2017-2018学年高中数学人教A版选修2-1教师用书：第3章 3-2 第3课时 空间向量与空间角 含答案 精品

第3课时 空间向量与空间角
1.会用向量法求线线、线面、面面的夹角.(重点、难点)
2.正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系.(易错点
)
教材整理 空间角的向量求法
阅读教材P 106～P 110的内容，完成下列问题.
【答案】 |cos 〈a ，b 〉|
|a ||b | |cos 〈a ，n 〉| |a ||n |
|cos 〈n 1，n 2〉|
已知向量m ，n 分别是直线l 与平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－3
2
，则l 与α所成的角为( )
A.30°
B.60°
C.150°
D.120°
【解析】 设l 与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝3
2
，∴θ＝60°，应选B.
【答案】 B
如图顶点A ，
B ，V 分别在x 轴、y 轴、z 轴上，D 是线段AB 的中点，且A
C ＝BC ＝2，∠VDC ＝θ.当θ＝
π
3
时，求异面直线AC 与VD 所成角的余弦值.
图3­2­20
【精彩点拨】
确定A ，C ，V ，D 的坐标
→求向量AC →与VD → →
计算cos 〈AC →，VD →
〉的大小，并转化为AC 与VD 夹角的余弦值
【自主解答】 由于AC ＝BC ＝2，D 是AB 的中点， 所以C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，D (1,1,0). 当θ＝π
3时，在Rt△VCD 中，CD ＝2，∴V (0,0, 6)，
∴AC →＝(－2,0,0)，VD →
＝(1,1，－6)， ∴cos〈AC →，VD →
〉＝AC →·VD →|AC →||VD →|＝－22×22＝－24.
∴异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为
24
.
1.几何法求异面直线的夹角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角，再解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向量进行运算即可.
2.由于两异面直线夹角θ的范围是⎝
⎛⎦⎥⎤0，π2，而两向量夹角α的范围是，故应有cos θ
＝|cos α|，求解时要特别注意.
1.在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，已知DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值.
【解】 以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则A 1(4,0,3)，B (4,4,0)，B 1(4,4,3)，C (0,4,0)，
得A 1B →＝(0,4，－3)，B 1C →
＝(－4,0，－3).
设A 1B →
与B 1C →
的夹角为θ，则cos θ＝A 1B →·B 1C
→
|A 1B →||B 1C →|＝9
25，
故A 1B →与B 1C →
的夹角的余弦值为925
，
即异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为9
25
.
如图3­2­21所示，三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA ＝AC ＝1
2
AB ，N
为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点.
图3­2­21
(1)证明：CM ⊥SN; 【导学号：37792141】 (2)求SN 与平面CMN 所成角的大小. 【精彩点拨】 (1)怎样建立坐标系？
(2)向量CM →与SN →
满足什么关系时有CM ⊥SN 成立？
(3)SN →的坐标是多少？平面CMN 的一个法向量怎么求？SN →
与平面CMN 的法向量的夹角就是SN 与平面CMN 所成的角吗？
【自主解答】 设PA ＝1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴正向建立空间直角坐标系(如图
).
则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)，又AN ＝1
4AB ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点，
∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，S ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0， (1)证明：CM →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，－1，12，SN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，0，
∴CM →·SN →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，－1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，0＝0，
因此CM ⊥SN .
(2)NC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，0，设a ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，
∴CM →·a ＝0，NC →
·a ＝0. 则⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＋1
2z ＝0，－1
2x ＋y ＝0，
∴⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝2y ，z ＝－2y .
取y ＝1，得a ＝(2,1，－2). 因为cos 〈a ，SN
→＝－1－
123×
2
2
＝－2
2.
∴〈a ，SN →
〉＝34
π.
所以SN 与平面CMN
所成的角为34π－π2＝π
4
.
1.本题中直线的方向向量SN →
与平面的法向量a 的夹角并不是所求线面角θ，它们的关
系是sin θ＝|cos 〈SN →
，a 〉|.
2.若直线l 与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：
2.设在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝90°，E ，F 依次为C 1C ，BC 的中点.试求A 1B 与平面AEF 的夹角的正弦值.
【导学号：37792142】
图3­2­22
【解】 以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A (0,0,0)，A 1(0,0,2)，B (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,1,0)，所以A 1B →＝(2,0，－2)，AE →
＝(0,2,1)，AF →
＝(1,1,0).设平面AEF 的一个法向量为n ＝(a ，b ，c )，
由⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·AE →＝0，
n ·AF →＝0，
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
2b ＋c ＝0，
a ＋
b ＝0，
令a ＝1，可得n ＝(1，－1,2). 设A 1B 与平面AEF 的夹角为θ，
所以sin θ＝|cos 〈n ，A 1B →
〉|＝|n ·A 1B →
||n ||A 1B →|
＝36，即A 1B 与平面AEF 的夹角的正弦值为36.
探究 【提示】 当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.
如图3­2­23，直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝
CB ＝
2
2
AB .
图3­2­23
(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ； (2)求二面角D ­A 1C ­E 的正弦值.
【精彩点拨】 (1)能否运用线面平行的判定定理求解？
(2)如何建立空间直角坐标系，能确定平面DA 1C 和平面A 1CE 的法向量，进而利用公式求出二面角的正弦值？
【自主解答】 (1)证明：连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点. 又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD .
(2)由AC ＝CB ＝2
2
AB ， 得AC ⊥BC .
以C 为坐标原点，CA →，CB →，CC 1→
的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，CD →＝(1,1,0)，CE →
＝
(0,2,1)，CA 1→
＝(2,0,2).
设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量， 则⎩⎪⎨
⎪⎧ n ·CD →＝0，
n ·CA 1→＝0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧ x 1＋y 1＝0，
2x 1＋2z 1＝0.
可取n ＝(1，－1，－1).
同理，设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面A 1CE 的法向量， 则⎩⎪⎨
⎪⎧
m ·CE →＝0，
m ·CA 1→＝0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
2y 2＋z 2＝0，
2x 2＋2z 2＝0.
可取m ＝(2,1，－2).
从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝6
3
.
即二面角D ­A 1C ­E 的正弦值为
6
3
.
用向量法求二面角的大小，可以避免作出二面角的平面角这一难点，转化为计算两半平面法向量的夹角问题，具体求解步骤如下：
建立空间直角坐标系；
分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量； 求两个法向量的夹角；
判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角； 确定二面角的大小.
3.如图3­2­24，在空间直角坐标系Cxyz 中，AB 是半圆O 的直径，AC ＝BC ＝22，DC ∥EB ，
DC ＝EB ，tan∠EAB ＝1
4
，求二面角D ­AE ­B 的余弦值.
【导学号：37792116】
图3­2­24
【解】 由题可知AB ＝4，tan∠EAB ＝1
4
，可得CD ＝EB ＝1，∴D (0,0,1)，E (0,22，1)，
A (22，0,0)，
B (0，22，0)，则AB →＝(－22，22，0)，BE →＝(0,0,1)，DA →
＝(22，0，
－1)，DE →
＝(0,22，0)，
设平面DAE 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨
⎪⎧ n 1·DE →＝0，
n 1·DA →＝0，
即⎩⎨
⎧
22y 1＝0，
22x 1－z 1＝0.
∴y 1＝0，令x 1＝1，则z 1＝22，∴平面DAE 的一个法向量为n 1＝(1,0,22). 设平面ABE 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨
⎪⎧
n 2·BE →＝0，
n 2·AB →＝0，
即⎩⎨
⎧
z 2＝0，
－22x 2＋22y 2＝0，
∴z 2＝0，令x 2＝1，则y 2＝1，
∴平面ABE 的一个法向量为n 2＝(1,1,0)， ∴cos〈n 1，n 2〉＝
n 1·n 2|n 1||n 2|＝12×9＝2
6
.
由图可以判断二面角D ­AE ­B 为钝角， ∴二面角D ­AE ­B 的余弦值为－
2
6
.
1.在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成的角的正弦值为( )
A.－
105 B.105 C.－155 D.155
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D (0,0,0)，
B (2,2,0)，B 1(2,2,2)，E (0,2,1).
∴BD →＝(－2，－2,0)，BB 1→＝(0,0,2)，BE →
＝(－2,0,1). 设平面B 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z ). ∵n ⊥BD →，n ⊥BB 1→，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
－2x －2y ＝0，2z ＝0，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－y ，
z ＝0.
令y ＝1，则n ＝(－1,1,0). ∴cos〈n ，BE →
〉＝n ·BE →|n ||BE →|
＝105，
设直线BE 与平面B 1BD 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，BE →
〉|＝105.
【答案】 B
2.如图3­2­25，在正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )
【导学号：37792143】
图3­2­25
A.15
B.25
C.35
D.45
【解析】 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz (图略)，设AB ＝1.
则B (1,1,0)，A 1(1,0,2)，A (1,0,0)，D 1(0,0,2)，A 1B →＝(0,1，－2)，AD 1→
＝(－1,0,2)， cos 〈A 1B →
，AD 1→
〉＝A 1B →·AD 1
→
|A 1B →||AD 1→|
＝－45×5＝－45，
∴异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为4
5.
【答案】 D
3.在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为________.
【解析】 设a ＝(0，－1,3)，b ＝(2,2,4)，则cos 〈a ，b 〉＝
10
10×24＝156，又因
为两向量的夹角与二面角相等或互补，所以这个二面角的余弦值为±
156
. 【答案】 ±
156
4.如图3­2­26，在三棱锥P ­ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA ＝BP ＝BQ ，D ，C ，E ，F 分别是
AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ ＝2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH .
图3­2­26
(1)求证：AB ∥GH ；
(2)求二面角D ­GH ­E 的余弦值.
【解】 (1)证明：因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，所以EF ∥AB ，DC ∥AB ，所以EF ∥DC .
又因为EF ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD .
又因为EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ， 所以EF ∥GH .又因为EF ∥AB ，所以AB ∥GH . (2)在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ， 所以∠ABQ ＝90°.又因为PB ⊥平面ABQ ， 所以BA ，BQ ，BP 两两垂直.
以点B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设BA ＝BP ＝BQ ＝2，
则E (1,0,1)，F (0,0,1)，Q (0,2,0)，D (1,1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)，所以EQ →＝(－1,2，－1)，FQ →＝(0,2，－1)，DP →＝(－1，－1,2)，CP →
＝(0，－1,2).
设平面EFQ 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，
由m ·EQ →＝0，m ·FQ →＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧ －x 1＋2y 1－z 1＝0，2y 1－z 1＝0，
取y 1＝1，得m ＝(0,1,2).
设平面PDC 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，
由n ·DP →＝0，n ·CP →＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2－y 2＋2z 2＝0，－y 2＋2z 2＝0，取z 2＝1，得n ＝(0,2,1). 所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝45. 因为二面角D ­GH ­E 为钝角，
所以二面角D ­GH ­E 的余弦值为－45
.。