平乡县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

平乡县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若当R x ∈时，函数||)(x a x f =（0>a 且1≠a ）始终满足1)(≥x f ，则函数3
|
|log x x y a =的图象大致是 （ ）
【命题意图】本题考查了利用函数的基本性质来判断图象，对识图能力及逻辑推理能力有较高要求，难度中等． 2． 已知f （x ）=2sin （ωx+φ）的部分图象如图所示，则f （x ）的表达式为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 过点),2(a M -，)4,(a N 的直线的斜率为2
1
-
，则=||MN （ ） A ．10 B ．180 C ．36 D ．56
4． 如果函数f （x ）的图象关于原点对称，在区间上是减函数，且最小值为3，那么f （x ）在区间上是（ ） A ．增函数且最小值为3
B ．增函数且最大值为3
C ．减函数且最小值为﹣3
D ．减函数且最大值为﹣3
5． 高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（ ） A ．720 B ．270 C ．390 D ．300
6． 一个椭圆的半焦距为2，离心率e=，则它的短轴长是（ ）
A ．3
B ．
C ．2
D ．6
7． 已知向量(1,2)a =，(1,0)b =，(3,4)c =，若λ为实数，()//a b c λ+，则λ=（ ）
A ．
14 B ．1
2
C ．1
D ．2 8． 阅读右图所示的程序框图，若8,10m n ==，则输出的S 的值等于（ ）
A ．28
B ．36
C ．45
D ．120
9． 已知函数f （x ）=sin 2（ωx ）﹣（ω＞0）的周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为（ ）
A ．π
B ．
C ．
D ．
10．设曲线2()1f x x =+在点(,())x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象 可以为（ ）
A ．
B ． C. D ．
11．在△ABC 中，C=60°，AB=
，AB 边上的高为，则AC+BC 等于（ ）
A ．
B ．5
C ．3
D ．
12．学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年级的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配或分配多个名额，则不同的分配方案共有（ ） A ．20种 B ．24种 C ．26种 D ．30种
二、填空题
13．已知一个动圆与圆C ：（x+4）2+y 2
=100相内切，且过点A （4，0），则动圆圆心的轨迹方程 ． 14．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=3
x x +，对任意的m ∈[﹣2，2]，f （mx
﹣2）+f （x ）＜0恒成立，则x 的取值范围为_____． 15．1785与840的最大约数为 ．
16．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；
乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为 ．
17．【南通中学2018届高三10月月考】定义在
上的函数
满足
，
为
的导函数，且
对
恒成立，则
的取值范围是__________________.
18．阅读右侧程序框图，输出的结果i 的值为 ．
三、解答题
19．（本小题满分10分）
已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，将曲线1cos :sin x C y θ
θ=⎧⎨=⎩，（α为参数），经过伸缩变
换32x x
y y '=⎧⎨'=⎩
后得到曲线2C ．
（1）求曲线2C 的参数方程；
（2）若点M 的在曲线2C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．
20．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ=6cos θ，曲线C 2的极坐标方程为θ=（p ∈R ），曲线C 1，C 2相交于A ，B
两点．
（Ⅰ）把曲线C 1，C 2的极坐标方程转化为直角坐标方程； （Ⅱ）求弦AB 的长度．
21．某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图． （Ⅰ）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；
（Ⅱ）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m 、n ，求事件“|m ﹣n|＞10”概率．
22．（本小题满分12分）
已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足*)(2N n a n S n n ∈=+．
（1）证明：数列}1{+n a 为等比数列，并求数列{n a }的通项公式；
（2）数列{n b }满足*))(1(log 2N n a a b n n n ∈+⋅=，其前n 项和为n T ，试求满足20152
2>++n
n T n 的
最小正整数n ．
【命题意图】本题是综合考察等比数列及其前n 项和性质的问题，其中对逻辑推理的要求很高.
23．已知函数f （x ）=lnx+ax 2+b （a ，b ∈R ）．
（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在x=1处的切线为y=﹣1，求函数f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）求证：对任意给定的正数m ，总存在实数a ，使函数f （x ）在区间（m ，+∞）上不单调；
（Ⅲ）若点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（x 2＞x 1＞0）是曲线f （x ）上的两点，试探究：当a ＜0时，是否存在实数x 0∈（x 1，x 2），使直线AB 的斜率等于f'（x 0）？若存在，给予证明；若不存在，说明理由．
24．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数()()2
ln R f x x ax x a =-+-∈.
（1）若函数()f x 是单调递减函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 在区间()0,3上既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围.
平乡县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C
【解析】由||)(x a x f =始终满足1)(≥x f 可知1>a ．由函数3
|
|log x x y a =
是奇函数，排除B ；当)1,0(∈x 时，0||log <x a ，此时0|
|log 3
<=
x
x y a ，排除A ；当+∞→x 时，0→y ，排除D ，因此选C ． 2． 【答案】 B
【解析】解：∵函数的周期为T==
，
∴ω=
又∵函数的最大值是2，相应的x 值为
∴
=
，其中k ∈Z
取k=1，得φ=
因此，f （x ）的表达式为，
故选B
【点评】本题以一个特殊函数求解析式为例，考查由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式、三角函数的图象与性质，周期与相位等概念，属于基础题．
3． 【答案】D 【解析】
考点：1.斜率；2.两点间距离. 4． 【答案】D
【解析】解：由奇函数的性质可知，若奇函数f （x ）在区间上是减函数，且最小值3， 则那么f （x ）在区间上为减函数，且有最大值为﹣3，
故选：D
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，比较基础．
5． 【答案】C
解析：高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队． 各个班的人数有5班的3人、16班的4人、33班的5人， 首发共有1、2、2；2、1、2；2、2、1类型；
所求方案有： +
+
=390．
故选：C ． 6． 【答案】C
【解析】解：∵椭圆的半焦距为2，离心率e=，
∴c=2，a=3，
∴b=
∴2b=2
．
故选：C ．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．属基础题．
7． 【答案】B
【解析】
试题分析：因为(1,2)a =，(1,0)b =，所以()()1,2a b λλ+=+，又因为()//a b c λ+，所以
()1
4160,2
λλ+-==
，故选B. 考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质. 8． 【答案】C
【解析】解析：本题考查程序框图中的循环结构．12
1123
m
n n n n n m S C m
---+=
⋅⋅⋅⋅
=，当8,10m n ==时，82101045m n C C C ===，选C ．
9． 【答案】D
【解析】解：由函数f （x ）=sin 2
（ωx ）﹣=﹣cos2ωx （ω＞0）的周期为
=π，可得ω=1，
故f （x ）=﹣cos2x ．
若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0），可得y=﹣cos2（x ﹣a ）=﹣cos （2x ﹣2a ）的图象；
再根据所得图象关于原点对称，可得2a=k π+
，a=
+
，k ∈Z ．
则实数a 的最小值为．
故选：D
【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数y=Acos （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．
10．【答案】A 【解析】
试题分析：()()()()()2,cos 2cos ,,cos cos g x x g x x x x g x g x x x ==-=--=，()cos y g x x ∴=为奇函数，排除B ，D ，令0.1x =时0y >，故选A. 1 考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法. 11．【答案】D
【解析】解：由题意可知三角形的面积为S=
=
=AC •BCsin60°，
∴AC •BC=．由余弦定理AB 2=AC 2+BC 2﹣2AC •BCcos60°=（AC+BC ）2
﹣3AC •BC ，
∴（AC+BC ）2
﹣3AC •BC=3，
∴（AC+BC ）2
=11．
∴AC+BC=
故选：D
【点评】本题考查解三角形，三角形的面积与余弦定理的应用，整体法是解决问题的关键，属中档题．
12．【答案】A
【解析】解：甲班级分配2个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有1+6+3=10种不同的分配方案；
甲班级分配3个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3+3=6种不同的分配方案； 甲班级分配4个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3种不同的分配方案； 甲班级分配5个名额，有1种不同的分配方案． 故共有10+6+3+1=20种不同的分配方案， 故选：A ．
【点评】本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，是一个中档题，解题时容易出错，本题应用分类讨论思想．
二、填空题
13．【答案】+=1．
【解析】解：设动圆圆心为B，半径为r，圆B与圆C的切点为D，∵圆C：（x+4）2+y2=100的圆心为C（﹣4，0），半径R=10，
∴由动圆B与圆C相内切，可得|CB|=R﹣r=10﹣|BD|，
∵圆B经过点A（4，0），
∴|BD|=|BA|，得|CB|=10﹣|BA|，可得|BA|+|BC|=10，
∵|AC|=8＜10，
∴点B的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，
设方程为（a＞b＞0），可得2a=10，c=4，
∴a=5，b2=a2﹣c2=9，得该椭圆的方程为+=1．
故答案为：+=1．
14．【答案】
2 2,
3⎛⎫-
⎪⎝⎭
【解析】
15．【答案】105．
【解析】解：1785=840×2+105，840=105×8+0．
∴840与1785的最大公约数是105．
故答案为105
16．【答案】A．
【解析】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，
但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，
再由丙说：我们三人去过同一城市，
则由此可判断乙去过的城市为A．
故答案为：A．
【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．
17．【答案】
【解析】点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。

某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用。

因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的。

根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧。

许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效。

18．【答案】7．
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
S=1，i=3
不满足条件S≥100，S=8，i=5
不满足条件S≥100，S=256，i=7
满足条件S≥100，退出循环，输出i的值为7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环S，i的值是解题的关键，属于基础题．三、解答题
19．【答案】（1）
3cos
2sin
x
y
θ
θ
=
⎧
⎨
=
⎩
（为参数）；（2
【解析】
试题解析：
（1）将曲线
1
cos :
sin x
C
y
α
α=
⎧
⎨
=
⎩
（α为参数），化为
221
x y
+=，由伸缩变换
3
2
x x
y y
'=
⎧
⎨'
=
⎩
化为
1
3
1
2
x x
y y
⎧'
=
⎪⎪
⎨
⎪'
=
⎪⎩
，
代入圆的方程
2
11
1
32
x y
⎛⎫⎛⎫
''
+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，得到
()()
22
2
:1
94
x y
C
''
+=，
可得参数方程为
3cos
2sin
x
y
α
α
=
⎧
⎨
=
⎩
；
考点：坐标系与参数方程．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）曲线C2：（p∈R）
表示直线y=x，
曲线C1：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ
所以x2+y2=6x即（x﹣3）2+y2=9
（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离，
r=3所以弦长AB==．
∴弦AB的长度．
【点评】本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．
21．【答案】
【解析】解：（I）由直方图知，成绩在[60，80）内的人数为：50×10×（0.18+0.040）=29．
所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人．
（II）由直方图知，成绩在[50，60）内的人数为：50×10×0.004=2，
设成绩为x、y
成绩在[90，100]的人数为50×10×0.006=3，设成绩为a、b、c，
若m，n∈[50，60）时，只有xy一种情况，
若m，n∈[90，100]时，有ab，bc，ac三种情况，
m n[5060[90100]
事件“|m ﹣n|＞10”所包含的基本事件个数有6种
∴
．
【点评】在频率分布直方图中，每一个小矩形都是等宽的，即等于组距，高是，所以有：
×组距=
频率；即可把所求范围内的频率求出，进而求该范围的人数．
22．【答案】
【解析】（1）当111,12n a a =+=时，解得11a =. （1分）
当2n ≥时，2n n S n a +=，
① 11(1)2n n S n a --+-=，
②
①-②得，1122n n n a a a -+=-即121n n a a -=+， （3分） 即112(1)(2)n n a a n -+=+≥，又112a +=. 所以{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.
即12n n a +=故21n n a =-（*
n N ∈）.
（5分）
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由已知得解得…
此时，（x＞0）．
（Ⅱ）（x＞0）．
（1）当a≥0时，f'（x）＞0恒成立，此时，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意，舍去．…
（2）当a＜0时，令f'（x）=0，得，f（x），f'（x）的变化情况如下表：
）
所以函数f（x）的增区间为（0，），减区间为（，+∞）．…
要使函数f（x）在区间（m，+∞）上不单调，须且只须＞m，即．
所以对任意给定的正数m，只须取满足的实数a，就能使得函数f（x）在区间（m，+∞）上不
单调．…
（Ⅲ）存在实数x0∈（x1，x2），使直线AB的斜率等于f'（x0）．…
证明如下：令g（x）=lnx﹣x+1（x＞0），则，
易得g（x）在x=1处取到最大值，且最大值g（1）=0，即g（x）≤0，从而得lnx≤x﹣1．（*）…
由，得．…
令，，则p（x），q（x）在区间[x1，x2]上单调递增．
且，
，
结合（*）式可得，，
．
令h （x ）=p （x ）+q （x ），由以上证明可得，h （x ）在区间[x 1，x 2]上单调递增，且h （x 1）＜0，h （x 2）＞0，… 所以函数h （x ）在区间（x 1，x 2）上存在唯一的零点x 0，
即
成立，从而命题成立．…
（注：在（Ⅰ）中，未计算b 的值不扣分．）
【点评】本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想．
24．【答案】（1）a ≤2）193
a <<. 【解析】试题分析：
（1）原问题等价于()0f x '≤对()0,+∞恒成立，即1
2a x x
≤+对()0,+∞恒成立，结合均值不等式的结论可
得a ≤
（2）由题意可知()221
0x ax f x x
-+-'=
=在()0,3上有两个相异实根，结合二次函数根的分布可得实数a 的
取值范围是19
3
a <<.
试题解析：
（2）∵函数()f x 在()0,3上既有极大值又有极小值，
∴()221
0x ax f x x
-+-'=
=在()0,3上有两个相异实根， 即2
210x ax -+=在()0,3上有两个相异实根，
记()2
21g x x ax =-+，则()()0
03{ 4
0030a
g g ∆><<>>
，得{012 19
3
a a a a -<<<
，
即19
3
a <<.。