2-弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式

2.2 平面问题的常应变单元
说明： 1) 单元确定后，单元结点坐标确定 →对于三结点三角形单位，ai, bi, ci, aj, bj, cj, am, bm, cm为 常数 2)
ai x j ym − xm y j = = a j xm yi − xi ym = am xi y j − x j yi
第2章 弹性力学问题有限单元法的一般 原理和表达格式
本章重点和应掌握的内容 (3) 有限元方程求解前引入位移（强制）边界条件的必 要性和方法。 (4) 有限元方法作为一种数值方法的收敛准则。 (5) 有限元法求解弹性力学问题的一般原理和基本步骤 。
第2章 弹性力学问题有限单元法的一般 原理和表达格式
1 yj bi = − 1 ym
1 β = 1 xj 3 D 1 xm 1 xi
1 yi bj = − 1 ym
ui
1 yi bm = − 1 yj
1 u = ci ui + c j u j + cmum ) ( j 2A um
1 xj ci = 1 xm
1 xi cj = − 1 xm
1 xi cm = − 1 xj
单元内的位移场用单元结点位移表示（一般采用多项
式形式）
形函数、多项式的阶次……
2.1 有限元分析的主要步骤（位移元）
3. 用单元结点位移表示单元内的应变场、应力场
几何关系 位移场 位 移 模 式 结点位移 应变场
本构关系 应力场
2.1 有限元分析的主要步骤（位移元）
4. 利用变分原理（弱解形式）（加权余量法）形成有限 元求解方程组 集成 单元方程 首先建立单元方程 形成线性代数方程组 问题的本质是采用一个弱解形式 总体方程
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 有限元分析的主要步骤 平面问题的常应变单元 总体方程的集成 引入已知位移边界条件 有限元解的收敛性
2.6 广义坐标有限元法的一般格式
2.1 有限元分析的主要步骤（位移元）
位移单元（位移法） 以结点位移为基本未知量 力法 以结点力作为基本未知量 混合法 以一部分基本未知量为结点位移，另一部分基本未知量 为结点力
= u
Ni
Nj
Nm
2.2 平面问题的常应变单元
2. 位移插值函数
3 u = N i ui + N j u j + N mum =∑ N i ui i =1 3 v =N v + N v + ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ v = N v ∑ i i j j m m i i i =1
N = i
1 ( ai + bi x + ci y ) 2A
2.2 平面问题的常应变单元
3. 单元应变矩阵和应力矩阵 （用结点位移表示） (2) 应力矩阵（物理方程）
σ x e e = σ σ y= D = ε DBa = Sa τ xy 应力矩阵
建立了单元内应力和结点位移的关系
2.2 平面问题的常应变单元
3. 单元应变矩阵和应力矩阵 （用结点位移表示） (2) 应力矩阵（物理方程）
结点位移：位移元的基本未知量
2.1 有限元分析的主要步骤（位移元）
1. 连续介质离散化 (2) 单元 形状规则、简单(便于分析、试函数可以重复使用) 尺寸一定、（有限）大小决定了计算结果的精度。 界面为相邻单元共有，界面上共有结点。
2.1 有限元分析的主要步骤（位移元）
1. 连续介质离散化 (3) 结点 结点坐标 结点两种编号 整体编号 i, j, m
2.1 有限元分析的主要步骤（位移元）
5. 引入位移强制边界条件（消除系数矩阵的奇异性） 6. 解线性代数方程组→结点位移解 7. 计算应力、应变
由结点位移计算单元的应力、应变
8. 其它要求（进行其他工程上的要求计算）
2.2 平面问题的常应变单元
常应变单元？ 重点介绍三结点三角形单元
三角形单元 单元结点编号 ：1, 2, 3 整体结点编号：1, 2, 3, …, i, j, …, m, n, … 编号顺序：逆时针方向，对应于右手坐标系，次序不能 任意
∂N i ∂x 0 0 = Ni ∂N i ∂y
0 ci bi
0 ∂N i ∂y ∂N i ∂x
(i , j , m )
bi 1 Bi = 0 2A ci
2.2 平面问题的常应变单元
三角形面积 系数矩阵
1 ⋅ β1 + xi β 2 + yi β 3 ui = 1 ⋅ β1 + x j β 2 + y j β 3 uj = u = m 1 ⋅ β1 + xm β 2 + ym β 3 ui 1 β = uj 1 D um xi xj xm
1 xi yi = D 1 = xj yj 2A 1 xm ym
β1 + β 2 x + β 3 y u = v =β 4 + β 5 x + β 6 y
关于坐标x, y的多项式 β1~β6-待定系数，——广义坐标
2.2 平面问题的常应变单元
1. 单元的位移模式和广义坐标——3结点三角形单元 (1) 位移模式 矩阵形式
u = φβ
β1 β 2 u 1 x y 0 0 0 β 3 = v 0 0 0 1 x y β 4 β5 β6
3. 单元应变矩阵和应力矩阵 （用结点位移表示） (1) 单元内应变 （几何方程）
bi 1 B= 0 2A ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0 cm bm
→三结点三角形单元的应变矩阵是常数阵 单元位移确定后，单元内各点应变相等 ——常应变单元
的行列式
yi = y j ym
1 ai ui + a j u j + amum ) ( 2A
xj ai = xm
yj ym
xm aj = xi
ym yi
xi am = xj
yi yj
2.2 平面问题的常应变单元
1 ui 1 1 uj β = 2 D 1 um yi y = j ym 1 bi ui + b j u j + bmum ) ( 2A
有限单元法－Finite Element Method
东北大学土木工程系 主讲教师：李 鑫 手机：13609813860 E-mail：lixinedu@
第2章 弹性力学问题有限单元法的一般 原理和表达格式
本章重点和应掌握的内容 (1) 构造广义坐标有限元并建立其位移插值函数，掌握 步骤，以及插值函数的基本性质。 (2) 基于弹性力学最小位能原理，建立有限元求解方程 的基本步骤，其中包括单元刚度矩阵和荷载向量的形成 ，以及它们各自的特性。
应变矩阵
2.2 平面问题的常应变单元
3. 单元应变矩阵和应力矩阵 （用结点位移表示） (1) 单元内应变 （几何方程）
∂ ∂x = Bi LN = i 0 ∂ ∂y
其中
∂N i bi ∂N i ci , = = ∂x 2 A ∂y 2 A
0 ∂ Ni 0 ∂y ∂ ∂x
2.2 平面问题的常应变单元
3. 单元应变矩阵和应力矩阵 （用结点位移表示） (1) 单元内应变 （几何方程）
εx e = = = ε ε y= Lu LNa L Ni γ xy
e e = B B B a Ba j m i
Nj
e Nm a
单元内编号 1, 2, 3 结点位移为位移元的基本未知量
2.1 有限元分析的主要步骤（位移元）
1. 连续介质离散化 (4) 网格 合理的疏密，变化剧烈的地方可密，变化不剧烈的 地方可疏。 合理的过渡（协调） 保证界面连续 单元形态的合理性
2.1 有限元分析的主要步骤（位移元）
2. 选择单元的近似位移模式
2.2 平面问题的常应变单元
1. 单元的位移模式和广义坐标——3结点三角形单元 (2) 求解广义坐标 上式代入结点坐标
β1 + β 2 xi + β 3 yi ui = β1 + β 2 x j + β 3 y j uj = u = m β1 + β 2 xm + β 3 ym
β1 , β 2 , β 3
插值函数矩阵或形函数矩阵
2.2 平面问题的常应变单元
2. 位移插值函数 性质 1)
1 i = j N i ( x j , y j= ) δ= ij 0 i ≠ j
保证近似函数在结点取结点值 2)
Ni + N j + N m = 1
否则不能反映单元的刚体位移(ui=uj=um =u0) 3) 对于三结点三角形单元，插值函数为线性的 单元内部及单元边界上位移也是线性的，可由结点的位 移惟一确定。
β 4 + β 5 xi + β 6 yi vi = β 4 + β5 x j + β6 y j vj = v = m β 4 + β 5 xm + β 6 y m
β 4 , β5 , β6
2.2 平面问题的常应变单元
1. 单元的位移模式和广义坐标——3结点三角形单元 (2) 求解广义坐标
2.2 平面问题的常应变单元
2. 位移插值函数 广义坐标β(可用节点位移表示)，将其代入位移模式 →单元结点位移表示的单元位移场
β1 + β 2 x + β 3 y u = v =β 4 + β 5 x + β 6 y
= u
代入用节点位移表示的广义坐标β
1 1 1 a u + a u + a u + b u + b u + b u x + ci ui + c j u j + cmum ) y ( ( ( i i j j m m) i i j j m m) 2A 2A 2A 1 1 1 a + b x + c y u + a + b x + c y u + ( i i i ) i ( am + bm x + cm y ) um ( j j j ) j 2A 2A 2A
单元应变矩阵和应力矩阵用结点位移表示1单元内应变几何方程其中000000iiiiiiiinxxnnijmnyynnyxyx??????????????????????????????????????????????????????????bln22iiiinbncxaya????0102iiiiibcacb??????????b22平面问题的常应变单元3
(i, j, m ) ——插值函数或形函数
仅在单元内（单元内的试函数） 待定系数，物理意义明确 与Ritz法有区别
2.2 平面问题的常应变单元
2. 位移插值函数
ui v 单元内位移场，表示为结点位移的矩阵形式 i u N i 0 N j 0 N m 0 u j u = = v 0 Ni 0 N j 0 N m v j um vm ai e N N N a Na = j m j i a m
b = y j − ym i = y m − yi b j b= y − y i j m
c = xm − x j i xi − xm c= j c= x − x j i m
2.2 平面问题的常应变单元
说明： 3) 同理，利用3个结点y方向的位移→β4, β5, β6
1 ai vi + a j v j + am vm ) = ( 4 β 2A 1 bi vi + b j v j + bm vm ) = ( β 5 2A 1 β ci vi + c j v j + cm vm ) = ( 6 2A
2.1 有限元分析的主要步骤（位移元）
1. 连续介质离散化 (1) 切割 二维——线 （直线、折线、曲线） 三维——面 （平面、折面、曲面）
2.1 有限元分析的主要步骤（位移元）
边界 切割线（面） 有限元网格
连续域
离散域
2.1 有限元分析的主要步骤（位移元）
每一小块：单元(element)
结点(node)：场变量在该点的值为未知量
2.2 平面问题的常应变单元
结点位移
ui ai = vi
单元结点位移
(i , j , m )
ai e = a = aj a m
{u
i
vi
uj
vj
um
vm }
T
2.2 平面问题的常应变单元
1. 单元的位移模式和广义坐标——3结点三角形单元 (1) 位移模式 一次多项式