1.3 用直角坐标表示位移、速度和加速度
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vΒιβλιοθήκη r 1O xv r
y Q (x2, y2, z2)
v r2
v v v 时间 t 内质点的位移为 r = r r 2 1 v v v v r = xi + yj + zk v v v = (x2 x1)i + ( y2 y1) j + (z2 z1)k
二. 速度
v v r x v y v z v = i+ j+ k 1. 平均速度 v = t t t t v v v v dr dx v dy v dz v v 2. 瞬时速度 v = = i + j + k =vxi +vy j +vzk dt dt dt dt
三. 加速度 r v dvy v dvz v d2x v d2 y v d2z v r dv dvx a= = i+ j+ k= 2i + 2 j+ 2k dt dt dt dt dt dt dt v v v v a = axi + ay j + azk
dvy d2 y dvx d2x dvz d2z ax = = 2 , ay = = 2 , az = = 2 dt dt dt dt dt dt
dx dy dz vx = , vy = , vz = dt dt dt dx 2 dy 2 dz 2 2 2 2 速度的大小为 v = vx +vy +vz = ( ) + ( ) + ( ) dt dt dt
速度的方向用方向余弦表示为
vy vx vz cosα = v , cosβ = v , cosγ = v v v v
1.3 用直角坐标表示位移、速度和加速度 用直角坐标表示位移、
一. 位移
v 质点位于P 时刻 t ，质点位于 ，位矢为 r 1
v 时刻 t +t ，质点位于 Q ，位矢为 r 2
建如图所示坐标，则 建如图所示坐标，
z
P(x1, y1, z1)
v v v v r = x1i + y1 j + z1k 1 v v v v r2 = x2i + y2 j + z2k
作业 1.11、1.14 、
求 (1) t =1s 到 t =2s 质点的位移 (3) 轨迹方程
v v a (2) t =2s 时 v ，
v v v v v v r = 4i 2 j r = 2i + j 解 (1) 由运动方程得 2 1 v v v v v v v r = r2 r = (4 2)i + (2 1) j = 2i 3 j 1 v v 2v v v v r dr v d r dv (2) v = = 2i 2t j a= 2 = = 2 j dt dt dt v v v v v a2 = 2 j 当 t =2s 时 v2 = 2 i 4 j
(3) x = 2t
y = 2 t
2
轨迹方程为
y = 2 x2 / 4
v v 2. 第二类问题 已知加速度和初始条件， 已知加速度和初始条件，求 v , r v v v v v v 例 已知 a =16 j , t =0 时，v0 = 6i , r = 8k 0 r 求 v 和运动方程 r v v v t v v dv v 解 由已知有 = a =16 j ∫vr0dv =∫016dt j dt v v v v v v v -v0 =16t j v = 6i +16t j 代入初始条件 v v r v v t v dr v =v ∫rv0 dr =∫0 (6i +16t j )dt dt v v v v v 2v r = 6t i + 8t j + 8k r0 = 8k 代入初始条件
dvx 2 dvy 2 dvz 2 r 2 2 2 大小为 a = ax + ay + az = ( ) +( ) +( ) dt dt dt
方向用方向余弦表示为
ax cosα ′ = v a
ay cosβ ′ = v a
az cosγ ′ = v a
四. 运动学的二类问题
v v 1. 第一类问题 已知运动学方程，求 v , a 已知运动学方程， v v 2 v 例 已知一质点运动方程 r = 2t i + (2 t ) j
y Q (x2, y2, z2)
v r2
v v v 时间 t 内质点的位移为 r = r r 2 1 v v v v r = xi + yj + zk v v v = (x2 x1)i + ( y2 y1) j + (z2 z1)k
二. 速度
v v r x v y v z v = i+ j+ k 1. 平均速度 v = t t t t v v v v dr dx v dy v dz v v 2. 瞬时速度 v = = i + j + k =vxi +vy j +vzk dt dt dt dt
三. 加速度 r v dvy v dvz v d2x v d2 y v d2z v r dv dvx a= = i+ j+ k= 2i + 2 j+ 2k dt dt dt dt dt dt dt v v v v a = axi + ay j + azk
dvy d2 y dvx d2x dvz d2z ax = = 2 , ay = = 2 , az = = 2 dt dt dt dt dt dt
dx dy dz vx = , vy = , vz = dt dt dt dx 2 dy 2 dz 2 2 2 2 速度的大小为 v = vx +vy +vz = ( ) + ( ) + ( ) dt dt dt
速度的方向用方向余弦表示为
vy vx vz cosα = v , cosβ = v , cosγ = v v v v
1.3 用直角坐标表示位移、速度和加速度 用直角坐标表示位移、
一. 位移
v 质点位于P 时刻 t ，质点位于 ，位矢为 r 1
v 时刻 t +t ，质点位于 Q ，位矢为 r 2
建如图所示坐标，则 建如图所示坐标，
z
P(x1, y1, z1)
v v v v r = x1i + y1 j + z1k 1 v v v v r2 = x2i + y2 j + z2k
作业 1.11、1.14 、
求 (1) t =1s 到 t =2s 质点的位移 (3) 轨迹方程
v v a (2) t =2s 时 v ，
v v v v v v r = 4i 2 j r = 2i + j 解 (1) 由运动方程得 2 1 v v v v v v v r = r2 r = (4 2)i + (2 1) j = 2i 3 j 1 v v 2v v v v r dr v d r dv (2) v = = 2i 2t j a= 2 = = 2 j dt dt dt v v v v v a2 = 2 j 当 t =2s 时 v2 = 2 i 4 j
(3) x = 2t
y = 2 t
2
轨迹方程为
y = 2 x2 / 4
v v 2. 第二类问题 已知加速度和初始条件， 已知加速度和初始条件，求 v , r v v v v v v 例 已知 a =16 j , t =0 时，v0 = 6i , r = 8k 0 r 求 v 和运动方程 r v v v t v v dv v 解 由已知有 = a =16 j ∫vr0dv =∫016dt j dt v v v v v v v -v0 =16t j v = 6i +16t j 代入初始条件 v v r v v t v dr v =v ∫rv0 dr =∫0 (6i +16t j )dt dt v v v v v 2v r = 6t i + 8t j + 8k r0 = 8k 代入初始条件
dvx 2 dvy 2 dvz 2 r 2 2 2 大小为 a = ax + ay + az = ( ) +( ) +( ) dt dt dt
方向用方向余弦表示为
ax cosα ′ = v a
ay cosβ ′ = v a
az cosγ ′ = v a
四. 运动学的二类问题
v v 1. 第一类问题 已知运动学方程，求 v , a 已知运动学方程， v v 2 v 例 已知一质点运动方程 r = 2t i + (2 t ) j