高二数学下学期期末复习题3

高二数学下学期期末复习题〔三〕 08年07月
班级 学号 得分 一、填空题
1．〔江西卷1〕在复平面内,复数sin 2cos2z i =+对应的点位于第 象限． 2．〔山东卷2〕设z 的共轭复数是z ,或z +z =4,z ·z ＝8,那么z
z
等于 ． 3.〔福建卷4)函数3()sin 1()f x x x x R =++∈,假设()2f a =,那么()
f a -的值为 ． 4
．
集
合
{}
|lg ,1A y R y x x =∈=>,
}
{2,1,1,2B =--那么
()
R C A B = ．
5．(山东文)给出命题：假设函数()y f x =是幂函数,那么函数()y f x =的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是 ． 6.〔重庆卷13)12
4
9a =
(a>0) ,那么23
log a = . 7．〔广东卷7〕设a ∈R ,假设函数3ax
y e x =+,x ∈R 有大于零的极值点,那么
a 的取值范围是 ．
8．〔广东卷12〕函数()(sin cos )sin f x x x x =-,x ∈R ,那么()f x 的最小正周期是 ．
9．〔全国一9〕设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数,且(1)0f =,那么不等式
()()
0f x f x x
--<的解集为 ．
10.〔四川卷11〕设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=,假设
()12f =,那么()99f = ．
11．〔全国二8〕假设动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点,那么MN 的最大值为 ．
12．〔四川卷10〕设()()sin f x x ωϕ=+,其中0ω>,那么()'
00f =是()f x 为
偶函数的 条件．
13．〔上海卷11〕方程2
10x -=的解可视为函数y x =+的图像与函
1y x
=
的图像交点的横坐标,假设4
40x ax +-=的各个实根12,,,(4)k x x x k ≤所对应的点4
(,)(1,2,
,)i i
x i k x =均在直线
y x =的同侧,那么实数a
的取值范围
是 ．
14．〔天津卷10〕设1a >,假设对于任意的[,2]x a a ∈,都有2
[,]y a a ∈满足方程
log log 3a a x y +=,这时a 的取值集合为 ．
二、解做题
15．集合
{}|015A x ax =<+≤,集合1|22B x x ⎧⎫
=-<≤⎨⎬⎩⎭
． 〔1〕假设
A B ⊆,求实数a 的取值范围；
〔2〕假设B A ⊆
,求实数a 的取值范围．
16．〔山东卷17〕 函数f (x )＝
)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为偶函数,且函数
()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为
.2
π 〔Ⅰ〕求()8
f π
的值；
〔Ⅱ〕将函数()y f x =的图象向右平移
6
π
个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图象,求()g x 的单调递减区间
17．定义域为R 的函数a
b
x f x x ++-=+122)(是奇函数,假设对任意的t ∈R,不等式
22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立,〔1〕求,a b 的值；〔2〕求k 的取值范围．
18．〔湖北卷20〕
水库的蓄水量随时间而变化,现用t 表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年数据,某水库的蓄水量〔单位：亿立方米〕关于t 的近似函数关系式为
124(1440)50,010,
()4(10)(341)50,1012.
x t t e t V t t t t ⎧⎪-+-+<≤=⎨
⎪--+<≤⎩ 〔Ⅰ〕该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以1i t i -<<表示第1月份〔1,2,
,12i =〕,同一年内哪几个月份是枯水期？
〔Ⅱ〕求一年内该水库的最大蓄水量〔取 2.7e =计算〕.
19．函数4
3
2
()2f x x ax x b =+++〔x R ∈〕,其中R b a ∈,． 〔Ⅰ〕当10
3
a =-
时,讨论函数()f x 的单调性； 〔Ⅱ〕假设函数()f x 仅在0x =处有极值,求a 的取值范围；
〔Ⅲ〕假设对于任意的[2,2]a ∈-,不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立,求b 的取值范围．
20．〔山东卷21〕
函数1()ln(1),(1)
n
f x a x x =
+--其中*
,n N a ∈为常数. 〔Ⅰ〕当2n =时,求函数()f x 的极值；
〔Ⅱ〕当1a =时,证实：对任意的正整数n ,当2x ≥时,有()1f x x ≤-.
复习题〔三〕答案
三、填空题
1．〔江西卷1〕在复平面内,复数sin 2cos2z i =+对应的点位于第 象限四 2．〔山东卷2〕设z 的共轭复数是z ,或z +z =4,z ·z ＝8,那么z
z
等于 ±i 3.〔福建卷4)函数3()sin 1()f x x x x R =++∈,假设()2f a =,那么()
f a -的值为 0
4．集合{}|lg ,1A y R y x x =∈=>,}{
2,1,1,2B =--那么()R C A B =
分析：}{0
A y R y =∈>,}0|{)(C R ≤=y y A ,又{2,1,1,2}
B =--
∴ }{1,2)(--=B A C R
5．(山东文)给出命题：假设函数()y f x =是幂函数,那么函数()y f x =的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是 1
6.〔重庆卷13)12
4
9a =
(a>0) ,那么23
log a = .3 7．〔广东卷7〕设a ∈R ,假设函数3ax
y e x =+,x ∈R 有大于零的极值点,那么
a 的取值范围是 3a <-
8．〔广东卷12〕函数()(sin cos )sin f x x x x =-,x ∈R ,那么()f x 的最小正周期是 ．π
9．〔全国一9〕设奇函数()f x 在(0)+∞，
上为增函数,且(1)0f =,那么不等式()()
0f x f x x
--<的解集为 (10)(01)-，，
10.〔四川卷11〕设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=,假设
()12f =,那么()99f =
132
11．〔全国二8〕假设动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别
交于M N ，两点,那么MN 12．〔四川卷10〕设()()sin f x x ωϕ=+,其中0ω>,那么()'
00f =是()f x 为
偶函数的 条件.充要
13．〔上海卷11〕方程2
10x -=的解可视为函数y x =+的图像与函
1y x
=
的图像交点的横坐标,假设4
40x ax +-=的各个实根12,,,(4)k x x x k ≤所对应的点4
(,)(1,2,
,)i i
x i k x =均在直线
y x =的同侧,那么实数a 的取值范围是
(－∞, －6)∪(6,+∞)
14．〔天津卷10〕设1a >,假设对于任意的[,2]x a a ∈,都有2
[,]y a a ∈满足方程
log log 3a a x y +=,这时a 的取值集合为 {|2}a a ≥
四、解做题
15．集合{}|015A x ax =<+≤,集合1|22B x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭
. 〔1〕假设
A B ⊆,求实数a 的取值范围；
〔2〕假设B A ⊆
,求实数a 的取值范围.
〔１〕{}|82a a a <-≥或〔２〕1|22a a ⎧⎫
-<≤⎨
⎬⎩⎭
16．〔山东卷17〕 函数f (x )＝
)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为偶函数,且函数
()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为
.2
π 〔Ⅰ〕求()8
f π
的值；
〔Ⅱ〕将函数()y f x =的图象向右平移
6
π
个单位后,再将得到的图象上各点的横坐
标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图象,求()g x 的单调递减区间.
解：〔Ⅰ〕()f x =
)x cos()x sin(ϕ+ω-ϕ+ω3
＝⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-+)cos(21)sin(232ϕωϕωx x
＝2sin(ϕω+x -
6
π
) 由于()f x 为偶函数,所以对,()()x R f x f x ∈-=恒成立, 因此 sin 〔-ϕω+x -
6π〕＝sin(ϕω+x -6
π
).即 -sin x ωcos(ϕ-
6π)+cos x ωsin(ϕ-6π)=sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6
π), 整理得 sin x ωcos(ϕ-
6π)=0.由于 ω＞0,且x ∈R ,所以 cos 〔ϕ-6
π
〕＝0. 又由于 0＜ϕ＜π,故 ϕ-6π
＝2π.所以 f (x )＝2sin(x ω+2
π)=2cos x ω.
由题意得
.,22
22　＝ 所以 ωπ
⋅=ωπ 故 f (x )=2cos2x . 由于 .24
cos
2)8
(==π
πf
〔Ⅱ〕将f (x )的图象向右平移个
6
π
个单位后,得到)6(π-x f 的图象,再将所得图象
横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到)6
4(
π
π
-f 的图象.
).32(cos 2)64(2cos 2)64()(ππππππ-=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=-=f f x g 所以
当 2k π≤
3
2
π
π
-
≤2 k π+ π (k ∈Z),
即 4k π＋≤
32π≤x ≤4k π+3
8π (k ∈Z)时,g (x )单调递减. 因此g (x )的单调递减区间为 ⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡
++
384,324πππ
πk k (k ∈Z)
17．定义域为R 的函数a
b
x f x x ++-=+122)(是奇函数,假设对任意的t ∈R,不等式
22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立,〔1〕求,a b 的值；〔2〕求k 的取值范围.
解：〔Ⅰ〕由于f 〔x 〕是定义在R 上的奇函数,所以f 〔0〕＝0,即
021=++-a
b
,解得b ＝1, 从而有a
x f x x ++-=+1212)(．又由)1()1(--=f f 知a a ++--=++-112
1
41
2,解得a ＝2． 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知1
21
21212)(1++-
=++-=
+x
x x a
x f ,由上式易知f 〔x 〕在(,)-∞+∞上为减函数．由f 〔x 〕为奇函数,得：不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于
222(2)(2)(2)f t t f t k f t k -<--=-+, 又f 〔x 〕为减函数,由上式推得：2222t t t k ->-+,即对一切t R ∈有2320t t k -->,从而判别式4120k ∆=+<,解得
13
k <-
18．〔湖北卷20〕
水库的蓄水量随时间而变化,现用t 表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年数据,某水库的蓄水量〔单位：亿立方米〕关于t 的近似函数关系式为
124(1440)50,010,
()4(10)(341)50,1012.
x t t e t V t t t t ⎧⎪-+-+<≤=⎨
⎪--+<≤⎩ 〔Ⅰ〕该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以1i t i -<<表示第1月份〔1,2,
,12i =〕,同一年内哪几个月份是枯水期？
〔Ⅱ〕求一年内该水库的最大蓄水量〔取 2.7e =计算〕. 解：〔Ⅰ〕①当0＜t ≤10时,V (t )=(-t 2+14t -40),505044
1<+e
化简得t 2-14t +40>0,
解得t ＜4,或t ＞10,又0＜t ≤10,故0＜t ＜4.
②当10＜t ≤12时,V 〔t 〕＝4〔t -10〕〔3t -41〕+50＜50, 化简得〔t -10〕〔3t -41〕＜0, 解得10＜t ＜
3
41
,又10＜t ≤12,故 10＜t ≤12. 综合得0<t <4,或10<t 12,
故知枯水期为1月,2月,,3月,4月,11月,12月共6个月. (Ⅱ)(Ⅰ)知：V (t )的最大值只能在〔4,10〕内到达.
由V ′〔t 〕=),8)(2(4
1)42341(41
24
1
-+-=++-t t c t t c t
t
令V ′(t )=0,解得t=8(t=-2舍去).
故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米
19．函数4
3
2
()2f x x ax x b =+++〔x R ∈〕,其中R b a ∈,． 〔Ⅰ〕当10
3
a =-
时,讨论函数()f x 的单调性； 〔Ⅱ〕假设函数()f x 仅在0x =处有极值,求a 的取值范围；
〔Ⅲ〕假设对于任意的[2,2]a ∈-,不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立,求b 的取值范围．
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等根底知识,考查综合分析和解决问题的水平．总分值14分．
〔Ⅰ〕解：322
()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++．
当103
a =-
时,2
()(4104)2(21)(2)f x x x x x x x '=-+=--．
令()0f x '=,解得10x =,21
2
x =
,32x =． 当x 变化时,()f x ',()f x 的变化情况如下表：
所以()f x 在1(0,)2,(2,)+∞内是增函数,在(,0)-∞,1(,2)2
内是减函数．
〔Ⅱ〕解：2
()(434)f x x x ax '=++,显然0x =不是方程2
4340x ax ++=的
根．
为使()f x 仅在0x =处有极值,必须2
4403x ax +≥+成立,即有
29640a ∆=-≤．
解些不等式,得3
838
a -
≤≤．这时,(0)f b =是唯一极值． 因此满足条件的a 的取值范围是88
[,]33
-．
〔Ⅲ〕解：由条件[2,2]a ∈-,可知2
9640a ∆=-<,从而2
4340x ax ++>恒成立．
当0x <时,()0f x '<；当0x >时,()0f x '>．
因此函数()f x 在[1,1]-上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者． 为使对任意的[2,2]a ∈-,不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立,当且仅当1
11))1
((f f ≤-≤⎧⎨
⎩,
即22b a
b a
≤--≤-+⎧⎨
⎩,在[2,2]a ∈-上恒成立．
所以4b ≤-,因此满足条件的b 的取值范围是(,4]-∞-．
20．〔山东卷21〕〔本小题总分值12分〕 函数1()ln(1),(1)
n f x a x x =+--其中n ∈N*,a 为常数. 〔Ⅰ〕当n =2时,求函数f (x )的极值；
〔Ⅱ〕当a =1时,证实：对任意的正整数n ,当x ≥2时,有f (x )≤x -1.
解：〔Ⅰ〕由得函数f (x )的定义域为{x |x ＞1},
当n =2时,21()ln(1),(1)
f x a x x =+-- 所以 2
3
2(1)().(1)a x f x x --=- 〔1〕当a ＞0时,由f (x )=0得
11x =+＞1,21x =＜1, 此时 f ′〔x 〕=123
()()(1)a x x x x x ----. 当x ∈〔1,x 1〕时,f ′〔x 〕＜0,f (x )单调递减；
当x ∈〔x 1+∞〕时,f ′〔x 〕＞0, f (x )单调递增.
〔2〕当a ≤0时,f ′〔x 〕＜0恒成立,所以f (x )无极值.
综上所述,n =2时,
当a ＞0时,f (x )在1x =+处取得极小值,极小值为
2(1(1ln ).2a f a
+=+ 当a ≤0时,f (x )无极值.
〔Ⅱ〕证法一：由于a =1,所以1()ln(1).(1)n f x x x =
+-- 当n 为偶数时, 令1()1ln(1),(1)
n g x x x x =----- 那么 g ′〔x 〕=1+
1112(1)11(1)n n n x n x x x x ++--=+----＞0〔x ≥2〕. 所以当x ∈[2,+∞]时,g(x)单调递增,
又 g (2)=0
因此1()1ln(1)(1)n
g x x x x =-----≥g(2)=0恒成立, 所以f (x )≤x-1成立.
当n 为奇数时,
要证()f x ≤x-1,由于1(1)n
x -＜0,所以只需证ln(x -1) ≤x -1, 令 h (x )=x -1-ln(x -1),
那么 h ′〔x 〕=1-1211
x x x -=--≥0〔x ≥2〕, 所以 当x ∈[2,+∞]时,()1ln(1)h x x x =---单调递增,又h (2)=1＞0, 所以当x ≥2时,恒有h (x ) ＞0,即ln 〔x -1〕＜x-1命题成立.
综上所述,结论成立.
证法二：当a =1时,1()ln(1).(1)
n f x x x =+--
当x ≤2,时,对任意的正整数n ,恒有1(1)n x -≤1,
故只需证实1+ln(x -1) ≤x -1.
令[)()1(1ln(1))2ln(1),2,h x x x x x x =--+-=---∈+∞
那么12()1,11x h x x x -'=-=--
当x ≥2时,()h x '≥0,故h (x )在[)2,+∞上单调递增,
因此 当x ≥2时,h (x )≥h (2)=0,即1+ln(x -1) ≤x -1成立.
故 当x ≥2时,有1ln(1)(1)n x x +--≤x -1. 即f 〔x 〕≤x -1。