线性相位FIR数字滤波器的设计

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FIR数字滤波器的设计方法
IIR数字滤波器的设计方法是利用模拟滤波器 成熟的理论及设计图表进行设计的，因而保留 了一些典型模拟滤波器优良的幅度特性。 但设计中只考虑了幅度特性，没考虑相位特 性，所设计的滤波器一般是某种确定的非线性 相位特性。为了得到线性相位特性，对IIR滤 波器必须另外增加相位校正网络，使滤波器设 计变得复杂，成本也高，又难以得到严格的线 性相位特性。
h(n) cos[ (n )] 0
n0
N 1
X
第
N 1 n 0
h(n) cos[(n )] 0
函数h(n)cos［ω(n－τ)］关于求和区间的中心 (N－1)/2奇对称。
24 页
因为cos[ω(n－τ)］关于n=τ偶对称，所以要求τ和
h(n)满足如下条件：
N 1 ( ) , 2 2 h(n) h( N 1 n), 0 n N 1
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第 23 页
2) 第二类线性相位对h(n)的约束条件 第二类线性相位FIR数字滤波器的相位函数 θ(ω)=－π/2－ωτ 同样的推导过程可得到:
H (e j )


n0
N 1
h(n)e j n H g ( )e j( / 2 )
0 ，第二类线性相位
H (e ) h(n) cos n j h(n) sin n
n 0 j N 1 N 1 n 0
arctg
h(n) sin n
n 0 N 1 n 0
N 1
h(n) cosn
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第
表7.1.1 线性相位FIR数字滤波器的时域和频域特性一览
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汽车上的倒车雷达 通常情况下，雷达发射脉冲信号，通过比较返 回的脉冲信号与发射的脉冲信号之间的时间差 来确定目标的距离。 在最简单的固定载频的情况下，脉冲信号的频 率分量非常丰富，如果雷达系统的相位非线性 的话，回波信号经过雷达系统后，各个频率成 分的延迟时间不一样，在与发射信号比较时间 差的时候，合成的回波信号与实际的回波信号 其起始位置就很有可能不同，这样测算出来的 距离就不能真实反应目标与雷达之间的距了。 这时候必须要求相位的线性性。
1 2 N 1
2
H g ( ) h(n) sin[ ( N21 n)]
n 0 N 1
X
H e
j
h(n)e
n 0
N 1
j n
H g ( )e
j
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1.线性相位FIR的时域约束条件
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第 12 页
FIR滤波器的系统函数可以写为 H e
j
h ( n )e
n 0
N 1
j n
H g ( )e
j
Hg(ω)称为幅度特性
θ(ω)称为相位特性
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第
H e
j
h(n)e
n 0
N 1
j n
Hale Waihona Puke 13 页如果 满足
() ，为常数，第一类线性相 位
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第
表7.1.1 线性相位FIR数字滤波器的时域和频域特性一览
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线性相位非常重要
音乐厅、电影院 如果把舞台上音乐家的歌唱声或乐器发出的声 响作为输入，听众听到的上述声音作为输出的 话，那么音乐厅可以建模成这个输入输出之间 的一个系统。从直观上就可以理解，最理想的 情况是，输出与输入之间只有一个延时，也即 是舞台上唱什么歌，听众就能听到什么歌，只 是时间上稍微有个滞后。 如果音乐厅这个系统不是线性相位的这时候也 就意味着坐在不同位置的听众，听到的将是不 同的音乐。这是人们不希望看到的。这种情况 下，必须要求相位的线性性。
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FIR滤波器的设计方法和IIR滤波器的设计方法 有很大差别。 FIR滤波器设计任务是选择有限长度的h(n)，使 频率响应函数H(ejω)满足技术指标要求。 有限脉冲响应(FIR)滤波器在保证幅度特性满 足技术要求的同时，很容易做到有严格的线性 相位特性。 主要介绍三种设计方法：窗函数法、频率采样 法和切比雪夫等波纹逼近法。
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第
h(n)(cos n jsin n) H ( )(cos jsin )
g n 0
N 1
18 页
H g ( ) cos H ( )sin g
h(n) cos n
n 0
N 1
h(n)sin n
结论：第二类线性相位特性，则h(n)应当关于 n=(N－1)/2点奇对称。
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2． 线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点 实质上，幅度特性的特点就是线性相位FIR滤波器的 频域约束条件。 设h(n)为实序列，即可推导出线性相位条件对FIR数 字滤波器的幅度特性Hg(ω)的约束条件。 当N取奇数和偶数时对Hg(ω)的约束不同 分四种情况讨论其幅度特性的特点。
H (e j )
j

n 0
N 1
h(n)e jn
j ( )
H (e ) H g ()e
推导出 H g ( )
实质上，幅度特性的特点就是线性相位FIR滤波器的 频域约束条件。
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第
N 1 M 2
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N 1 , 2
H g ( ) h( )
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FIR滤 波 器 可 以 用 如 下 的 分 差方 程 和 系 统 函 数 表 示 y (n) h(i ) x(n i )
i 0 N 1
H ( z ) h( n) z
n 0
N 1
n
H(z)在z平面上有N-1个零点,在原点有 N-1个重极点,H(z)永远稳定。
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Hg(ω)关于ω=0, π, 2π三点偶对称。 可以实现低通、高通、带通、带阻滤波器
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理想数字滤波器幅度特性：
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表7.1.1 线性相位FIR数字滤波器的时域和频域特性一览
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注意：对每一种情况仅画出满足幅 度特性要求的一种例图。如，情况1 仅以低通的幅度特性曲线为例。当 然也可以画出高通、带通和带阻滤 波器的幅度特性曲线。
n 0
N 1
将两式相除得到:
cos sin
h(n) cos n h(n)sin n
n0 n0 N 1
N 1
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即
h(n) cos n sin h(n)sin n cos
n 0 n0
N 1
N 1
移项并用三角公式化简得到:
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所以当 时： cos[ (n )] 0
cos［ω(n－τ)］关于过零点（ ω=π, Hg(π)=0 ）奇 对称，关于ω=0和2π偶对称。
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Hg(π)=0
关于ω=0和2π偶对称
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不能实现高通和带阻滤波器
理想数字滤波器幅度特性：
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表7.1.1 线性相位FIR数字滤波器的时域和频域特性一览
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可 实 现 低 通 、 带 通 。 不 能 实 现 高 通 、 带 阻 滤 波 器 Hg(ω)关于ω=π奇对称，关于ω=0和2π偶对称
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可 实 现 低 通 、 高 通 、 带 通 、 带 阻 滤 波 器
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情况2： h(n)=h(N－n－1), N为偶数。
H (e j ) H g ( )e j =

n 0
N 1
h(n)e j n e j
2h(n) cos( (n ))
n 0
h(n)sin[ (n )] 0
n0
N 1
函数h(n)sinω(n－τ)关于求和区间的中心(N－1)/2奇对称。 (结果为零) 因为sinω(n－τ)关于n=τ奇对称，如果取τ=(N－1)/2，(即取 求和区间的中点)，则要求h(n)关于(N－1)/2偶对称。
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所以要求τ和h(n)满足如下条件:
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预备知识1：
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理想数字滤波器幅度特性：
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第 28 页
预备知识2：
引入两个参数符号：
N 1 , 2
N 1 M 2
( N 1) / 2
表示取不大于(N－1)/2的最大整数。 显然，仅当N为奇数时，M=τ＝(N－1)/2 。
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情况1： h(n)=h(N－n－1), N为奇数。 将时域约束条件h(n)=h(N－n－1)和θ(ω)=－ωτ代入：
线性相位FIR滤波器的时域约束条件是指满足线性
相位时，对h(n)的约束条件。 1) 第一类线性相位对h(n)的约束条件 第一类线性相位FIR数字滤波器的相位函数 θ(ω)=－ωτ
H (e j )
N 1 n 0

n0
N 1
h(n)e jn H g ( )e j
g
h(n)(cos n jsin n) H ( )(cos jsin )
N 1 ( ) , 2 h(n) h( N 1 n), 0≤ n≤ N 1
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结论:
如果要求单位脉冲响应为h(n)、长度为N的FIR数字
滤波器具有第一类线性相位特性，则h(n)应当关于 n=(N－1)/2点偶对称。 当N确定时，FIR数字滤波器的相位特性是一个确知 的线性函数，即θ(ω)=－ω(N－1)/2。 N为奇数和偶数时, h(n)的对称情况分别为：
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线性相位的概念：
一个单一频率的正弦信号通过一个系统，假设 它通过这个系统的时间需要t，则这个信号的 输出相位落后原来信号wt的相位。
( ) t
在实际系统中，一个输入信号可以分解为多个正 弦信号的叠加，为了使得输出信号不会产生相位 失真，必须要求它所包含的这些正弦信号通过系 统的时间是一样的。
2h(n) cos[(n )]
n0
M 1
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第
N 1 M 2
M 1 n0
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H g ( ) h( )
2h(n) cos[(n )]
因为 cos［ω(n-τ)］关于ω=0, π, 2π三点偶对称 所以 Hg(ω)关于ω=0, π, 2π三点偶对称。
M
H g ( )
2h(n) cos[ (n )]
n 0
M
式中： ( N 1) / 2 N / 2 1/ 2 因为Ｎ是偶数
所以当 时：
N N cos[ (n )] cos n sin n 0 2 2
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因此每一个正弦信号的相位分别落后，w1*t， w2*t，w3*t。因此，落后的相位正比于频率w。 从系统的频率响应来看，就是要求它的相频特 性是一条直线。
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任何物理可实现系统都会存在延迟，所 以通过滤波器前后，同频信号存在相位 差是正常的。线性相位保证各个频率具 有相同的延迟，及各频率间的相位相对 关系没变，从而不失真。
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第 16 页
两类线性相位条件
第一类线性相位
h(n) h( N 1 n)
第二类线性相位
h(n) h( N 1 n)
1 2 N 1

H g ( ) h(n) cos[(n N21 ) ]
n 0 N 1
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7.1 FIR数字滤波器的设计
青海民族大学物电学院
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教学目的和要求:
掌握线性相位FIR系统的时域及频域特性。 掌握FIR 数字滤波器设计的窗函数法。 教学重点：掌握线性相位FIR滤波器的窗函数设计法。 包括： （1）设计方法； （2）各种窗函数； （3）窗函数法的设计步骤； （4）窗函数计算中的主要问题； （5）线性相位FIR低通滤波器的设计； （6）线性相位FIR高通滤波器的设计； （7）线性相位FIR带通滤波器的设计； 教学难点：ＦＩＲ滤波器的特点；ＦＩＲ滤波器的设计。