}1,2B =, 则A
(
U
B )等于（ ）
A ．∅
B ．{}5
C ．{}3
D ．{}3,5
2. 已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，若2342,216a a a =+=，则n a 等于（ ）
A ．2
2
-n
B ．32n -
C ．1
2
-n D ．n
2
3.已知平面向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ，且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角为（ ）
A ．
56π B ．23π C ． 3π D ．6
π
4.曲线e ()1
x
f x x =-在0x =处的切线方程为（ ）
A ．10x y --=
B ．10x y ++=
C ．210x y --=
D ．210x y ++=
5.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，点P 在AM 上，且满足2AP PM =，则
()PA PB PC ⋅+的值为（ ）
A ．4-
B ．2-
C ．2
D ．4 6.函数3
3,0,
(),0
x x f x x x --<⎧=⎨
≥⎩的图象与函数()ln(1)g x x =+的图象的交点个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7.函数()f x 是定义域为R 的可导函数，且对任意实数x 都有()(2)f x f x =-成立．若当
1x ≠时，不等式(1)()0x f x '-⋅<成立，设(0.5)a f =，4
()3
b f =，(3)
c f =，则a ，b ，
c 的大小关系是（ ）
A ．b a c >>
B ．c b a >>
C ．a b c >>
D ．b c a >>
8.已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列.对于函数()y f x =，若数列
{}ln ()n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”.现有定义在(0,)+∞上的如
下函数：
①1()f x x
=
， ②2
()f x x =， ③()e x f x =， ④()f x x =
则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ）
A ．①②
B ．③④
C ．①②④
D ．②③④ 第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.设集合{|2}A x x =∈≤R ，B ={x ∈R ∣
}1
262
x <<,则A B = . 10.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和．若569108,24a a a a +=+=，则公差d = ，
10S = .
11.已知角α的终边经过点(3,4)(0)a a a <，则sin α= ，tan(2απ-)= . 12. 在ABC ∆中，若4BA BC ⋅=，ABC ∆的面积为2，则角B = .
13. 已知函数()y f x =满足：(1)=f a （01a <≤），且()1
,()1,()(1)2(),()1,
f x f x f x f x f x f x -⎧>⎪+=⎨
⎪≤⎩
则
(2)=f （用a 表示），若1
(3)=
(2)
f f ，则a = . 14.已知函数()f x x x =.当[,1]x a a ∈+时，不等式(2)4()f x a f x +>恒成立，则实数a 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）
设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知12,3,cos 3
a b C ===． （Ⅰ）求△ABC 的面积； （Ⅱ）求sin()C A -的值． 16.（本小题满分14分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，131n n a S +=+，n *∈N . （Ⅰ）写出23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记n T 为数列{}n na 的前n 项和，求n T ；
（Ⅲ）若数列{}n b 满足10b =，12log (2)n n n b b a n --=≥，求数列{}n b 的通项公式.
17.（本小题满分13分）
函数()sin()(0,0,||)2
f x A x A ωϕωϕπ
=+>><
部分图象如图所示． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并写出其单调递增区间；
（Ⅱ）设函数()()2cos 2g x f x x =+，求函数()g x 在区间[,]64
ππ
-上的最大值和最小值． 18.（本小题满分13分）
已知函数2
()243f x ax x a =+--，a ∈R . （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在[]1,1-上的最大值；
（Ⅱ）如果函数()f x 在区间[]1,1-上存在零点，求a 的取值范围. 19.（本小题满分14分）
设函数()ln f x a x x
1
=+
，a ∈R ． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）当0a >时，若对任意0x >，不等式()2f x a ≥成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）当0a <时，设10x >，20x >，试比较)2(
21x x f +与
2
)
()(21x f x f +的大小并说明理由．
20.（本小题满分13分）
给定一个n 项的实数列12,,
,(N )n a a a n *∈，任意选取一个实数c ，变换()T c 将数列
12,,,n a a a 变换为数列12||,||,,||n a c a c a c ---，再将得到的数列继续实施这样的变
换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c 可以不相同，第(N )k k *
∈次变换记为()k k T c ，其中k c 为第k 次变换时选择的实数.如果通过k 次变换后，数列中的各项均为0，则称11()T c ， 22()T c ，…，()k k T c 为 “k 次归零变换”.
（Ⅰ）对数列：1,3,5,7，给出一个 “k 次归零变换”，其中4k ≤； （Ⅱ）证明：对任意n 项数列，都存在“n 次归零变换”； （Ⅲ）对于数列2
3
1,2,3,
,n n ，是否存在“1n -次归零变换”？请说明理由.
北京市朝阳区2012-2013学年度第一学期高三年级期中练习 数学试卷答案（理工类） 2012.11
一、选择题：
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，因为
1
cos
3
C=，
所以sin C===．………………………2分
所以，
11
sin23
223
ABC
S ab C
==⨯⨯⨯=………………………5分（Ⅱ）由余弦定理可得，2222cos
c a b ab C
=+-
1
49223
3
=+-⨯⨯
⨯
9
=
所以，3
c=． (7)
分
又由正弦定理得，
sin sin
c a
C A
=，
所以，
2
sin3
sin
39
a C
A
c
===．……………………9分因为a b
<，所以A为锐角,
所以，
7
cos
9
A===．……………………11分所以，sin()sin cos cos sin
C A C A C A
-=-
71
393927
=-⨯=
．…………………………………13分
16. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知得，24
a=，
3
16
a=. ……………………………………………2分
由题意，131
n n
a S
+
=+，则当2
n≥时，1
31
n n
a S
-
=+.
两式相减，得14n n a a +=（2n ≥）. ……………………………………………3分 又因为11a =，24a =，
2
1
4a a =， 所以数列{}n a 是以首项为1，公比为4的等比数列，
所以数列{}n a 的通项公式是1
4n n a -=（n *∈N ）. ………………………………5分
（Ⅱ）因为2112323124344n n n T a a a na n -=+++
+=+⨯+⨯+
+⋅，
所以23
14412434(1)44n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+
+-⋅+⋅， ……………………6分
两式相减得，2
1
1431444
4414
n
n n
n n T n n ---=++++-⋅=-⋅-， ………8分
整理得，311
499
n n n T -=
⋅+ (n *∈N ). ………………………………9分 （Ⅲ） 当2n ≥时，依题意得2122log b b a -=,3223log b b a -=,… , 12log n n n b b a --=.
相加得，122232log log log n n b b a a a -=++
+. ……………………………12分
依题意1
22log log 42(1)n n a n -==-.
因为10b =，所以[]212(1)(1)n b n n n =+++-=-（2n ≥）.
显然当10b =时，符合.
所以(1)n b n n =-(n *∈N ). ……………………………………14分
17. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由图可得2A =，
22362
T πππ
=-=， 所以T =π，所以2ω=． …………………………………………………………2分 当6x π=
时，()2f x =，可得 2sin(2)26
ϕπ
⋅+=， 因为||2ϕπ<，所以6
ϕπ
=． ………………………………………………………4分
所以函数()f x 的解析式为()2sin(2)6
f x x π
=+．………………………………5分
函数()f x 的单调递增区间为[,]()36
k k k ππ
π-
π+∈Z ．…………………………7分 （Ⅱ）因为()()2cos 22sin(2)2cos 26
g x f x x x x π
=+=++
2sin 2cos 2cos 2sin 2cos 266x x x ππ
=++ …………………………8分
23cos 2x x =+)3
x π
=+. ………………………10分
因为[,]64x ππ∈-，所以50236
x π
π≤+≤
．
当232x ππ+=，即12x π
=时，函数()g x 有最大值为 ……………12分 当203x π+
=，即6
x π
=-时，函数()g x 有最小值0． ………………13分 18. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当1a =时，则2
()244f x x x =+-
222(2)42(1)6x x x =+-=+-．
因为[]1,1x ∈-，所以1x =时，()f x 的最大值(1)2f =．………………………3分 （Ⅱ）当0a =时，()43f x x =- ,显然在[]1,1-上有零点, 所以0a =时成立.……4分
当0a ≠时，令168(3)8(1)(2)0a a a a ∆=++=++=,
解得1,a =-2a =-． ………………………………………5分 （1） 当1a =-时, 2
2
()2422(1)f x x x x =-+-=-- 由()0f x =，得1[1,1]x =∈-；
当 2a =-时,2
2
1
()4414()2
f x x x x =-+-=--．
由()0f x =，得1
[1,1]2
x =
∈-， 所以当 0,1,2a =--时, ()y f x =均恰有一个零点在[]1,1-上.………………7分 （2）当(1)(1)(7)(1)0f f a a -=-+≤，即17a -≤≤时，
()y f x =在[]1,1-上必有零点. ………………………………………8分
（3）若()y f x =在[]1,1-上有两个零点, 则
0,8(1)(2)0,111,(1)0,(1)0a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪-≥⎪⎪≥⎩或0,
8(1)(2)0,1
11,(1)0,(1)0.
a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨
⎪
-≤⎪⎪≤⎩ …………………12分 解得7a ≥或2a <-．
综上所述，函数()f x 在区间[]1,1-上存在极值点，实数a 的取值范围是
1a ≥-或2a ≤-. ………………………………………13分
19. （本小题满分14分）
解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞. ………………………………………1分 （Ⅰ）由题意2
1
)(,0x x a x f x -='>， ………………………………………2分 （1）当0a >时，
由0)(<'x f 得012<-x x a ，解得a x 1<，函数)(x f 的单调递减区间是)1,0(a ； 由0)(>'x f 得012>-x
x a ，解得a x 1
>，
函数)(x f 的单调递增区间是),1
(∞+a
． …………………………………………4分
（2）当0a ≤时， 由于0x >，所以21
()0a f x x x
'=
-<恒成立，
函数)(x f 的在区间(0),+∞上单调递减． ……………………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）因为对于任意正实数x ，不等式()2f x a ≥成立，即x
x a a 1
ln 2+
≤恒成立． 因为0>a ，由（Ⅰ）可知 当a x 1=
时，函数()ln f x a x x
1
=+有最小值a a a a a a a f ln 1ln )1(-=+=．…7分 所以a a a x f a ln )(2min -=≤，解得1
0e
a <≤．
故所求实数a 的取值范围是1
(0,]e
． ………………………………………9分
（Ⅲ）因为121212
(
)ln 22x x x x f a x x ++2
=+
+，
121212
()()1(ln ln )22f x f x a x a x x x +11
=+++．
1212121212
1
[ln(]22x x x x a x x a x x x x ++=)+=. ……………………………10分
所以121212121212
()()(
)ln 2222x x f x f x x x x x f a a x x x x ++++2
-=+-+
121212()2()
x x a x x x x 2
-=-
+．
（1）显然，当12x x =时，1212()()
(
)22
x x f x f x f ++=
． ……………………11分 （2）当12x x ≠时，因为0,021>>x x 且0a <，
所以2
21>+x x 21x x ，所以
02ln ,122
12
12121<+>+x x x x a x x x x ．………………12分
又121212()02()x x x x x x 2--<+，
所以121212()02()
x x a x x x x 2
--<+
所以02)
()()2(
2121<+-+x f x f x x f ， 即2
)()()2(2121x f x f x x f +<
+． 综上所述，当12x x =时，1212()()
()22
x x f x f x f ++=
；当12x x ≠时，2
)
()()2(2121x f x f x x f +<
+ ．……………………………………………………14分 20. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）方法1：1(4)T ：3,1,1,3;2(2)T ：1,1,1,1;3(1)T ：0,0,0,0．
方法2：1(2)T ：1,1,3,5;2(2)T ：1,1,1,3;3(2)T ：1,1,1,1；4(1)T ：0,0,0,0．．……4分
（Ⅱ）经过k 次变换后，数列记为()()
()12,,
,k k k n a a a ，1,2,
k =．
取1121)2
c a a =
(+,则(1)(1)
12
121||2a a a a ==-，即经11()T c 后，前两项相等； 取(1)(1)2231()2c a a =+，则(2)(2)(2)(1)(1)
123321||2
a a a a a ===-，即经22()T c 后，前3项相等；
… …
设进行变换()k k T c 时，其中(1)(1)
11()2
k k k k k c a a --+=
+，变换后数列变为 ()()()
()()
()12312,,,
,,,
,k k k k k k k k n a a a a a a ++，则()()()
()1231k k k k k a a a a +===
=；
那么，进行第1k +次变换时，取()()
1121()2
k k k k k c a a +++=
+， 则变换后数列变为(1)
(1)(1)(1)(1)(1)(1)
1
23123,,,
,,,,
,k k k k k k k k k k n a a a a a a a ++++++++++，
显然有(1)
(1)(1)
(1)(1)
12312k k k k k k k a a a a a +++++++=====；
… …
经过1n -次变换后，显然有(1)
(1)(1)
(1)(1)
1
231n n n n n n n
a a a a a ------=====； 最后，取(1)
n n n c a -=，经过变换()n n T c 后，数列各项均为0.
所以对任意数列，都存在 “n 次归零变换”． ……………………………………9分 （Ⅲ）不存在“1n -次归零变换”. ………………………………………………10分 证明：首先，“归零变换”过程中，若在其中进行某一次变换()j j T c 时，
12min{,,,}j n c a a a <，那么此变换次数便不是最少.这是因为，这次变换并不是最后的
一次变换（因它并未使数列化为全零），设先进行()j j T c 后，再进行11()j j T c ++，由
11|||||()|i j j i j j a c c a c c ++--=-+，即等价于一次变换1()j j j T c c ++，同理，进行某一步()j j T c 时，12max{,,
,}j n c a a a >；此变换步数也不是最小．
由以上分析可知，如果某一数列经最少的次数的“归零变换”，每一步所取的i c 满足
1212min{,,,}max{,,,}n i n a a a c a a a ≤≤．
以下用数学归纳法来证明，对已给数列，不存在“1n -次归零变换”． （1）当2n =时，对于1,4，显然不存在 “一次归零变换” ，结论成立．
（由（Ⅱ）可知，存在 “两次归零变换”变换：1253(),()22
T T ） （2）假设n k =时成立，即2
3
1,2,3,
,k k 不存在“1k -次归零变换”． 当1n k =+时，假设2
311,2,3,,,(1)k k k k ++存在“k 次归零变换”．
此时，对2
3
1,2,3,
,k k 也显然是“k 次归零变换”，由归纳假设以及前面的讨论
不难知23
1,2,3,
,k k 不存在“1k -次归零变换”，则k 是最少的变换次数，每一次变
换i c 一定满足1k
i c k ≤≤，1,2,
,i k =．
因为111212|
||(1)|||(1)()k k k k k c c c k c c c +++----=+-++
+
1(1)0
k k k k k +≥+->
所以，1
(1)
k k ++绝不可能变换为0，与归纳假设矛盾．
所以，当1n k =+时不存在“k 次归零变换”．
由（1）（2）命题得证． ………………………………………13分。