河北省大名县高三数学上学期第一次月考试题(实验班)理-人教版高三全册数学试题

河北省大名县2018届高三数学上学期第一次月考试题（实验班）理
一、选择题(12个小题，每题5分，共60分）
1. 函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:f'(x0)=0,q:x=x0是f(x)的极值点,则()
A. p是q的充分必要条件
B. p是q的充分条件,但不是q的必要条件
C. p是q的必要条件,但不是q的充分条件
D. p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
2. 下列结论中正确的个数是()
①“x=”是“”的充分不必要条件;
②若a>b,则am2>bm2;
③命题“∀x∈R,sin x≤1”的否定是“∀x∈R,sin x>1”;
④函数f(x)=-cos x在[0,+∞)内有且仅有两个零点.
A. 1
B. 2
C.
3 D. 4
3.已知集合,,则为
( )
A. B. C.
D.
4.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a=1,b=,B=60°,则△ABC的面积为()
A. B. C.
1 D.
5.在钝角三角形中,若,则边长的取值范围是( )
A. B. C.
D.
6.已知函数是定义在上周期为3的奇函数,若,则
( )
A. -1
B. 0
C.
1 D. 2016
7.已知函数R)图象的一条对称轴是,则函数
的最大值为()
A. 5
B. 3
C.
D.
8.已知函数是上的偶函数,且在区间是单调递增的,是锐角
的三个内角,则下列不等式中一定成立的是()
A. B. C. D.
9.堑堵,我国古代数学名词,其三视图如图所示.《九章算术》中有如下问题:“今有堑堵,下广二丈,袤一十八丈六尺,高二丈五尺,问积几何?”意思是说:“今有堑堵,底面宽为2丈,长为18丈6尺,高为2丈5尺,问它的体积是多少?”(注:一丈=十尺),答案是()
A. 25500立方尺
B. 34300立方尺
C. 46500立方尺
D. 48100立方尺
10.若△PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直,PA=PD=AB=2,∠APD=60°,若点
P,A,B,C,D都在同一个球面上,则此球的表面积为()
A. π
B. π
C.
π D. π
11.一锥体的三视图如图所示,则该棱锥的最长棱的棱长为()
A. B. C.
D.
12.已知函数f(x)=x2+e x- (x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是
A. B. C.
D.
二、填空题(4个小题，每题5分，共20分）
13.若函数在区间上为单调函数,则的取值范围是_______.
14. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.
15.已知f(x)是奇函数,g(x)=.若g(2)=3,则g(-2)=.
16.已知函数f(x)对任意x∈R满足f(x+1)=f(x-1),且f(x)是偶函数,当x∈[-1,0]
时,f(x)=-x2+1,若方程f(x)=a|x|至少有4个相异实根,则实数a的取值范围是.
三、解答题(6个小题，共70分）
17.(本小题满分10分)
设f(x)=,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+y+1=0垂直.
(1)求a的值;
(2)若对于任意的x∈[1,e],f(x)≤mx恒成立,求m的取值范围.
18..(本小题满分12分)
如图①,在平面内,ABCD是∠BAD=60°且AB=a的菱形,ADMA1和CDNC1都是正方形.将两个正方形分别沿AD,CD折起,使M与N重合于点D1.设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面,点E 是直线l上的一个动点,且与点D1位于平面ABCD同侧(图②).
(1)求证:不管点E如何运动都有CE∥平面ADD1;
(2)当线段BE=a时,求二面角E-AC-D1的大小.
19.(本小题满分12分)
如图，OAB是一块半径为1，圆心角为的扇形空地.现决定在此空地上修建一个矩形的花坛CDEF，其中动点C在扇形的弧上，记∠COA=θ.
(1)写出矩形CDEF的面积S与角θ之间的函数关系式；
(2)当角θ取何值时，矩形CDEF的面积最大？并求出这个最大面积.
20.在中,角,,的对边分别为,, ,且.
(1)求的值;
(2)若,,成等差数列,且公差大于,求的值.
21. 已知向量m=,n=,记f(x)=m·n.
(1)若f(x)=1,求cos的值;
(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cos B=b cos C,求f(2A)的取值范围.
22.已知函数.
(1)当时,求在区间上的最大值和最小值;
(2)若在区间上,函数的图象恒在直线下方,求的取值范围;
(3)设.当时, 若对于任意,存在
,使,求实数的取值范围.
数学答案
1.【答案】C
【解析】本题考查充分条件与必要条件、导数与函数的极值,属于基础题.
可举例说明.可导函数f(x)=x3的导函数为f'(x)=3x2,由f'=0,得x0=0,而f'(x)≥0,所以此函数f(x)在R上单调递增,无极值,充分性不成立;根据极值的定义和性质,若x=x0是f(x)的极值点,则f'=0成立,即必要性成立,故p是q的必要条件,但不是q的充分条件,故选
C.
2.【答案】A
【解析】本题考查充分必要条件、不等式性质、命题的否定及命题真假的判定,属于中档题. 对于①,当x=时,sin ,充分性成立;当sin 时,x++2kπ或
x++2kπ,k∈Z,得x=-+2kπ或x=+2kπ,k∈Z,故必要性不成立,故①正确;对于②,当m=0时,若a>b,am2>bm2不成立,故②不正确;对于③,命题“∀x∈R,sin x≤1”的否定是
“∃x0∈R,sin x0>1”,故③不正确;对于④,函数y=与y=cos x的图象有且只有一个交点,故函数f(x)=-cos x在内有且仅有一个零点,故④不正确.综上,正确的只有一个,故选A.
3.【答案】C
【解析】本题考查指数函数与对数函数的性质、集合的基本运算,考查计算能力.由对数函数的性质可知=,由指数函数的性质可知
=,则
4.【答案】B
【解析】本题考查余弦定理和三角形的面积公式,属于中档题.
根据余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B,得3=1+c2-c,解得:c=2,所以
S△ABC=ac sin B=×1×2×.故选B.
5.【答案】D
【解析】本题考查解三角形.由正弦定理得,即
====.若,则,则
,所以;若,则，则.所以边长的取值范围是.故选D.
6.【答案】B
【解析】本题考查函数的性质、三角函数求值.因为,所以==,所以==,又因为函数是定义在上的周期为3的奇函数,所以,所以=，故选B.
7.【答案】C
【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差公式.因为是函数的一条对称轴,所以,即,则
,则函数的最大值为.
8.【答案】C
【解析】本题主要考查函数的性质.对于选项A,由于不能确定的大小,故不能确定与的大小,故选项A不正确;对于选项B,由是锐角三角形的三个内角,则,得,得,即,又定义在上的偶函数,且在区间上单调递增,则在上是减函数,由,可得,故选项B不正确,对于选项C,同理可得,又在上是减函数,由,可得,得选项C正确;对于选项D,同理可证
,故选项D不正确,故选C.
9.【答案】C
【解析】本题考查空间几何体的三视图和体积,属于基础题.
由三视图知,该几何体为横放的直三棱柱,底面为直角三角形,两直角边长分别为20,86,高
为25.
所以堑堵的体积为×20×186×25=46500.故选C.
10.【答案】B
【解析】本题考查空间几何体外接球的表面积,属于中档题.
因为PA=PD=2,∠APD=60°,所以AD=2,三角形PAD为正三角形,矩形ABCD为正方形,依题意,过正三角形中心H的垂线与过正方形中心E的垂线交点是球心O的位置,如图所示,过点H作HF⊥AD，连接EF，OD,由面面垂直的性质可得HF⊥平面ABCD,EF⊥平面PAD,又
HF=,BD==2 ,则OE=HF=,ED=,所以
OD=,球的表面积为S=4πR2=,故选B.
11.【答案】C
【解析】如图所示,该锥体的直观图为四棱锥E-ABB1A1,经计算,可知EA为最长
棱,EA=,故选C.
12.【答案】B
【解析】本题考查导数与函数的单调性、导数与函数的最值.设x>0,点P(x,y)在函数
g(x)=x2+ln(x+a)的图象上,点P'(-x,y)在函数f(x)=x2+e x- (x<0)的图象
上,∴(-x)2+e-x-=x2+ln(x+a),化简得a=-x有解即可,令h(x)=-x,则
(-e-x)-1=--1<0,∴函数h(x)在(0,+∞)上单调递减,即h(x)<h(0)=.要使a=-x有解,只需要a<即可,∴a的取值范围为(-∞,),故选B.
二填空题
13.【答案】或
【解析】本题考查导数的运算、函数的性质,考查恒成立问题与转化思想、计算能力.在区间上,,当函数在区间上为单调增函数
时,恒成立,则;当函数在区间上为单调减函数时,恒成立,则,所以或
14.
【答案】
【解析】本题考查三视图、四棱锥的体积计算等知识,难度中等.由三视图可知该几何体是底面为长和高均为1的平行四边形,高为1的四棱锥,故其体积为V=×1×1×1=.
15【答案】-1
【解析】本题考查函数的奇偶性.由题意得g(2)==3,解得f(2)=1,因为函数f(x)为奇函数,所以f(-2)=-f(2)=-1,则g(-2)==-1.
16.【答案】[0,4-2]
【解析】本题考查函数的性质、函数与方程.由f(x+1)=f(x-1)得f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为2,又f(x)是偶函数,f(x)=-x2+1,x∈[-1,0],作出f(x)的图象,由图象的对称性可知方程f(x)=a|x|至少有4个相异实根,即f(x)=a|x|在[0,+∞)上至少有2个相异实根,即函数y=f(x)与y=ax在[0,+∞)上至少有2个不同交点,当y=ax与曲线f(x)=-(x-2)2+1,x∈[1,3]相切时,方程ax=-(x-2)2+1,x∈[1,3]有两个相等的实根,由Δ=0解得a=4-2(舍去a=4+2),由图象可得实数a的取值范围是[0,4-2].
三解答题
17.设f(x)=,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+y+1=0垂直.
(1)求a的值;
【答案】f'(x)=, 解f'(1)=1,得a=0.
(2)若对于任意的x∈[1,e],f(x)≤mx恒成立,求m的取值范围.
【答案】对于任意的x∈[1,e],f(x)≤mx,即≤mx恒成立,即≤m恒成立.
设g(x)=,只需对任意的x∈[1,e]，有恒成立.
求导可得g'(x)=,
因为x∈[1,e],所以g'(x)>0,g(x)在[1,e]上单调递增,
所以g(x)的最大值为g(e)=,所以m≥.
18.如图①,在平面内,ABCD是∠BAD=60°且AB=a的菱形,ADMA1和CDNC1都是正方形.将两个正方形分别沿AD,CD折起,使M与N重合于点D1.设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面,点E是直线l上的一个动点,且与点D1位于平面ABCD同侧(图②).
(1)求证:不管点E如何运动都有CE∥平面ADD1;
【答案】∵CC1∥DD1,BC∥AD,∴平面BCC1∥平面ADD1.
又∵CE⊂平面BCC1,∴CE∥平面ADD1.
(2)当线段BE=a时,求二面角E-AC-D1的大小.
【答案】设菱形ABCD的中心为O,以O为原点,对角线AC,BD所在直线分别为x,y轴,建立空间直角坐标系如图所示.
A,C,D1,E,,=(-a,0,0), 设平面D1AC的法向量为n1=(x1,y1,1),则
⇒⇒∴n1=(0,2,1).
又∵,,
设平面EAC的法向量为n2=(x2,y2,-1),
则⇒⇒∴n2=(0,3,-1).
设二面角E-AC-D1的大小为θ,则cos θ=,
二面角E-AC-D1的大小为45°.
19.如图，OAB是一块半径为1，圆心角为的扇形空地.现决定在此空地上修建一个矩形的花坛CDEF，其中动点C在扇形的弧上，记∠COA=θ.
(1)写出矩形CDEF的面积S与角θ之间的函数关系式；
【答案】因为：OF=cosθ，CF=sinθ，
所以，，
所以，.
(2)当角θ取何值时，矩形CDEF的面积最大？并求出这个最大面积.
【答案】
=.
因为，
所以，
所以当，即时，矩形CDEF的面积S取得最大值.
20.在中,角,,的对边分别为,, ,且.
(1)求的值;
【答案】由,根据正弦定理得,
所以.
(2)若,,成等差数列,且公差大于,求的值.
【答案】由已知和正弦定理以及第1问得，①设, ②
①+②,得，③
又,,所以,,
故.
代入③式得.
因此.
21. 已知向量m=,n=,记f(x)=m·n.
(1)若f(x)=1,求cos的值;
【答案】f(x)=m·n=sincos+co
=sin
=sin.
∵f(x)=1,∴sin.
∴cos=1-2sin2.
(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cos B=b cos C,求f(2A)的取值范围.
【答案】∵(2a-c)cos B=b cos C,
∴由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin B cos C,
即2sin A cos B-sin C cos B=sin B cos C,
即2sin A cos B=sin(B+C).
∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sin A,且sin A≠0,∴cos B=,
又∵0<B<,∴B=,∴A=π-C,
又∵0<C<,∴<A<,∴<A+,
∴<sin≤1,又∵f(2A)=sin,
∴函数f(2A)的取值范围是.
22.已知函数.
(1)当时,求在区间上的最大值和最小值;
【答案】当时,,, 当,有;当,有,
在区间上是增函数, 在上为减函数,
又
.
(2)若在区间上,函数的图象恒在直线下方,求的取值范围;
【答案】令, 则的定义域为, 在区间上,函数的图象恒在直线下方等价于在区间
上恒成立.
则===(*)，
①若, 令,得极值点
若，则，在区间上是增函数, 并且在该区间上有
,不合题意；
若,即时, 同理可知，在区间上, 有,也不合题意;
②若,则有,此时在区间上恒有,从而在区间
上是减函数, 要使在此区间上恒成立, 只须满足,由此求得的取值范围是.
综合①②可知, 当时, 函数的图象恒在直线下方.
(3)设.当时, 若对于任意,存在
,使,求实数的取值范围.
【答案】当时, 由第2问知在上是增函数, 在上是减函数, 所以对任意都有,又已知存在,使,即存在,使,即存在,即存在,使
.
,解得,所以实数的取值范围是.。