梁河县民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

梁河县民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知点P （1
，﹣），则它的极坐标是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
2． 命题“∃x ∈R ，使得x 2＜1”的否定是（ ）
A ．∀x ∈R ，都有x 2＜1
B ．∃x ∈R ，使得x 2＞1
C ．∃x ∈R ，使得x 2≥1
D ．∀x ∈R ，都有x ≤﹣1或x ≥1
3． 下列命题中的说法正确的是（ ） A ．命题“若x 2=1，则x=1”的否命题为“若x 2=1，则x ≠1”
B ．“x=﹣1”是“x 2+5x ﹣6=0”的必要不充分条件
C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2+x+1＜0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2+x+1＞0”
D ．命题“在△ABC 中，若A ＞B ，则sinA ＞sinB ”的逆否命题为真命题
4．
已知向量=（1，2
），=（m ，1
），如果向量
与平行，则m 的值为（ ） A
．
B
．
C ．2
D ．﹣2
5． 已知直线l 1 经过A （﹣3，4），B （﹣8，﹣1）两点，直线l 2的倾斜角为135°，那么l 1与l 2（ ） A ．垂直 B ．平行 C ．重合 D ．相交但不垂直 6． 下列函数中，为奇函数的是（ ）
A ．y=x+1
B ．y=x 2
C ．y=2x
D ．y=x|x|
7． 定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)()f x f x -=-，对12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，都有
1212
()()
0f x f x x x ->-，则有（ ）
A ．(49)(64)(81)f f f <<
B ．(49)(81)(64)f f f << C. (64)(49)(81)f f f << D ．(64)(81)(49)f f f << 8． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A ． 2 B ．4
C ．
34 D ．3
8
【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.
9．一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形，
则该几何体的体积为（）
A．64 B．32 C．64
3
D．
32
3
10．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（2015）=（）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
11．设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＜0}=（）
A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|0＜x＜4}
12．设x，y满足线性约束条件，若z=ax﹣y（a＞0）取得最大值的最优解有数多个，则实数a 的值为（）
A ．2
B ．
C ．
D ．3
二、填空题
13．设f （x ）是（x 2+）6
展开式的中间项，若f （x ）≤mx 在区间[
，]上恒成立，则实数m 的取值范
围是 ．
14．log 3
+lg25+lg4﹣7
﹣（﹣9.8）0
= ．
15．某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂),要求此患者每天早、晚间隔小时各服一次药，每次一片，每片毫克．假设该患者的肾脏每小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的
，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午点第一次
服药，则第二天上午点服完药时，药在其体内的残留量是 毫克，若该患者坚持长期服用此药 明显副作用（此空填“有”或“无”）
16．抽样调查表明，某校高三学生成绩（总分750分）X 近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P （400＜X ＜450）=0.3，则P （550＜X ＜600）= ．
17．在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取得最大值，则d 的取值范
围为__________.
18．命题“∃x ∈R ，2x 2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围为 ．
三、解答题
19．函数。

定义数列如下：是过两点的直线
与轴交点的横坐标。

（1）证明：；
（2）求数列
的通项公式。

20．一艘客轮在航海中遇险，发出求救信号.在遇险地点A 南偏西45方向10海里的B 处有一艘海 难搜救艇收到求救信号后立即侦查，发现遇险客轮的航行方向为南偏东75，正以每小时9海里的速度向 一小岛靠近.已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里.
（1）为了在最短的时间内追上客轮，求海难搜救艇追上客轮所需的时间； （2）若最短时间内两船在C 处相遇，如图，在ABC ∆中，求角B 的正弦值
.
21．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知椭圆C 的极坐标方程为2
22
12
3cos 4sin ρθθ
=
+，点12,F F
为其左、右焦点，直线的参数方程为22x t y ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（为参数，t R ∈）. （1）求直线和曲线C 的普通方程；
（2）求点12,F F 到直线的距离之和.
22．（本题满分12分） 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=2a n +1． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）令b n=n（a n+1），求数列{b n}的前n项和T n．
23．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且csinA=acosC．
（I）求C的值；
（Ⅱ）若c=2a，b=2，求△ABC的面积．
24．【南京市2018届高三数学上学期期初学情调研】已知函数f（x）＝2x3－3（a+1）x2＋6ax，a∈R．（Ⅰ）曲线y＝f（x）在x＝0处的切线的斜率为3，求a的值；
（Ⅱ）若对于任意x∈（0，+∞），f（x）＋f（－x）≥12ln x恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）若a＞1，设函数f（x）在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M（a）、m（a），
记h（a）＝M（a）－m（a），求h（a）的最小值．
梁河县民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：∵点P的直角坐标为，∴ρ==2．
再由1=ρcosθ，﹣=ρsinθ，可得，结合所给的选项，可取θ=﹣，
即点P的极坐标为（2，），
故选C．
【点评】本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．
2．【答案】D
【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是∀x∈R，都有x≤﹣1或x≥1，
故选：D．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3．【答案】D
【解析】解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错误，
B．由x2+5x﹣6=0得x=1或x=﹣6，即“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”既不充分也不必要条件，故B错误，
C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≤0﹣5，故C错误，
D．若A＞B，则a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，即命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的为真命题．则命题的逆否命题也成立，故D正确
故选：D．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的关系以及充分条件和必要条件的判断，含有量词的命题的否定，比较基础．
4．【答案】B
【解析】解：向量，向量与平行，
可得2m=﹣1．
解得m=﹣．
故选：B．
5．【答案】A
【解析】解：由题意可得直线l1的斜率k1==1，
又∵直线l2的倾斜角为135°，∴其斜率k2=tan135°=﹣1，
显然满足k1•k2=﹣1，∴l1与l2垂直
故选A
6．【答案】D
【解析】解：由于y=x+1为非奇非偶函数，故排除A；
由于y=x2为偶函数，故排除B；
由于y=2x为非奇非偶函数，故排除C；
由于y=x|x|是奇函数，满足条件，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，属于基础题．
7．【答案】A
【解析】
考点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合.1111]
8．【答案】B
9．【答案】B
【解析】
试题分析：由题意可知三视图复原的几何体是一个放倒的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为的等腰直角三角形，高为的三棱柱, 所以几何体的体积为:144432
⨯⨯⨯=，故选B.
2
考点：1、几何体的三视图；2、棱柱的体积公式.
【方法点睛】本题主要考查利几何体的三视图、棱柱的体积公式，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力及抽象思维能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，解题时不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
10．【答案】B
【解析】解：∵f（x+4）=f（x），
∴f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1），
又∵f（x）在R上是奇函数，
∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．
故选B．
【点评】本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题．
11．【答案】D
【解析】解：∵偶函数f（x）=2x﹣4（x≥0），故它的图象
关于y轴对称，
且图象经过点（﹣2，0）、（0，﹣3），（2，0），
故f（x﹣2）的图象是把f（x）的图象向右平移2个
单位得到的，
故f（x﹣2）的图象经过点（0，0）、（2，﹣3），（4，0），
则由f（x﹣2）＜0，可得0＜x＜4，
故选：D．
【点评】本题主要考查指数不等式的解法，函数的图象的平移规律，属于中档题．
12．【答案】B
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=ax﹣y（a＞0）得y=ax﹣z，
∵a＞0，∴目标函数的斜率k=a＞0．
平移直线y=ax﹣z，
由图象可知当直线y=ax﹣z和直线2x﹣y+2=0平行时，当直线经过B时，此时目标函数取得最大值时最优解只有一个，不满足条件．
当直线y=ax﹣z和直线x﹣3y+1=0平行时，此时目标函数取得最大值时最优解有无数多个，满足条件．
此时a=．
故选：B．
二、填空题
13．【答案】[5，+∞）．
【解析】二项式定理．
【专题】概率与统计；二项式定理．
【分析】由题意可得f（x）=x3，再由条件可得m≥x2在区间[，]上恒成立，求得x2在区间[，]上的最大值，可得m的范围．
【解答】解：由题意可得f（x）=x6=x3．
由f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，可得m≥x2
在区间[，]上恒成立，
由于x2在区间[，]上的最大值为5，故m≥5，
即m的范围为[5，+∞），
故答案为：[5，+∞）．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，函数的恒成立问题，属于中档题．
14．【答案】．
【解析】解：原式=+lg100﹣2﹣1=+2﹣2﹣1=，
故选：
【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
15．【答案】 , 无．
【解析】【知识点】等比数列
【试题解析】设该病人第n 次服药后，药在体内的残留量为毫克，
所以）=300，
=350．
由，
所以是一个等比数列，
所以
所以若该患者坚持长期服用此药无明显副作用。

故答案为： , 无．
16．【答案】 0.3 ．
【解析】离散型随机变量的期望与方差． 【专题】计算题；概率与统计．
【分析】确定正态分布曲线的对称轴为x=500，根据对称性，可得P （550＜ξ＜600）．
【解答】解：∵某校高三学生成绩（总分750分）ξ近似服从正态分布，平均成绩为500分，
∴正态分布曲线的对称轴为x=500， ∵P （400＜ξ＜450）=0.3， ∴根据对称性，可得P （550＜ξ＜600）=0.3．
故答案为：0.3．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，正确运用正态分布曲线的对称性是关键． 17．【答案】8
71-<<-d 【解析】
试题分析：当且仅当8=n 时，等差数列}{n a 的前项和n S 取得最大值，则0,098<>a a ，即077>+d ，
087<+d ，解得：871-
<<-d .故本题正确答案为8
71-<<-d . 考点：数列与不等式综合.
18．【答案】﹣2
≤a ≤2
【解析】解：原命题的否定为“∀x ∈R ，2x 2
﹣3ax+9≥0”，且为真命题， 则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立， 只需△=9a 2
﹣4×2×9≤0，解得：﹣2
≤a ≤2．
故答案为：﹣2≤a ≤2
【点评】存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用．
三、解答题
【解析】（1）为
，故点
在函数
的图像上，故由所给出的两点
，可知，直线
斜率一定存在。

故有直线
的直线方程为
，令
，可求得
所以
下面用数学归纳法证明 当时，，满足
假设
时，
成立，则当
时，【解析】
试
题解析：（1）设搜救艇追上客轮所需时间为小时，两船在C 处相遇. 在ABC ∆中，4575120BAC ∠=+=，10AB =，9AC t =，21BC t =. 由余弦定理得：222
2cos BC AB AC AB AC BAC =+-∠， 所以2
2
2
1
(21)10(9)2109()2
t t t =+-⨯⨯⨯-，
化简得2
369100t t --=，解得23t =
或512t =-（舍去）. 所以，海难搜救艇追上客轮所需时间为2
3
小时.
（2）由2963AC =⨯
=，2
21143
BC =⨯=. 在ABC ∆
中，由正弦定理得6sin 6sin120
2sin 14
1414
AC BAC B BC ⨯
∠===
=. 所以角B . 考点：三角形的实际应用．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中涉及到正弦定理、余弦定理的灵活应用，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，可先根据题意，画出图形，由搜救艇和渔船的速度，那么可设时间，并用时间表示,AC BC ，再根据正弦定理和余弦定理，即可求解此类问题，其中正确画出图形是解答的关键．
21．【答案】（1）直线的普通方程为2y x =-，曲线C 的普通方程为
22
143
x y +=；（2）． 【解析】
试题分析：
（1）由公式cos sin x
y
ρθρθ=⎧⎨
=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程，利用消参法可化参数方程为普通方程；
考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式． 22．【答案】解：（1）∵a n+1=2a n +1，
∴a n+1+1=2（a n +1）， 又∵a 1=1，
∴数列{a n +1}是首项、公比均为2的等比数列， ∴a n +1=2n ， ∴a n =﹣1+2n ； 6分
（2）由（1）可知b n =n （a n +1）=n •2n =n •2n ﹣1
，
∴T n =1•20+2•2+…+n •2n ﹣1，
2T n =1•2+2•22…+（n ﹣1）•2n ﹣1+n •2n ，
错位相减得：﹣T n =1+2+22…+2n ﹣1﹣n •2n
=
﹣n •2n
=﹣1﹣（n ﹣1）•2n ， 于是T n =1+（n ﹣1）•2n ．
则所求和为12n
n 6分
23．【答案】
【解析】解：（I ）∵a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且csinA=acosC ，
∴sinCsinA=sinAcosC ，∴sinCsinA ﹣sinAcosC=0，
∴
sinC=cosC ，∴tanC=
=，
由三角形内角的范围可得C=；
（Ⅱ）∵c=2a ，b=2
，C=
，
∴由余弦定理可得c 2=a 2+b 2
﹣2abcosC ，
∴4a 2
=a 2
+12﹣4
a •，解得a=﹣1+，或a=﹣1﹣（舍去）
∴△ABC 的面积S=absinC==
24．【答案】（1）a ＝
12（2）（－∞，－1－1e ]．（3）827
【解析】
（2）
f （x ）＋f （－x ）＝－6（a ＋1）x 2≥12ln x 对任意x ∈（0，+∞）恒成立， 所以－（a ＋1）≥2
2ln x
x ． 令g （x ）＝
22ln x
x ，x ＞0，则g '（x ）＝()3212ln x x
-．
令g '（x ）＝0，解得x
当x ∈（0g '（x ）＞0，所以g （x ）在（0
当x ∞）时，g '（x ）＜0，所以g （x ∞）上单调递减．
所以g （x ）max ＝g （1e
， 所以－（a ＋1）≥1e ，即a ≤－1－1
e
，
所以a 的取值范围为（－∞，－1－1
e
]．
（3）因为f （x ）＝2x 3－3（a ＋1）x 2＋6ax ，
所以f ′（x ）＝6x 2－6（a ＋1）x ＋6a ＝6（x －1）（x －a ），f （1）＝3a －1，f （2）＝4． 令f ′（x ）＝0，则x ＝1或a ． f （1）＝3a －1，f （2）＝4．
②当5
3
＜a＜2时，
当x∈（1，a）时，f '（x）＜0，所以f（x）在（1，a）上单调递减；
当x∈（a，2）时，f '（x）＞0，所以f（x）在（a，2）上单调递增．
又因为f（1）＞f（2），所以M（a）＝f（1）＝3a－1，m（a）＝f（a）＝－a3＋3a2，所以h（a）＝M（a）－m（a）＝3a－1－（－a3＋3a2）＝a3－3a2＋3a－1．
因为h'（a）＝3a2－6a＋3＝3（a－1）2≥0．
所以h（a）在（5
3
，2）上单调递增，
所以当a∈（5
3，2）时，h（a）＞h（5
3
）＝8
27
．
③当a≥2时，
当x∈（1，2）时，f '（x）＜0，所以f（x）在（1，2）上单调递减，
所以M（a）＝f（1）＝3a－1，m（a）＝f（2）＝4，
所以h（a）＝M（a）－m（a）＝3a－1－4＝3a－5，
所以h（a）在[2，＋∞）上的最小值为h（2）＝1．
综上，h（a）的最小值为8
27
．
点睛：已知函数最值求参数值或取值范围的一般方法：（1）利用导数结合参数讨论函数最值取法，根据最值
列等量关系，确定参数值或取值范围；（2）利用最值转化为不等式恒成立问题，结合变量分离转化为不含参数的函数，利用导数求新函数最值得参数值或取值范围.。