2021届浙江省高考数学学案：第五章第节三角函数的化简与求值

第5节三角函数的化简与求值
考试要求掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。

知识梳理
1.三角变换
三角变换是重要的代数式变形,变形过程中，不仅需要熟练把握各种三角公式,还需要有一种处理复杂代数式的能力，更需要有一种化归的意识.
2。

三角恒等变换中常用的方法技巧
（1）角的变换:在化简、求值、证明中，表达式中往往会出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，缩小条件与结构中角的差异,使问题获解，此时需熟悉倍角与半角的相对性及角的拆并，变换的技巧,如错误!是错误!的半角，错误!是错误!的二倍角，2α＝（α＋β)＋（α－β），α＝(α＋β）－β等. (2)函数名称的变换：在三角函数中,正弦函数、余弦函数是基础，在变形中，通常化切为弦，变异名为同名.
(3)常数代换：在三角函数的运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数和或积等形式，例如常数“1"的代换变形为：1＝sin2α＋cos2α＝tan 45°＝sin 90°.
（4）幂的变换:升幂和降幂是三角变换中常用的方法，对于次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法.
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公
式及其逆用和变形应用。

例如sin αcos α＝错误!sin 2α，tan A＋tan B＝
tan(A＋B)（1－tan A tan B)等.
[常用结论与易错提醒］
（1)辅助角公式:a sin θ＋b cos θ＝错误!sin(θ＋φ)，其中角φ所在象限由a，b的符号确定，且tan φ＝错误!.
（2）（选用）万能公式：sin θ＝错误!，cos θ＝错误!,tan θ＝错误!.
(3)（选用)三倍角公式：sin 3θ＝3sin θ－4sin3θ，cos 3θ＝4cos3θ－3cos
θ，tan 3θ＝3tan θ－tan3θ
1－3 tan2θ。

诊断自测
1。

判断下列说法的正误。

(1）错误!＝tan错误!。

( )
（2)在半角公式：sin 错误!＝±错误!，cos 错误!＝±错误!，tan 错误!＝±错误!
中，符号由α
2
所在象限决定。

（）
(3）tan 错误!＝错误!＝错误!。

( ）
（4)1
2
cos α＋
3
2
sin α＝cos(60°＋α).( ）
解析错误!cos α＋错误!sin α＝cos 60°cos α＋sin 60°sin α＝cos（60°－α），(4）不正确.
答案(1)√（2)√（3)√(4）×
2.错误!的值是（)
A.sin 40° B。

cos 40°
C。

cos 130° D.±cos 50°
解析原式＝错误!＝｜cos 130°｜＝cos 50°＝sin 40°。

答案A
3。

若cos α＝错误!,且α∈［0，π],则cos 错误!＋sin 错误!的值是( ）
A。

5
6
B。

错误!
C.错误!
D.错误!
解析∵α∈［0,π]，cos α＝错误!，∴sin α＝错误!＝错误!，则错误!错误!＝1＋sin α＝1＋错误!，检验知B符合上式。

答案B
4。

若sin错误!＝错误!，则tan2x＝________.
解析∵sin错误!＝错误!,∴－cos 2x＝错误!，即cos 2x＝－错误!，∴tan2x ＝错误!＝错误!＝错误!＝4.
答案4
5。

方程sin x＋错误!cos x＝1在区间［0，2π]上的所有解的和等于________。

解析sin x＋3cos x＝2sin错误!＝1，x∈[0,2π］，解得x1＝错误!，x2＝2π
－π
6
，∴x1＋x2＝错误!。

答案错误!
6。

定义运算a⊕b＝ab2＋a2b，则sin 15°⊕cos 15°＝________。

解析由定义运算知sin 15°⊕cos 15°＝sin 15°cos215°＋sin215°cos 15°＝sin 15°cos 15°(cos 15°＋sin 15°)＝错误!×2sin 15°cos 15°sin（45°＋15°）＝错误!.
答案错误!
考点一三角函数式的化简
【例1】化简错误!。

解原式＝错误!＝错误!＝错误!＝tan θ.
规律方法三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分,正确使用公式;二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等。

【训练1】化简错误!＋错误!（sin2α－cos2α).
解原式＝错误!－错误!cos 2α
＝错误!－错误!cos 2α
＝错误!·错误!－错误!cos 2α
＝sin 2α－错误!cos 2α＝2sin错误!.
考点二三角函数式的求值多维探究
角度1 给角求值
【例2－1】求值：1＋cos 20°[2cos 40°＋sin 10°（1＋错误!tan 10°）］。

解原式＝错误!cos 10°·错误!
＝错误!cos 10°·错误!
＝2错误!（cos 40°cos 10°＋sin 10°sin 40°）
＝2错误!cos 30°
＝错误!。

角度2 给值求值
【例2－2】已知α，β都是锐角,cos α＝1
7
，cos(α＋β）＝－
11
14
，求
cos β的值。

解∵α，β都是锐角,cos α＝错误!，∴sin α＝错误!＝错误!，又0<α＋β<π，cos(α＋β)＝－错误!,
∴sin（α＋β）＝错误!＝错误!，
故cos β＝cos[(α＋β）－α]
＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α＝－错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!。

角度3 给出关系式求值
【例2－3】已知sin4θ＋cos4θ＝错误!，求sin 2θ的值.
解sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ）2－2sin2θcos2θ＝1－2sin2θcos2θ＝
错误!，
∴2sin2θcos2θ＝错误!，∴sin θcos θ＝±错误!，sin 2θ＝2sin θcos θ＝±错误!.角度4 给值求角
【例2－4】若sin 2α＝错误!，sin（β－α)＝错误!,且α∈错误!，β∈错误!，求α＋β的值。

解∵sin 2α＝错误!,α∈错误!，2α∈错误!，
∴cos 2α＝－错误!且α∈错误!，
又∵sin(β－α）＝错误!,β∈错误!,
∴cos(β－α）＝－错误!,
∴cos(α＋β）＝cos［(β－α）＋2α］
＝cos（β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α
＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!，
又α＋β∈错误!,∴α＋β＝错误!.
规律方法 (1）给角求值时，往往出现特殊角、出现正负项相消、分子分母出现公因式,注意观察化简、求值;
(2)给值求值要寻找已知函数值的角与欲求函数值角之间的关系；
（3）给出关系式求值，需要对已知关系式灵活变形、化简；
(4)给值求角注意先求角的范围，然后再求出在此范围上一种单调函数的角的三角函数值.
【训练2】 （1)（角度1)计算：错误!－tan 20°.
（2）（角度2)已知α是第一象限角，sin α＝错误!，求tan 错误!的值.
(3)(角度3）已知2sin θ＝1－cos θ，求tan θ的值。

（4）（角度4）(一题多解）设cos α＝－错误!，tan β＝错误!，π<α<错误!，
0<β<π2
，求α－β的值. 解 （1）错误!－tan 20°
＝错误!－错误!
＝错误!－错误!
＝错误!－错误!
＝错误!－错误!
＝错误!.
（2）因为α是第一象限角，sin α＝错误!,所以cos α＝错误!＝错误!＝错误!，所以tan α＝错误!＝错误!,tan α＝错误!＝错误!,整理得12tan 2错误!＋7tan 错误!－12＝0，解得tan 错误!＝错误!或tan 错误!＝－错误!（舍去),故tan 错误!＝错误!。

（3）因为2sin θ＝1－cos θ，
所以4sin 错误!cos 错误!＝1－错误!＝2sin 2错误!，
解得sin 错误!＝0或2cos 错误!＝sin 错误!,tan 错误!＝0或2，又tan θ＝错误!，
当tan θ
2
＝0时,tan θ＝0；当tan 错误!＝2时，tan θ＝－错误!。

(4)法一由cos α＝－错误!，π<α<错误!，得sin α＝－错误!，
tan α＝2，又tan β＝错误!，
于是tan（α－β)＝错误!＝错误!＝1.
又由π<α<错误!，
0<β〈错误!可得－错误!<－β〈0,错误!〈α－β〈错误!，
因此α－β＝错误!。

法二由cos α＝－错误!，π〈α〈错误!得sin α＝－错误!。

由tan β＝错误!，0<β〈错误!得sin β＝错误!，cos β＝错误!.
所以sin(α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＝
错误!错误!－错误!错误!＝－错误!。

又由π〈α<错误!，0<β<错误!可得
－错误!<－β〈0,错误!<α－β<错误!，因此α－β＝错误!。

考点三三角函数恒等式的证明
【例3】证明：错误!－2cos（α＋β)＝错误!.
证明左端＝错误!
＝错误!
＝错误!＝错误!＝右端.
规律方法(1)三角函数恒等式的证明要从“角、名、形"进行分析消除两端的差异;
（2）常从繁杂一边推出简单的一边，或者两边同时推出一个共同
式子，有时需对要证等式先进行等价变换，进而证明其等价命题(等式).
【训练3】证明：cos 4α＋4cos 2α＋3＝8cos4α.
证明左边＝cos 4α＋4cos 2α＋3
＝2cos22α－1＋4cos 2α＋3
＝2(cos22α＋2cos 2α＋1)＝2（cos 2α＋1)2
＝2（2cos2α－1＋1）2＝2（2cos2α）2＝8cos4α＝右边.
三角函数求值
【例题】(满分14分)(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P错误!。

(1)求sin(α＋π)的值；
（2）若角β满足sin(α＋β）＝错误!,求cos β的值.
审题路线图
错误!—错误!错误!错误!
满分解答
解（1）由角α的终边过点P错误!得sin α＝－错误!,2分
所以sin（α＋π）＝－sin α＝错误!。

5分
(2)由角α的终边过点P错误!得cos α＝－错误!,7分
由sin（α＋β）＝错误!得cos(α＋β）＝±错误!.10分
由β＝（α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β）sin α,
所以cos β＝－56
65
或cos β＝错误!.14分
[构建模板]
……利用三角函数定义求三角函数
……诱导公式计算
……平方关系计算
……角的变换
……利用两角差的余弦公式，分类计算
……明确规范的表述结论
【训练】（2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝错误!，cos(α＋β)＝－错误!.
（1)求cos 2α的值;
（2）求tan（α－β)的值。

解（1）因为tan α＝错误!，tan α＝错误!，所以sin α＝错误!cos α.
因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝错误!,
因此cos 2α＝2cos2α－1＝－错误!。

（2)因为α，β为锐角,所以α＋β∈（0，π)。

又因为cos（α＋β)＝－错误!，所以sin（α＋β)＝错误!＝错误!，因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝错误!，所以tan 2α＝错误!＝－错误!，
因此tan（α－β)＝tan[2α－（α＋β)］＝错误!＝－错误!.
基础巩固题组
一、选择题
1。

若cos 错误!＝错误!，则sin 2α＝( )
A.725 B 。

错误! C 。

－错误! D 。

－错误! 解析 ∵cos ⎝ ⎛）π4－α＝35，∴sin 2α＝cos 错误!
＝cos 错误!＝2cos 2错误!－1
＝2×错误!错误!－1＝－错误!。

答案 D
2.若sin 错误!＝错误!,则cos 错误!＝（ ） A 。

－错误! B 。

－错误!
C.错误! D 。

错误! 解析 ∵错误!＋错误!＝错误!，∴cos 错误!＝sin 错误!＝错误!，∴cos 错误!＝cos 错误!＝2cos 2错误!－1＝2×错误!－1＝－错误!。

答案 A
3。

计算错误!＝( ）
A.－错误!
B.－错误! C 。

错误! D 。

错误! 解析 原式＝错误!
＝错误!
＝错误!＝sin 30°＝错误!。

答案 D
4。

式子错误!tan 11°＋错误!tan 19°＋tan 11°tan 19°的值是（）A。

错误! B.错误!
C。

0 D.1
解析∵tan 30°＝tan(11°＋19°)＝错误!，
∴tan 11°＋tan 19°
＝错误!（1－tan 11°tan 19°)，
∴原式＝错误!(tan 11°＋tan 19°)＋tan 11°tan 19°
＝3×错误!(1－tan 11°tan 19°)＋tan 11°tan 19°
＝1。

答案D
5.若α∈错误!,且3cos 2α＝sin错误!，则sin 2α的值为( ）
A。

－错误!B。

错误!
C.－错误!D。

错误!
解析由3cos 2α＝sin错误!,
可得3（cos2α－sin2α)＝错误!(cos α－sin α），
于是3（cos α＋sin α）＝错误!，
所以1＋2sin αcos α＝1 18，
所以sin 2α＝－错误!,故选C。

答案C
6。

已知sin α＝错误!，sin(α－β)＝－错误!，α,β均为锐角，则角β＝( ) A。

错误!B。

错误!
C.错误!
D.错误!
解析因为α,β均为锐角，所以－错误!<α－β〈错误!。

又sin（α－β)＝－错误!，所以cos（α－β）＝错误!。

又sin α＝错误!，所以cos α＝错误!，
所以sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β）－cos αsin（α－β)
＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!。

所以β＝错误!。

答案C
二、填空题
7。

已知sin错误!－cos α＝错误!，则sin错误!＝________.
解析∵sin错误!－cos α＝错误!cos α－错误!sin α－cos α＝－sin错误!＝错误!,∴sin错误!＝－错误!。

答案－错误!
8。

求值：tan 10°＋错误!＝________。

解析原式＝错误!＋错误!
＝错误!＋错误!
＝错误!
＝错误!
＝错误!
＝错误!＝错误!
＝错误!。

答案错误!
9.已知错误!〈β<α〈错误!，cos(α－β)＝错误!，sin（α＋β)＝－错误!，则sin 2α的值是________.
解析 ∵π2
〈β<α<错误!,∴－错误!<－β<－错误!， ∴0〈α－β<错误!，π<α＋β<错误!，
∵cos（α－β）＝错误!,sin(α＋β）＝－错误!，
∴sin(α－β）＝错误!，cos(α＋β）＝－错误!，
∴sin 2α＝sin 错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝－错误!。

答案 －错误!
10.已知sin （x ＋20°）＝cos(x ＋10°）＋cos(x －10°)，则tan x 的值是________。

解析 ∵sin(x ＋20°）＝cos(x ＋10°)＋cos （x －10°)，
∴sin x cos 20°＋cos x sin 20°＝2cos x cos 10°，
∴tan x ＝2cos 10°－sin 20°cos 20°
＝错误! ＝错误!
＝2cos 30°＝错误!。

答案 错误!
三、解答题
11。

求值：cos 错误!cos 错误!cos 错误!cos 错误! cos 错误!cos 错误!cos 错误!。

解 原式＝错误!·sin
错误!cos 错误!cos 错误!cos 错误!·cos 错误!·cos 错误!cos 错误!·cos 错误!
＝错误!·错误!sin 错误!cos 错误!cos 错误!cos 错误!cos 错误!cos 错误!·错误! ＝错误!·错误!sin 错误!cos 错误!·cos 错误!cos 错误!cos 错误!
＝错误!·错误!sin 错误!错误!·cos 错误!cos 错误!
＝错误!·错误!错误!·错误!·sin 错误!cos 错误!cos 错误!
＝错误!·错误!·sin 错误!·错误!·错误!sin 错误!cos 错误!＝错误!·错误!·错误!sin 错误!
＝错误!·错误!·sin 错误!
＝错误!＝错误!。

12。

已知cos错误!＝错误!，错误!<x〈错误!，求错误!的值.解错误!＝错误!
＝错误!
＝sin 2x·1＋tan x 1－tan x
＝sin 2x·tan 错误!.
由错误!<x〈错误!，得错误!〈x＋错误!〈2π，
又cos错误!＝错误!,所以sin错误!＝－错误!，tan 错误!＝－错误!.
cos x＝cos错误!
＝错误!错误!
＝－错误!，sin x＝－错误!，tan x＝7，
sin 2x＝2sin x cos x＝错误!。

所以错误!＝－错误!.
能力提升题组
13。

已知cos(α＋β）＝错误!，cos（α－β)＝错误!，则tan αtan β的值为( ）A.－错误! B.错误! C.－错误!D。

错误!
解析因为cos（α＋β)＝错误!，
所以cos αcos β－sin αsin β＝错误!。

①
因为cos(α－β)＝错误!,
所以cos αcos β＋sin αsin β＝错误!。

②
①＋②得cos αcos β＝错误!.
②－①得sin αsin β＝错误!。

所以tan αtan β＝错误!＝错误!。

答案 B
14。

已知x ∈错误!，y ∈错误!,且x tan y ＝2（1－cos x )，则( ） A 。

y 〈x 4
B.错误!〈y <错误! C 。

x 2〈y 〈x D.y 〉x 解析 ∵x ∈错误!，y ∈错误!，∴0<sin x <x 〈tan x ，又x tan y ＝2(1－cos x ）⇒tan y ＝2－2cos x x ，因此tan y ＝错误!<错误!＝错误!＝2tan 错误!，∴tan
y ＝错误!〈2tan 错误!，∴2tan 错误!<错误!〈2tan 错误!⇒错误!〈错误!⇒y 〈x ,又tan y ＝错误!〉错误!＝错误!＝错误!＝2cos x tan 错误!,∵函数y ＝2cos x 在区间错误!上单调递减，∴2cos x ∈(错误!，2），∴tan y ＝错误!>2cos x tan 错误!〉tan 错误!，∴y 〉错误!，∴错误!〈y 〈x ，故选C 。

答案 C
15.如果cos 5θ－sin 5θ〈7（sin 3θ－cos 3θ）,θ∈[0,2π），那么θ的取值范围是________。

解析 不等式cos 5θ－sin 5θ〈7（sin 3θ－cos 3θ）等价于sin 3θ＋错误!sin 5θ〉cos 3θ＋错误!cos 5θ，又f (x ）＝x 3＋错误!x 5是R 上的增函数,所以sin θ>cos θ,故有2k π＋错误!〈θ〈2k π＋错误!(k ∈Z )，又θ∈[0，2π），∴θ的取值范围是错误!.
答案 错误!
16。

已知a为正实数,f（x)＝错误!若存在θ∈错误!,满足f（sin θ)＝f(cos θ)，则实数a的取值范围是________。

解析由题意得对任意x〉0，f(a＋x)＝（a＋x）2－a（a＋x）＋1＝x2＋ax＋1，f（a－x）＝（a－x)2－3a（a－x）＋2a2＋1＝x2＋ax＋1，所以函数f（x）的图象关于直线x＝a对称，又因为当x≥a时，f(x)＝x2－ax＋1＝错误!错误!＋1－错误!，且a>0，所以函数f(x)在(a，＋∞)上单调递增，则由f(sin θ)＝f（cos θ）得a＝错误!＝错误!sin错误!，又因为θ∈错误!,所以θ＋错误!∈错误!，则a＝错误!sin错误!∈错误!。

答案错误!
17.已知tan(π＋α)＝－1
3
，tan（α＋β）＝错误!。

（1)求tan（α＋β)的值；
（2）求tan β的值.
解(1）因为tan(π＋α）＝－错误!，
所以tan α＝－1 3，
从而有tan（α＋β)＝错误!
＝错误!
＝错误!＝错误!.
（2）tan β＝tan［(α＋β)－α]＝错误!
＝错误!
＝错误!.
18.已知α，β∈错误!，且7sin α＝5sin (α＋2β）,（1）求证:tan(α＋β)＝6tan β；
（2）若tan α＝3tan β，求α的值。

(1）证明因为7sin α＝5sin(α＋2β)，
7sin［（α＋β）－β]＝5sin［（α＋β)＋β］，得7［sin（α＋β）cos β－cos(α＋β)sin β]＝5［sin（α＋β）cos β＋cos(α＋β）sin β],即sin（α＋β）cos β＝6cos(α＋β)sin β.
又因为α，β∈错误!,
则α＋β∈(0,π)，cos α≠0，cos(α＋β）≠0,所以tan（α＋β)＝6tan β.
（2）解由上可知tan(α＋β)＝6tan β，即tan α＋tan β
1－tan αtan β＝6tan
β.
又因为tan α＝3tan β，代入得
错误!＝6·错误!tan α，
解得tan α＝1或tan α＝－1（舍）或tan α＝0(舍），故α＝错误!.。