运河区四中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

运河区四中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB|=10，则AB 的中点到y 轴的距离等于（ ）A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2． （m+1）x 2﹣（m ﹣1）x+3（m ﹣1）＜0对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（
）
A ．（1，+∞）
B ．（﹣∞，﹣1）
C ．
D ．
3． 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F 1MF 2=，则椭圆和双曲线的离
心率的倒数之和的最大值为（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．4
4． 命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是（ ）
A ．对任意实数x ，都有x ＞1
B ．不存在实数x ，使x ≤1
C ．对任意实数x ，都有x ≤1
D ．存在实数x ，使x ≤1
5． 已知均为正实数，且，，，则（ ）
,,x y z 22log x
x =-22log y
y -=-22log z z -=A ．
B ．
C ．
D ．x y z <<z x y <<z y z <<y x z
<<6． 某几何体的三视图如图所示（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（
）
A ．20+2π
B ．20+3π
C ．24+3π
D ．24+3π
7． 已知函数f （x ）=2x ﹣+cosx ，设x 1，x 2∈（0，π）（x 1≠x 2），且f （x 1）=f （x 2），若x 1，x 0，x 2成等差
数列，f ′（x ）是f （x ）的导函数，则（
）
A ．f ′（x 0）＜0
B ．f ′（x 0）=0
C ．f ′（x 0）＞0
D ．f ′（x 0）的符号无法确定
8． 已知的终边过点，则等于（ ）()2,37tan 4πθ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭A ． B ．
C ．-5
D ．5
1
5
-
1
5
9． 已知lga+lgb=0，函数f （x ）=a x 与函数g （x ）=﹣log b x 的图象可能是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知实数满足不等式组，若目标函数取得最大值时有唯一的最优解，则
y x ,⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+≤-5342y x y x x y mx y z -=)3,1(实数的取值范围是（ ）
m A ．
B ．
C ．
D ．1-<m 10<<m 1>m 1
≥m 【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等.
11．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．设M={x|﹣2≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤2}，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ，则f （x ）的图象可以是（ ）
A ．
B ．
C．D．
二、填空题
13．调查某公司的四名推销员，其工作年限与年推销金额如表
推销员编号1234
工作年限x/（年）351014
年推销金额y/（万元）23712
由表中数据算出线性回归方程为=x+．若该公司第五名推销员的工作年限为8年，则估计他（她）的年推销金额为 万元．
14．设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）=其中a，b∈R．若=，则a+3b的值为 ．
15．若的展开式中含有常数项，则n的最小值等于 ．
16．观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
…
照此规律，第n个等式为 ．
17．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是.
【命题意图】本题考查程序框图的功能识别，突出对逻辑推理能力的考查，难度中等. 18．函数y=1﹣（x∈R）的最大值与最小值的和为　2　．
三、解答题
19．已知f（x）=x2﹣（a+b）x+3a．
（1）若不等式f（x）≤0的解集为[1，3]，求实数a，b的值；
（2）若b=3，求不等式f（x）＞0的解集．
20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知tanA=，c=．（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若三角形△ABC 的面积为，求角C ．
21．（本小题满分12分）
已知数列的各项均为正数，，.
{}n a 12a =114
n n n n
a a a a ++-=+（Ⅰ）求数列的通项公式；
{}n a （Ⅱ）求数列的前项和．
11n n a a +⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
n n S 22．设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f （x+2）=﹣f （x ），当x ∈[0，2]时，f （x ）=2x ﹣x 2．
（1）求证：f （x ）是周期函数；
（2）当x ∈[2，4]时，求f （x ）的解析式；（3）求f （0）+f （1）+f （2）+…+f （2015）的值．
23．（本小题满分10分）已知函数f（x）＝|x－a|＋|x＋b|，（a≥0，b≥0）．
（1）求f（x）的最小值，并求取最小值时x的范围；
（2）若f（x）的最小值为2，求证：f（x）≥＋.
a b
24．已知二阶矩阵M有特征值λ1=4及属于特征值4的一个特征向量=并有特征值λ2=﹣1及属于特征值﹣1
的一个特征向量=，=
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）求M5．
运河区四中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：抛物线y2=4x焦点（1，0），准线为l：x=﹣1，
设AB的中点为E，过A、E、B分别作准线的垂线，
垂足分别为C、G、D，EF交纵轴于点H，如图所示：
则由EG为直角梯形的中位线知，
EG====5，
∴EH=EG﹣1=4，
则AB的中点到y轴的距离等于4．
故选D．
【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想．　
2．【答案】C
【解析】解：不等式（m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立，
即（m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立
若m+1=0，显然不成立
若m+1≠0，则
解得a．
故选C．
【点评】本题的求解中，注意对二次项系数的讨论，二次函数恒小于0只需．
3．【答案】C
【解析】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|MF1|=r1，|MF2|=r2，|F1F2|=2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2
∵∠F1MF2=，
∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①
在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2，
即=﹣1，②
在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2，
即=1﹣，③
联立②③得，+=4，
由柯西不等式得（1+）（+）≥（1×+×）2，
即（+）2≤×4=，
即+≤，
当且仅当e1=，e2=时取等号．即取得最大值且为．
故选C．
【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．
4．【答案】C
【解析】解：∵命题“存在实数x，使x＞1”的否定是
“对任意实数x，都有x≤1”
故选C
5．【答案】A
【解析】
考点：对数函数，指数函数性质．
6．【答案】B
【解析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以侧视图为底面的柱体（一个半圆柱与正方体的组合体），其底面面积S=2×2+=4+，
底面周长C=2×3+=6+π，高为2，
故柱体的侧面积为：（6+π）×2=12+2π，
故柱体的全面积为：12+2π+2（4+）=20+3π，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．
7．【答案】A
【解析】解：∵函数f（x）=2x﹣+cosx，设x1，x2∈（0，π）（x1≠x2），且f（x1）=f（x2），
∴，
∴存在x1＜a＜x2，f'（a）=0，
∴，∴，解得a=，
假设x1，x2在a的邻域内，即x2﹣x1≈0．
∵，
∴，
∴f（x）的图象在a的邻域内的斜率不断减少小，斜率的导数为正，
∴x0＞a，
又∵x ＞x 0，又∵x ＞x 0时，f ''（x ）递减，∴．
故选：A ．
【点评】本题考查导数的性质的应用，是难题，解题时要认真审题，注意二阶导数和三阶导数的性质的合理运用．　
8． 【答案】B 【
解
析
】
考点：三角恒等变换．9． 【答案】B
【解析】解：∵lga+lgb=0
∴ab=1则b=
从而g （x ）=﹣log b x=log a x ，f （x ）=a x 与
∴函数f （x ）与函数g （x ）的单调性是在定义域内同增同减结合选项可知选B ，故答案为B
10．【答案】C
【解析】画出可行域如图所示，，要使目标函数取得最大值时有唯一的最优解，则需)3,1(A mx y z -=)3,1(直线过点时截距最大，即最大，此时即可.
l A z 1>l k
11．【答案】C
【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，
其中只有（3，4，5）为勾股数，
故这3个数构成一组勾股数的概率为．
故选：C
12．【答案】B
【解析】解：A项定义域为[﹣2，0]，D项值域不是[0，2]，C项对任一x都有两个y与之对应，都不符．
故选B．
【点评】本题考查的是函数三要素，即定义域、值域、对应关系的问题．
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：由条件可知=（3+5+10+14）=8，=（2+3+7+12）=6，
代入回归方程，可得a=﹣，所以=x﹣，
当x=8时，y=，
估计他的年推销金额为万元．
故答案为：．
【点评】本题考查线性回归方程的意义，线性回归方程一定过样本中心点，本题解题的关键是正确求出样本中心点，题目的运算量比较小，是一个基础题．
14．【答案】　﹣10　．
【解析】解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数，f（x）=，
∴f（）=f（﹣）=1﹣a，f（）=；又=，
∴1﹣a=①
又f（﹣1）=f（1），
∴2a+b=0，②
由①②解得a=2，b=﹣4；
∴a+3b=﹣10．
故答案为：﹣10．
15．【答案】5
【解析】解：由题意的展开式的项为T r+1=C n r（x6）n﹣r（）r=C n r=C n r
令=0，得n=，当r=4时，n 取到最小值5
故答案为：5．
【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．
16．【答案】　n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2　．
【解析】解：观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
…
等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2
左边的式子的项数与右边的底数一致，
每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，
照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2，
故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2
【点评】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．
17．【答案】54
x
【解析】根据程序框图可知循环体共运行了9次，输出的是1，3，5，7，9，11，13，15，17中不是3的
倍数的数，所以所有输出值的和.
54171311751=+++++18．【答案】2
【解析】解：设f （x ）=﹣
，则f （x ）为奇函数，所以函数f （x ）的最大值与最小值互为相反数，
即f （x ）的最大值与最小值之和为0．
将函数f （x ）向上平移一个单位得到函数y=1﹣
的图象，所以此时函数y=1﹣（x ∈R ）的最大值与最小值的和为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了函数奇偶性的应用以及函数图象之间的关系，奇函数的最大值和最小值互为相反数是解决本题的关键．
　三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵函数f （x ）=x 2﹣（a+b ）x+3a ，
当不等式f （x ）≤0的解集为[1，3]时，
方程x 2﹣（a+b ）x+3a=0的两根为1和3，由根与系数的关系得
，
解得a=1，b=3；
（2）当b=3时，不等式f （x ）＞0可化为
x 2﹣（a+3）x+3a ＞0，
即（x ﹣a ）（x ﹣3）＞0；
∴当a ＞3时，原不等式的解集为：{x|x ＜3或x ＞a}；
当a ＜3时，原不等式的解集为：{x|x ＜a 或x ＞3}；
当a=3时，原不等式的解集为：{x|x ≠3，x ∈R}．
【点评】本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法和应用问题，是基础题目．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意知，tanA=
，则=，即有sinA ﹣sinAcosC=cosAsinC ，
所以sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin （A+C ）=sinB ，
由正弦定理，a=b ，则=1；…
（Ⅱ）因为三角形△ABC 的面积为
，a=b 、c=，所以S=absinC=a 2sinC=，则，①由余弦定理得，
=，②由①②得，
cosC+
sinC=1，则2sin （C+）=1，sin （
C+）=，
又0＜C ＜π，则C+＜，即C+=，解得C= …．【点评】本题考查正弦定理，三角形的面积公式，以及商的关系、两角和的正弦公式等，注意内角的范围，属于中档题．
21．【答案】（本小题满分12分）
解： （Ⅰ）由得，∴是等差数列，公差为4，首项为4， （3分）114n n n n a a a a ++-=
+2214n n a a +-={}2n a ∴，由得． （6分）
244(1)4n a n n =
+-=0n a >n a =（Ⅱ）∵， （9
分）1112
n n a a +==+ ∴数列的前项和为11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩
⎭n ． （12
分）11111)1)2222
+++=- 22．【答案】
【解析】（1）证明：∵f （x+2）=﹣f （x ），
∴f （x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f （x+2）=f （x ），
∴y=f （x ）是周期函数，且T=4是其一个周期．
（2）令x ∈[﹣2，0]，则﹣x ∈[0，2]，
∴f （﹣x ）=﹣2x ﹣x 2，
又f （﹣x ）=﹣f （x ），
∴在x ∈[﹣2，0]，f （x ）=2x+x 2，
∴x ∈[2，4]，那么x ﹣4∈[﹣2，0]，那么f （x ﹣4）=2（x ﹣4）+（x ﹣4）2=x 2﹣6x+8，
由于f（x）的周期是4，所以f（x）=f（x﹣4）=x2﹣6x+8，
∴当x∈[2，4]时，f（x）=x2﹣6x+8．
（3）当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2．
∴f（0）=0，f（1）=1，
当x∈[2，4]时，f（x）=x2﹣6x+8，
∴f（2）=0，f（3）=﹣1，f（4）=0
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=1+0﹣1+0=0，
∵y=f（x）是周期函数，且T=4是其一个周期．
∴2016=4×504
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=504×[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]=504×0=0，
即求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=0．
【点评】本题主要考查函数周期性的判断，函数奇偶性的应用，综合考查函数性质的应用．　
23．【答案】
【解析】解：（1）由|x－a|＋|x＋b|≥|（x－a）－（x＋b）|
＝|a＋b|得，
当且仅当（x－a）（x＋b）≤0，即－b≤x≤a时，f（x）取得最小值，
∴当x∈[－b，a]时，f（x）min＝|a＋b|＝a＋b.
（2）证明：由（1）知a＋b＝2，
（＋）2＝a＋b＋2≤2（a＋b）＝4，
a b ab
∴＋≤2，
a b
∴f（x）≥a＋b＝2≥＋，
a b
即f（x）≥＋.
a b
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设M=
则=4=，∴①
又=（﹣1）=，∴②
由①②可得a=1，b=2，c=3，d=2，∴M=；
（Ⅱ）易知=0•+（﹣1），
∴M5=（﹣1）6=．
【点评】本题考查矩阵的运算法则，考查学生的计算能力，比较基础．。