黄石市九年级上册期末精选试卷检测题

黄石市九年级上册期末精选试卷检测题
一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）
1．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+1＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；
（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k ＝2，求该矩形的对角线L 的长．
【答案】（1）k ＞
34；（2 【解析】
【分析】
（1）根据关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；
（2）当k=2时，原方程x 2-5x+5=0，设方程的两根是m 、n ，则矩形两邻边的长是m 、n ，
利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.
【详解】
解：（1）∵方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×1×(k 2＋1)＝4k －3＞0，
∴k ＞34
； (2)当k ＝2时，原方程为x 2－5x ＋5＝0，
设方程的两个根为m ，n ，
∴m ＋n ＝5，mn ＝5，
=
=. 【点睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．
2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=12 cm ，BC=16 cm ．点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 cm/s 的速度移动．如果 P 、 Q 分别从 A 、B 同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为 t 秒．
（1）当 t 为何值时，△PBQ的面积等于 35cm2？
（2）当 t 为何值时，PQ的长度等82cm？
（3）若点 P，Q的速度保持不变，点 P在到达点 B后返回点 A，点 Q在到达点 C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当 t为何值时，△PCQ的面积等于 32cm2？
【答案】（1）t为5或7；（2）t为4
5
或4；（3）t为4或16
【解析】
【分析】
（1）分别用含t的代数式表示PB，BQ的长，利用面积公式列方程求解即可．
（2）分别用含t的代数式表示PB，BQ的长，利用勾股定理列方程求解即可．
（3）分段要清楚，，P，Q都没有返回，表示好PB，CQ的长，用面积公式列方程，，P不返回，Q返回，表示好PB，CQ的长，用面积公式列方程，，两点都返回，表示好PB，CQ的长，用面积公式列方程即可得到答案．【详解】
解：（1），.
根据三角形的面积公式，得，
即，
整理，得，
解得，.
故当为5或7时，的面积等于35.
（2）根据勾股定理，得，
整理，得，
解得，.
故当为或4时，的长度等于.
（3）①当时，，，
由题意，得，
解得：，（舍去）.
②当时，，，
由题意，得，次方程无解.
③当时，，，
由题意，得，
解得：（舍去），.
综上所述，当为4或16时，的面积等于.
【点睛】
本题考查的是在运动过程中应用一元二次方程解决实际问题，建立正确情境下的几何模型是解决问题的关键，特别是最后一问，关键是弄懂分段的时间界点，才能正确的表示PB，CQ的长．
3．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．
（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；
（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：
①∠FCD的最大度数为；
②当FC∥AB时，AD= ；
③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;
④△FCD的面积s的取值范围是 .
【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.
【解析】
试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.
（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.
②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.
③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.
④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.
∵CD=10，∴AD=2.
（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.
∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."
② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，
∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.
∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.
∵AC=12，∴AD=.
③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，
由②知DH=3，FH=，则HC=.
在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.
∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，
∴，即，解得.
④设AD=x，易知，即.
而，
当时，；当时，.
∴△FCD的面积s的取值范围是.
考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.
4．如图，在矩形ABCD 中，6AB = ，10BC = ，将矩形沿直线EF 折叠．使得点A 恰好落在BC 边上的点G 处，且点E 、F 分别在边AB 、AD 上（含端点），连接CF .
（1）当32BG = 时，求AE 的长；
（2）当AF 取得最小值时，求折痕EF 的长；
（3）连接CF ，当△FCG 是以CG 为底的等腰三角形时，直接写出BG 的长.
【答案】（1）92AE =
；（2）62EF =3）185
BG =. 【解析】
【分析】 （1）根据折叠得出AE=EG ，据此设AE=EG=x ，则有BE=6-x ，由勾股定理求解可得；
（2）由FG ⊥BC 时FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，显然四边形AEGF 是正方形，从而根据勾股定理可得答案；
（3）由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：①FG=FC ；②FG=GC ；分别求解可得．
【详解】
（1）由折叠易知，AE EG =，设AE EG x ==，则有6BE x =-，
由勾股定理，得()(222632x x =-+，解得92x =，即92
AE = （2）由折叠易知，AF FG =，而当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，
当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，
当FG BC ⊥时，点E 与点B 重合，
此时四边形AEGF 是正方形，
∴折痕226662EF =+=
（3）由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：
①当FG=FC 时，如图2，过F 作FH ⊥CG 于H ，
则有：AF=FG=FC，CH=DF=GH
设AF=FG=FC=x，则DF=10-x=CH=GH 在Rt△CFH中
∵CF2=CH2+FH2
∴x2=62+（10-x）2
解得：x=34
5
，
∴DF=CH=GH=10-16
5
，
即BG=10-16
5
×2=
18
5
，
②当FG=GC时，则有：AF=FG=GC=x，CH=DF=10-x；∴GH=x-（10-x）=2x-10，
在Rt△FGH中，由勾股定理易得：x2=62+（2x-10）2，化简得：3x2-40x+136=0，
∵△=（-40）2-4×3×136=-32＜0，
∴此方程没有实数根．
综上可知：BG=18
5
．
【点睛】
本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形和翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程根与系数的关系等知识点，也考查了分类讨论的数学思想．
5．定南县某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9．8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？
【答案】（1）10%；（2）方案②
【解析】
试题分析：首先设下调的百分率为x ，根据题意列出方程进行求解，得出答案；分别求出两种方案所需要花费的钱数，然后进行比较．
试题解析：（1）设平均每次下调的百分率是x ，依题意得，4000（1-x ）2=3240
解之得：x=0．1=10%或x=1．9（不合题意，舍去）
答：平均每次下调的百分率是10%．
（2）方案①实际花费=100×3240×98%=317520元 方案②实际花费=100×3240-
100×80=316000元
∵317520＞316000 ∴方案②更优惠
考点：一元二次方程的应用
二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难） 6．在平面直角坐标系中，抛物线2
2(0)y ax bx a =++≠经过点(2,4)A --和点(2,0)C ，与y 轴交于点D ，与x 轴的另一交点为点B ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BD ，在抛物线上是否存在点P ，使得2PBC BDO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC ，交y 轴于点E ，点M 是线段AD 上的动点（不与点A ，点D 重合），将CME △沿ME 所在直线翻折，得到FME ，当FME 与AME △重叠部分的面积是AMC 面积的14
时，请直接写出线段AM 的长． 【答案】（1）22y x x =-++；（2）存在，（23，209）或（103，529
-）；（3）105
或2 【解析】
【分析】
（1）根据点A 和点C 的坐标，利用待定系数法求解；
（2）在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，构造出
∠PBC=∠BDE ，分点P 在第三象限时，点P 在x 轴上方时，点P 在第四象限时，共三种情况分别求解；
（3）设EF 与AD 交于点N ，分点F 在直线AC 上方和点F 在直线AC 下方时两种情况，利用题中所给面积关系和中线的性质可得MN=AN ，FN=NE ，从而证明四边形FMEA 为平行四边形，继而求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线22(0)y ax bx a =++≠经过点A （-2，-4）和点C （2，0），
则44220422a b a b -=-+⎧⎨=++⎩，解得：11
a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为22y x x =-++；
（2）存在，理由是：
在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，
在22y x x =-++中，
令y=0，解得：x=2或-1，
∴点B 坐标为（-1，0），
∴点E 坐标为（1，0），
可知：点B 和点E 关于y 轴对称，
∴∠BDO=∠EDO ，即∠BDE=2∠BDO ，
∵D （0，2），
∴=，
在△BDE 中，有12×BE ×OD=12
×BD ×EF ，
即2×EF ，解得：EF=
5，
∴5，
∴tan ∠BDE=EF DF =43， 若∠PBC=2∠BDO ，
则∠PBC=∠BDE ，
∵BE=2，
则BD 2+DE 2＞BE 2，
∴∠BDE 为锐角，
当点P 在第三象限时，
∠PBC 为钝角，不符合；
当点P 在x 轴上方时，
∵∠PBC=∠BDE ，设点P 坐标为（c ，22c c -++）， 过点P 作x 轴的垂线，垂足为G ，
则BG=c+1，PG=22c c -++，
∴tan ∠PBC=PG BG =221
c c c -+++=43， 解得：c=23
， ∴22c c -++=
209， ∴点P 的坐标为（23，209
）；
当点P 在第四象限时，
同理可得：PG=22c c --，BG=c+1，
tan ∠PBC=PG BG =221
c c c --+=43， 解得：c=103
， ∴22c c -++=529
-， ∴点P 的坐标为（103，529
-）， 综上：点P 的坐标为（
23，209）或（103，529-）；
（3）设EF 与AD 交于点N ，
∵A （-2，-4），D （0，2），设直线AD 表达式为y=mx+n ， 则422m n n -=-+⎧⎨=⎩，解得：32m n =⎧⎨=⎩
， ∴直线AD 表达式为y=3x+2，
设点M 的坐标为（s ，3s+2），
∵A （-2，-4），C （2，0），设直线AC 表达式为y=m 1x+n 1， 则11114202m n m n -=-+⎧⎨=+⎩，解得：11
12m n =⎧⎨=-⎩， ∴直线AC 表达式为y=x-2，
令x=0，则y=-2，
∴点E 坐标为（0，-2），
可得：点E 是线段AC 中点，
∴△AME 和△CME 的面积相等，
由于折叠，
∴△CME ≌△FME ，即S △CME =S △FME ，
由题意可得：
当点F 在直线AC 上方时，
∴S △MNE =14
S △AMC =12S △AME =12S △FME ， 即S △MNE = S △ANE = S △MNF ，
∴MN=AN ，FN=NE ，
∴四边形FMEA 为平行四边形， ∴CM=FM=AE=12AC=221442
+22 ∵M （s ，3s+2）， ()()2223222s s -++=
解得：s=45
-或0（舍），
∴M （45-
，2
5
-）， ∴AM=2
2
422455⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=
6105，
当点F 在直线AC 下方时，如图， 同理可得：四边形AFEM 为平行四边形， ∴AM=EF ，
由于折叠可得：CE=EF ， ∴AM=EF=CE=22，
综上：AM 的长度为10
5
或22 【点睛】
本题是二次函数综合题，涉及到待定系数法，二次函数的图像和性质，折叠问题，平行四边形的判定和性质，中线的性质，题目的综合性很强．难度很大，对学生的解题能力要求较高．
7．在平面直角坐标系中，二次函数2
2y ax bx =+-的图象与x 轴交于点(4,0)A -，
(1,0)B ，与y 轴交于点C ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P 是抛物线2
2y ax bx =+-上的任意一点，过点P 作x 轴的垂线PD ，直线PD
交直线AC 于点D ．
①是否存在点P ，使得PAC ∆的面积是ABC ∆面积的4
5
？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
②点Q 是坐标平面内的任意一点，若以O ，C ，Q ，D 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q 的坐标． 【答案】(1)213
222
y x x =
+- (2)①存在，点P 的坐标为(22,12)-+-，(222,12)--+，(2,3)--
②1816,55Q ⎫
⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，34525Q ⎝⎭，44525Q ⎛ ⎝⎭
【解析】 【分析】
(1)将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中求解即可； (2)①先求出△PAC 的面积为4，再求出直线AC 的解析式为1
22
y x =--．设点P 的横坐标为(t ,
213222t t +-)，利用21
442
∆∆∆=-=⋅=+=PAC PDC PDA S S S OA PD t t 即可求解； ②先设出D 点坐标，然后再按对角线分成三种情况讨论即可求解． 【详解】
解：(1)由题意得,将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中：
1642020
a b a b --=⎧⎨
+-=⎩，解得：12
32a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． ∴此抛物线的解析式为213
222
y x x =+-， 故答案为213
222
y x x =
+-． (2)①存在点P ，使得PAC ∆的面积是ABC ∆面积的4
5
．理由如下： 作出如下所示示意图：
∵点(4,0)A -，(1,0)B ， ∴4OA =，5AB =， 令0x =，则2y =-， ∴(0,2)C -，∴2OC =， ∴11
52522
ABC S AB OC ∆=⋅=⨯⨯=， ∴4455
4
5PAC ABC S S ∆∆=
=⨯=， 设直线AC 的解析式为y mx n =+，
则有402m n n -+=⎧⎨=-⎩，解得：122
m n ⎧
=-⎪⎨⎪=-⎩，
∴直线AC 的解析式为1
22
y x =-
-．
设点P 的横坐标为t ，则其纵坐标为213
222
t t +-， 即2
1
3,22
2P t t t ⎫⎛+
- ⎪⎝⎭
． ∵PD x ⊥轴，则点D 的坐标为1,22t t ⎫⎛
-- ⎪⎝
⎭
． ∴22131
12222222
PD t t t t t ⎫⎛=
+----=+ ⎪⎝⎭． ∵22111
424222
PAC PDC PDA S S S OA PD t t t t ∆∆∆=-=
⋅=⨯⨯+=+． ∴2
44t t +=，即2440t t +-=或2440t t ++=， 解得：1222t =-+，2222t =--，32t =-．
∴点P 的坐标为(222,12)-+-，(222,12)--+，(2,3)--， 故答案为：(222,12)-+-或(222,12)--+或(2,3)--． ②分类讨论：
情况一：当OC 为菱形的对角线时，此时DO=DC ，即D 点在线段OC 的垂直平分线， ∴D 点坐标(-2,-1)，将△OCD 沿y 轴翻折，此时四边形ODCQ 为菱形，故此时Q 点坐标为(2,-1)，如下图一所示，
情况二：当OQ 为对角线时，DO=DQ ，如下图二所示，
DQ=OC=OD=2，设D 点坐标1,22⎛⎫-
- ⎪⎝⎭
x x ，则EO=-x ，DE=1
22x +，
在Rt △EDO 中，由勾股定理可知：EO²+ED²=DO²， 故2
2
1
(2)42
++=x x ，解得80(),5舍==-
x x ，此时Q 点坐标为816,5
5⎛⎫-- ⎪⎝⎭，
情况三：当OD 为对角线时，OC=OQ=2，如下图三所示：
设D 点坐标1,22⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
m m ，则EO=|m|，DE=122m +，QE=2-(122m +)=12m ， 在Rt △QDO 中，由勾股定理可知：QE²+EO²=QO²， 故22
1
()()42
+=m m ，解得124545,=
=-m m ，此时Q 点坐标为4525,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或4525,55⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
， 综上所述，Q 点的坐标为1816,55Q ⎫
⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，34525,55Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭，
44525,Q ⎫
⎛-⎪ ⎝⎭
．
故答案为1816,55Q ⎫
⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，34525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭，44525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭
．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积问题，菱形的存在性问题等，属于综合题，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键．
8．如图，抛物线2y ax 2x c =++经过,,A B C 三点，已知()()1,0,0,3.A C -
()1求此抛物线的关系式；
()2设点P 是线段BC 上方的抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交线段BC 于点
,D 当BCP 的面积最大时，求点D 的坐标；
()3点M 是抛物线上的一动点，当()2中
BCP 的面积最大时，请直接写出使
45PDM ∠=︒的点M 的坐标
【答案】（1）2
y x 2x 3=-++；（2）点33,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭
；（3）点M 的坐标为()0,3或
⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）由2y ax 2x c =++经过点()(),1,00,3A C -，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式.
（2）首先设点()
2
,23,P t t t -++令2230x x -++=，求得()3,0B ，然后设直线BC 的
关系式为y kx b =+，由待定系数法求得BC 的解析式为3y x =-+，可得
()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+，BCP 的面积为
()213
33,22
S PD t t =
⨯=-+利用二次函数的性质即可求解； （3）根据PD y 轴，45PDM ∠=︒，分别设DM y x b =+，DM y x b =-+，根据点
33D(22，）坐标即可求出b ，再与抛物线联系即可得出点M 的坐标． 【详解】
()1将()(),1,00,3A C -分别代入22,y ax x c =++
可解得1,3,a c =-=
即抛物线的关系式为2y x 2x 3=-++．
()2设点()2,23,P t t t -++令2230,x x -++=
解得121,3,x x =-= 则点()3,0B ．
设直线BC 的关系式为(y kx b k =+为常数且0k ≠)， 将点,B C 的坐标代入，
可求得直线BC 的关系式为3y x =-+．
∴点()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+
设BCP 的面积为,S 则()213
33,22
S PD t t =
⨯=-+ ∴当3
2t =时，S 有最大值，此时点33,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
()3∵
PD y 轴，45PDM ∠=︒
第一种情况：令DM y x b =+,33
D(22
，） 解得：b=0
∴2
23y x y x x =⎧
⎨=-++⎩
解得：113
x =
∴M 第二种情况：令DM y x b =-+,33
D(22
，） 解得：b=3
∴2
323y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩
解得：x=0或x=3（舍去） ∴M 03（，）
满足条件的点M 的坐标为()0,3或1122⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭
【点睛】
此题主要考查待定系数法求函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.
9．在平面直角坐标系中，将函数y ＝x 2﹣2mx+m （x≤2m ，m 为常数）的图象记为G ，图象G 的最低点为P(x 0，y 0)． （1）当y 0＝﹣1时，求m 的值． （2）求y 0的最大值．
（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x 1，则x 1的取值范围是 ．
（4）点A 在图象G 上，且点A 的横坐标为2m ﹣2，点A 关于y 轴的对称点为点B ，当点A 不在坐标轴上时，以点A 、B 为顶点构造矩形ABCD ，使点C 、D 落在x 轴上，当图象G 在矩形ABCD 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．
【答案】（1或﹣1；（2）14；（3）0＜x 1＜1；（4）m ＝0或m ＞43或23≤m ＜1
【解析】 【分析】
（1）分m ＞0，m ＝0，m ＜0三种情形分别求解即可解决问题； （2）分三种情形，利用二次函数的性质分别求解即可；
（3）由（1）可知，当图象G 与x 轴有两个交点时，m ＞0，求出当抛物线顶点在x 轴上时m 的值，利用图象法判断即可；
（4）分四种情形：①m ＜0，②m ＝0，③m ＞1，④0＜m≤1，分别求解即可解决问题． 【详解】
解：（1）如图1中，当m＞0时，
∵y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2﹣m2+m，
图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P（m，﹣m2+m），
由题意﹣m2+m＝﹣1，
解得m＝51
2
+
或
51
2
-+
（舍弃），
当m＝0时，显然不符合题意，
当m＜0时，如图2中，
图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P是纵坐标为m，
∴m＝﹣1，
综上所述，满足条件的m 51
+
或﹣1；
（2）由（1）可知，当m＞0时，y0＝﹣m2+m＝﹣（m﹣1
2
）2+
1
4
，
∵﹣1＜0，
∴m＝1
2
时，y0的最大值为
1
4
，
当m＝0时，y0＝0，当m＜0时，y0＜0，
综上所述，y0的最大值为1
4
；
（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，
当抛物线顶点在x轴上时，4m2﹣4m＝0，
∴m＝1或0（舍弃），
∴观察观察图象可知，当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是0＜x1＜1，
故答案为0＜x1＜1；
（4）当m＜0时，观察图象可知，不存在点A满足条件，
当m＝0时，图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，满足条件，如图3中，
当m＞1时，如图4中，设抛物线与x轴交于E，F，交y轴于N，
观察图象可知当点A在x轴下方或直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．
则有（2m﹣2）2﹣2m（2m﹣2）+m＜0，
解得m＞4
3
，
或﹣m≤2m﹣2＜0，
解得2
3
≤m＜1（不合题意舍弃），
当0＜m≤1时，如图5中，当点A在直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．
即或﹣m≤2m﹣2＜0，
解得2
3
≤m＜1，
综上所述，满足条件m的值为m＝0或m＞4
3
或
2
3
≤m＜1．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，最值问题，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
10．平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．
如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C 的“最佳三点矩形”．
如图2，已知M（4，1），N（﹣2，3），点P（m，n）．
（1）①若m＝1，n＝4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为，面积
为；
②若m＝1，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；
（2）若点P在直线y＝﹣2x+4上．
①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；
②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；
（3）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为12时，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．
【答案】（1）①18,18；②或5；（2）①最小值为12，；②点的坐标为或；（3）,或.
【解析】
【分析】
（1）①根据题意，易得M、N、P的“最佳三点矩形”的周长和面积②先求出和的值，再根据m=1以及M、N、P的“最佳三点矩形”的面积是24，可分析出此矩形的邻边长分别为6、4进而求出n的值
（2）①结合图形，易得M、N、P的“最佳三点矩形”的面积的最小值，分别将对应的值代入y=-2x+4即可求出m的取值范围②当M、N、P的“最佳三点矩形”为正方形时，易得边长为6，将对应的值代入y=-2x+4即可求出P点坐标
（3）根据题意画出图像，易得抛物线的解析式
【详解】
解：（1）①如图，过P做直线AB平行于x轴，过N做直线AC平行于y轴，过M做MB平行于y轴，分别交于点A（-2,4）、C（-2,1）、B（4,1）
则AC=BM=3，AB=CM=6故周长=（3+6）=18，面积=3=18
故M、N、P的“最佳三点矩形”的周长和面积分别为18,18；
②∵M（4,1），N（-2,3）∴，
又∵m=1，点M、N、P的“最佳三点矩形”的面积为24
∴此矩形的邻边长分别为6，4
∴n=-1或5
（2）如图1，
① 易得点M 、N 、P 的“最佳三点矩形”的面积的最小值为12； 分别将y=3，y=1代入y=-2x+4，可得x 分别为， 结合图象可知：
②当点M 、N 、P 的“最佳三点矩形”为正方形，边长为6， 分别将y=7，y=-3代入y=-2x+4 ，可得分别为，
点P 的坐标为（ ，7）或（ ，-3） （3）如图2，y=
+或y=
+
【点睛】
此题比较灵活，读懂题意，画出图像求解是解题关键
三、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
11．已知如图1，在ABC 中，90ABC ∠=︒，BC AB =，点D 在AC 上，DF AC ⊥交BC 于F ，点E 是AF 的中点．
（1）写出线段ED 与线段EB 的关系并证明；
（2）如图2，将CDF 绕点C 逆时针旋转(
)
090a α︒
<<︒，其它条件不变，线段ED 与线段EB 的关系是否变化，写出你的结论并证明；
（3）将CDF 绕点C 逆时针旋转一周，如果6BC =，32CF =，直接写出线段CE 的范围．
【答案】（1）ED EB =，DE BE ⊥，证明见解析；（2）结论不变，理由见解析；（3）最大值22= 最小值32
2
=． 【解析】 【分析】
（1）在Rt △ADF 中，可得DE=AE=EF ，在Rt △ABF 中，可得BE=EF=EA ，得证ED=EB ；然后利用等腰三角形的性质以及四边形ADFB 的内角和为180°，可推导得出∠DEB=90°； （2）如下图，先证四边形MFBA 是平行四边形，再证△DCB ≌△DFM ，从而推导出△DMB 是等腰直角三角形，最后得出结论；
（3）如下图，当点F 在AC 上时，CE 有最大值；当点F 在AC 延长线上时，CE 有最小值． 【详解】
（1）∵DF ⊥AC ，点E 是AF 的中点 ∴DE=AE=EF ，∠EDF=∠DFE ∵∠ABC=90°，点E 是AF 的中点 ∴BE=AE=EF ，∠EFB=∠EBF ∴DE=EB ∵AB=BC ， ∴∠DAB=45°
∴在四边形ABFD 中，∠DFB=360°－90°－45°－90°=135°
∠DEB=∠DEF+∠FEB=180°－2∠EFD+180°－2∠EFB=360°－2(∠EFD+∠EFB) =360°－2×135°=90° ∴DE ⊥EB
（2）如下图，延长BE 至点M 处，使得ME=EB ，连接MA 、ME 、MF 、MD 、FB 、DB ，延长
MF交CB于点H
∵ME=EB，点E是AF的中点
∴四边形MFBA是平行四边形
∴MF∥AB，MF=AB
∴∠MHB=180°－∠ABC=90°
∵∠DCA=∠FCB=a
∴∠DCB=45°+a，∠CFH=90°－a
∵∠DCF=45°，∠CDF=90°
∴∠DFC=45°，△DCF是等腰直角三角形
∴∠DFM=180°－∠DFC－∠CFH=45°+a
∴∠DCB=∠DFM
∵△ABC和△CDF都是等腰直角三角形
∴DC=DF，BC=AB=MF
∴△DCB≌△DFM(SAS)
∴∠MDF=∠BDC，DB=DM
∴∠MDF+∠FDB=∠BDC+∠FDB=90°
∴△DMB是等腰直角三角形
∵点E是MB的中点
∴DE=EB，DE⊥EB
（3）当点F在AC上时，CF有最大值，图形如下：
∵BC=6，∴在等腰直角△ABC 中，AC=62 ∵CF=32，∴AF=32 ∴CE=CF+FE=CF+
12AF 922
= 当点F 在AC 延长线上时，CE 有最小值，图形如下：
同理，CE=EF －CF 32
2
= 【点睛】
本题考查三角形的旋转变换，用到了等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质，解题关键是构造并证明△BDM 是等腰直角三角形．
12．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8AD cm =，连接BD ，将ABD △绕B 点作顺时针方向旋转得到A B D '''△（B ′与B 重合），且点D '刚好落在BC 的延长上，A D ''与CD 相交于点E ．
（1）求矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分（如图1中阴影部分A B CE ''）的面积；
（2）将A B D
'''
△以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与A B D
'''
△重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得AA B''
△成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．
【答案】（1）2
45
2
cm；（2）
2
2
3316
24(0)
225
88020016
(4)
3335
x x x
y
x x x
⎧
--+≤<
⎪⎪
=⎨
⎪-+≤≤
⎪⎩
；（3）存在，使得AA B''
△成为等腰三角形的x的值有：0秒、
3
2
秒、
69
5
．
【解析】
【分析】
（1）先用勾股定理求出BD的长，再根据旋转的性质得出10
B D BD cm
''==，
2
CD B D BC cm
'=''-=，利用B D A
∠'''的正切值求出CE的值，利用三角形的面积差即可求阴影部分的面积；
（2）分类讨论，当
16
5
x
≤<时和当
16
4
5
x
≤≤时，分别列出函数表达式；
（3）分类讨论，当AB A B
'=''时；当AA A B
'=''时；当AB AA
'='时，根据勾股定理列方程即可．
【详解】
解：（1）6
AB cm
=，8
AD cm
=，
10
BD cm
∴=，
根据旋转的性质可知10
B D BD cm
''==，2
CD B D BC cm
'=''-=，
tan
A B CE
B D A
A D CD
''
'''
∠==
'''
，
6
82
CE
∴=，
3
2
CE cm
∴=，
()2
86345
22
222
A B CE A B D CED
S S S cm
'
'''''
⨯
∴==-⨯÷=
-；
（2）①当1605x ≤<
时，22CD x '=+，3
2
CE x =， 233
+22
CD E S x x '∴=
△， 221333
68242222
y x x x ∴=⨯⨯-=--+；
②当
1645x ≤≤时，102BC x =-，()4
1023
CE x =- ()2
21488020010223333
y x x x ∴=⨯-=-+．
（3）①如图1，当AB A B '=''时，0x =秒；
②如图2，当AA A B '=''时，1825A N BM BB B M x '=='+'=+
，24
5
A M N
B '==， 2236AN A N +'=，
22
2418623655x ⎛
⎫⎛⎫∴-++= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
解得：6695x -=
秒，（669
5
x --=舍去）； ③如图2，当AB AA '='时，1825A N BM BB B M x '=='+'=+
，24
5
A M N
B '==， 2222AB BB AN A N +'=+'
22
224183646255x x ⎛
⎫⎛⎫∴+=-++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
解得：3
2
x =
秒． 综上所述：使得AA B ''△成为等腰三角形的x 的值有：0秒、
32秒、6695
-．
【点睛】
本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．
13．如图一，矩形ABCD 中，AB=m ，BC=n ，将此矩形绕点B 顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜
90°）得到矩形A1BC
1
D1，点A1在边CD上．
（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；
（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在BC的延长线上，设边A2B与CD交于点E，若161
A E
EC
=-，求
n
m
的值．
（3）如图二，在（2）的条件下，直线AB上有一点P，BP=2，点E是直线DC上一动点，在BE左侧作矩形BEFG且始终保持
BE n
BG m
=，设AB=33，试探究点E移动过程中，PF 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1
5
；（2
3
；（3）存在，63
【解析】
【分析】
（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．解直角三角形，求出
∠ABA1，得到旋转角即可解决问题；
（2）由△BCE∽△BA2D2，推出22
2
A D
CE n
CB A B m
==，可得CE=2n
m
，由161
A E
EC
=推出16
A C
EC
=A1
2
6
n
m
，推出BH=A1
2
6
n
m
，然后由勾股定理建立方程，解方程即可解决问题；
（3）当A、P、F，D，四点共圆，作PF⊥DF，PF与CD相交于点M，作MN⊥AB，此时PF 的长度为最小值；先证明△FDG∽△FME，得到
3
FG
F
FM FE
D
==，再结合已知条件和解直角三角形求出PM和FM的长度，即可得到PF的最小值.
【详解】
解：（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．
∴AD=HA 1=n=1，
在Rt △A 1HB 中，∵BA 1=BA=m=2， ∴BA 1=2HA 1， ∴∠ABA 1=30°， ∴旋转角为30°， ∵22125+= ∴D 到点D 1所经过路径的长度3055
π⋅⋅=； （2）∵△BCE ∽△BA 2D 2，
∴222A D CE n
CB A B m
==， ∴2n CE m =，
∵161EA
EC =， ∴16A C
EC = ∴A 12
6n m
，
∴BH=A 12
2
2
6n m n m
-=，
∴4
2
2
26n m n m
-=⋅，
∴m 4﹣m 2n 2=6n 4，
∴24
2416n n m m
-=•，
∴
3
3
n m =
（负根已舍去）． （3）当A 、P 、F ，D ，四点共圆，作PF ⊥DF ，PF 与CD 相交于点M ，作MN ⊥AB ，此时PF 的长度为最小值；
由（2）可知，33
BE n BG m ==， ∵四边形BEFG 是矩形， ∴3FG FE = ∵∠DFG+∠GFM=∠GFM+∠MFE=90°，
∴∠DFG=∠MFE ，
∵DF ⊥PF ，即∠DFM=90°，
∴∠FDM+∠GDM=∠FDM+∠DFM=∠FDM+90°，
∴∠FDG=∠FME ，
∴△FDG ∽△FME ， ∴3FG F FM FE D ==， ∵∠DFM=90°，tan 33FD FMD FM ∠=
=， ∴∠FDM=60°，∠FMD=30°， ∴3FM DM =； 在矩形ABCD 中，有
33AD AB = 333
=3AD =， ∵MN ⊥AB ，
∴四边形ANMD 是矩形，
∴MN=AD=3，
∵∠NPM=∠DMF=30°，
∴PM=2MN=6，
∴NP=33AB =，
∴DM=AN=BP=2，
∴332322FM DM ==⨯=， ∴63PF PM MF =+=+；
【点睛】
本题考查点的运动轨迹，旋转变换、解直角三角形、弧长公式、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于压轴题，中考常考题型．正确作出辅助线，正确确定动点的位置，注意利用数形结合的思想进行解题.
14．如图1，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，以点E 直角顶点的直角三角形EFG 的两边EF ，EG 分别过点B ，C ，∠F＝30°.
（1）求证：BE ＝CE
（2）将△EFG 绕点E 按顺时针方向旋转，当旋转到EF 与AD 重合时停止转动.若EF ，EG 分别与AB ，BC 相交于点M ，N.（如图2）
①求证：△BEM≌△CEN；
②若AB ＝2，求△BMN 面积的最大值；
③当旋转停止时，点B 恰好在FG 上（如图3），求sin∠EBG 的值.
【答案】（1）详见解析；（262+ 【解析】
【分析】
（1）只要证明△BAE ≌△CDE 即可； （2）①利用（1）可知△EBC 是等腰直角三角形，根据ASA 即可证明；
②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
③如图3中，作EH ⊥BG 于H ．设NG=m ，则BG=2m ，3m ，6m ．利用面积法求出EH ，根据三角函数的定义即可解决问题.
【详解】
（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°，
∵E是AD中点，
∴AE=DE，
∴△BAE≌△CDE，
∴BE=CE．
（2）①解：如图2中，
由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC=∠ECB=45°，
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠EBM=∠ECN=45°，
∵∠MEN=∠BEC=90°，
∴∠BEM=∠CEN，
∵EB=EC，
∴△BEM≌△CEN；
②∵△BEM≌△CEN，
∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4-x，
∴S△BMN=1
2
•x（4-x）=-
1
2
（x-2）2+2，
∵-1
2
＜0，
∴x=2时，△BMN的面积最大，最大值为2．
③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，3，6m．
∴EG=m+3
m=（1+3）m，
∵S△BEG=1
2
•EG•BN=
1
2
•BG•EH，
∴EH=3?(13)
m m
+
=
3+3
m，
在Rt△EBH中，sin∠EBH=
3+3
62
2
4
6
m
EH
EB m
+
==
．
【点睛】
本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，
15．如图，△ABC和△DEC都是等腰三角形，点C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，F 为线段AD的中点，连接CF．
（1）如图1，当D点在BC上时，BE与CF的数量关系是__________；
（2）如图2，把△DEC绕C点顺时针旋转90°，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图3，把△DEC绕C点顺时针旋转一个钝角，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？如成立，请证明；如果不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明．
【答案】（1）BE=2CF；（2）（1）中的关系是仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的关系是仍然成立，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据“SAS”证明△ACD≌△BCE，可得AD=BE，又因为AD=2CF，从而
（2）由点F是AD中点，可得AD=2DF，从而AC= 2DF+CD，又由△ABC和△CDE是等腰直角三角形，可知BC=2DF+CE，所以BE= 2（DF+CE），CF= DF+CD，从而BE=2CF；
（3）延长CF至G使FG=CF，即：CG=2CF，可证△CDF≌△GAF，再证明△BCE≌△ACG，从而BE=CG=2CF成立.
解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=CE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，在Rt△ACD中，点F是AD中点，
∴AD=2CF，
∴BE=2CF，
故答案为BE=2CF；
（2）（1）中的关系是仍然成立，
理由：∵点F是AD中点，
∴AD=2DF，
∴AC=AD+CD=2DF+CD，
∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∴BC=2DF+CE，
∴BE=BC+CE=2DF+CE+CE=2（DF+CE），
∵CF=DF+CD=DF+CD，
∴BE=2CF；
（3）（1）中的关系是仍然成立，理由：如图3，
延长CF至G使FG=CF，即：CG=2CF，
∵点F是AD中点，
∴AF=DF，
在△CDF和△GAF中，，
∴△CDF≌△GAF，
∴AG=CD=CE，∠CDF=∠GAF，
∴∠CAG=∠CAD+∠GAF=∠CAD+∠ADC=180°﹣∠ACD，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCE=360°﹣∠ACB﹣∠DCE﹣∠ACD=180°﹣∠ACD，
∴∠CAG=∠BCE，。