2018年最新 江苏省海门市2018届高三第一次诊断性考试
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江苏省海门市2018届高三第一次诊断性考试试卷
数 学(理)
注意事项:
1.答选择题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目、试卷类型等写在答题纸上,并贴好条形码。
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;不能答在试卷上。
3.主观题请在规定区域答题。
请务必保持答题纸的整洁,不要折叠,考试结束,将答题纸交回。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只.有.一项..是符合题目要求的. (1)“3a >”是“4a >”的( )
(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件
(C )充要条件 (D )既不充分又不必要条件
(2) 定义集合A 与B 的运算{
},A B x x A x B x A B *=∈∈∉ 或且,则()A B B **等
于( )
(A )A B (B )A B (C )A (D )B
(3)与定积分320
cos x dx π⎰
相等的是( )
(A )
320
cos xdx π⎰
(B )
320
cos xdx π⎰
(C )
322
2
cos cos xdx xdx πππ+⎰
⎰ (D ) 322
2
cos cos xdx xdx π
ππ-⎰⎰
(4)已知35a
b
A ==,则
12
2a b
+=,则A 等于 ( ) (A )15 (B
(C
) (D )75
(5)若函数3
43
y x bx =-
+有三个单调区间,则b 的取值范围是 (
)
(A )0b > (B )0b < (C )0b ≤ (D )0b ≥ (6)若0x 是方程ln 4x x +=的解,则0x 属于区间 ( ) (A )(0,1) (B )(1,2) (C )(2,3)
(D )(3,4)
(7)平面上的点(4,2)在矩阵10125⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
的作用下( )
(A )先横坐标不变,纵坐标伸长到原来的5倍,再沿着y 轴方向向上平移8个单位 (B )先横坐标不变,纵坐标伸长到原来的
1
5
倍,再沿着y 轴方向向上平移8个单位 (C )先横坐标不变,纵坐标伸长到原来的5倍,再沿着y 轴方向向下平移8个单位 (D )先横坐标不变,纵坐标伸长到原来的
1
5
倍,再沿着y 轴方向向下平移8个单位 (8)甲用1000元买入一种股票,后将其转卖给乙,获利10%,而后乙又将这些股票卖给
甲,乙损失了10%,最后甲按乙卖给甲的价格九折将股票售出,甲在上述交易中( ) (A )盈亏平衡 (B )盈利1元 (C )盈利9元 (D )亏本109元
(9)设函数d cx bx ax x f y +++==23)(的图像与y 轴的交点为P 点,曲线在点P 处的切
线方程为0412=--y x .若函数在2=x 处取得极值0,则函数的单调减区间为( ) (A )(1,2) (B )(,1)-∞ (C )(2,)+∞ (D )(2,1)-- (10)定义在(,)-∞+∞上的偶函数()f x ,满足(1)()f x f x -=-,且()f x 在[]0,1上是减
函数.下面五个关于()f x 的命题中,命题正确..
的个数有( ) ①()f x 是周期函数;②()f x 的图像关于1x =对称;③()f x 在[]1,0-上是减函数;④()f x 在[]1,2上为增函数;⑤(2)(0)f f =.
(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个
二、填空题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.把答案填写在答题卡相应位置上......... (11)命题“2
,10∃∈+<x R x ”的否定是 ▲ .
(12)矩阵1213-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的特征值是 ▲ . (13)函数2
45
()a
a f x x --=(a 为常数)是偶函数,且在(0,)+∞上是减函数,则整数a 的
值是▲ .
(14)已知集合{}
220A x x x a =-+≤,{}
2
320B x x x =-+≤,若B A ⊂,则实数a 的
取值范围是 ▲ .
(15)给出下列命题:①若函数3()f x x =,则(0)0f '=;②若函数2
()21f x x =+,图像
上(1,3)P 及邻近点(1,3)Q x y +∆+∆, 则
42y
x x
∆=+∆∆;③加速度是动点位移函数
()S t 对时间t 的导数;④2lg 2
x x y x =+,则222221
2x x x x x y x ⋅-⋅'=
-.其中正确的命题为 ▲ .(写上序号) (16)对,a b R ∈,记{}()min ,()
a a
b a b b a b <⎧=⎨
≥⎩,函数1()min ,12()2f x x x x R ⎧⎫
=--+∈⎨⎬⎩⎭
的最大值为 ▲ .
(17)直线l :(0)y mx m =>与抛物线22y x ax =+(其中0a <且a 为常数)所围成的图
形的面积为3
92
a -
,则m = ▲ . (18)三个同学对问题“关于x 的不等式232
164x x x ax ++-≥在[]1,8上恒成立,求实
数a 的取值范围”提出了各自的解题思路. 甲说:“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值”;乙说:“把不等式变形为左边含变量x 的函数,右边仅含常数,求函数的最值”;丙说:“把不等式两边看成关于
x 的函数,作出函数图像”
.参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即a 的取值范围是 ▲ .
三、解答题:本大题共5小题,共70分.请在答题卡指定区域.......
内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(19)(本小题满分12分)设命题:p 函数3
()()2
x f x a =-是R 上的减函数,命题:q 函数
2()43f x x x =-+ 在[]0,a 的值域为[]1,3-.若“p 且q ”为假命题,“p 或q ”为真命题,求a 的取值范围.
(20)(本小题满分12分)
已知函数()ln f x x x =+.(Ⅰ)求函数()f x 在区间2
1,e ⎡⎤⎣⎦上的最值;
(Ⅱ)对x D ∈,如果函数()F x 的图像在函数()G x 的图像的下方,则称函数()F x 在D 上被函数()G x 覆盖.求证:函数()f x 在区间()1,+∞上被函数2()g x x =覆盖.
(21)(本小题满分14分)烟囱向其周围地区散落烟尘而造成环境污染.已知A 、B 两座烟囱相
距3km ,其中A 烟囱喷出的烟尘量是B 烟囱的8倍,经环境检测表明:落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比,而与烟囱喷出的烟尘量成正比.(比例系数为k ).若
C 是连接两烟囱的线段AB 上的点(不包括端点),设AC xkm =,C 点的烟尘浓度记为
y .(Ⅰ)写出y 关于x 的函数表达式;
(Ⅱ)是否存在这样的点C ,使该点的烟尘浓度最低?若存在,求出AC 的距离;若不存在,说明理由.
(22)(本小题满分16分)设2
224()log log 1x
f x a x b =++,(,a b 为常数).当0x >时,
()()F x f x =,且()F x 为R 上的奇函数.
(Ⅰ)若1
()02
f =,且()f x 的最小值为0,求()F x 的表达式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,2
()1
()log x
f x k
g x +-=
在[]2,4上是单调函数,求k 的取值范围. (23)(本小题满分16分) 已知函数2()(,,0)f x ax bx c a b c R a =++∈≠且. (Ⅰ)当1x =时有最大值1,若[,](0)x m n m n ∈<<时,函数()f x 的值域为
11[,]n m .证明:()()f m n
f n m
=; (Ⅱ)若4,2b c ==-时,对于给定正实数a ,有一个最小负数()a ϕ,使得[]
(),0x a ϕ∈时,()4f x ≤恒成立,问a 为何值时,()a ϕ最小,并求出这个最小值.
江苏省海门市2018届高三第一次诊断性考试试卷
数学(理)参考答案
选择题 BCDCA CBBAD
填空题11.2,10x R x ∀∈+≥ 12.
(理)1(文)2π 13.1或3 14.0a ≤ 15.①② 16.1 17.(理)a -(文)2- 18.(],8-∞ 19.解:由3012a <-
<得35
22
a <<………………………………………………3分 2()(2)1f x x =-- ,在[0,]a 上的值域为[1,3]-得24a ≤≤ ……………7分
p 且q 为假,p 或q 为真 得p 、q 中一真一假. 若p 真q 假得, 3
22
a << ……………………………9分
若p 假q 真得,
5
42
a ≤≤. ………………………………………………11分 综上,3522a <<或3
42
a ≤≤. ………………………………………………12分
20.(理科)解:(1)1
()10f x x
'=+>在2[1,]e 恒成立.
∴()f x 在2[1,]e 为增函数. ………………………3分 ∴min ()(1)2f x f ==, 22max ()()2f x f e e ==+ ……………………………6分
(2)2()()ln g x f x x x x -=--
1
(()())210g x f x x x
'-=--
>在(1,)+∞恒成立. ()()g x f x -在(1,)+∞为增函数. ……………………………9分
∴()()(1)(1)0g x f x g f ->-= 得证. ………………………………………12分
(文科)
(1)()1cos 2sin(2)6
f x x x a π
ωω=++-
+ ……………………………………1分
sin(2)16
x a π
ω=+++ ………………………………………………4分
由条件得26
6
2π
π
π
ω⨯
+
=
,得1ω=.……………………………………………6分
(2) ()sin(2)16
f x x a π
=+
++ ,
6
3
x π
π
≤≤
∴
52466
x π
π
π
≤+
≤
………………………………………………8分
∴当5266x ππ+=
时,min 1
()12
f x a =++=
解之得3
2
a =. ………………………………………………12分
21.解:(1)设B 处烟尘量为1,则A 处烟尘量为8,
∴C 在A 处的烟尘浓度为28k
x
…………………………………2分
C 在B 处的烟尘浓度为
2
(3)k
x -.其中03x <<. ……………………………………4分
从而C 处总的烟尘浓度为228(3)
k k y x x =
+-.(03)x << ………………………6分 (2)由33162(3)k k y x x '=-+-233
18(2)(612)
0(3)
k x x x x x --+==-,解得2x =.………10分
故当02x <<时,0y '=.当23x <<时0y '>.
∴2x =时,y 取得极小值,且是最小值. …………………………………………13分
答:在连结西烟囱的线段AB 上,距烟囱A 处2km 处的烟尘浓度最低. ……………14分 22.(1)解:222()log log 1f x a x b x =++
由1()02
f =得10a b -+=, ………………………………………………1分
∴222()log (1)log 1f x a x a x =+++
若0a =则2()log 1f x x =+无最小值.∴0a ≠. ………………………………………2分
欲使()f x 取最小值为0,只能使204(1)04a a a a >⎧⎪
⎨-+=⎪
⎩
,昨1a =,2b =.
∴222()log 2log 1f x x x =++ ………………………………………………4分
得0x <则0x ->,∴222()()log ()2log ()1F x f x x x =-=-+-+
又()()F x F x -=-,∴222()log ()2log ()1F x x x =----- ………………………7分 又(0)0F = ………………………………………………8分
∴222222log 2log 1(0)
()0
(0)log ()2log ()1(0)x x x F x x x x x ⎧++>⎪⎪
-==⎨⎪-----<⎪⎩
………………………………9分 (2)2222log 2log 11
()log x x k g x x +++-=22
log 2log k x x =++.[2,4]x ∈.
得2log x t =.则2k
y t t
=+
+,[1,2]t ∈.………………………………………………12分 ∴当0k ≤,
1
2≥时,y 为单调函数.
综上,1k ≤或4k ≥. ……………………………………………16分 23.(1)证明:由条件得0a <,
1
1m
≤,即1m ≥ ……………………………………2分 ∴[,][1,)m n ⊂+∞.∴1()1()f m m
f n n ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
. …………………………………5分
∴
()()f m n
f n m
=. ………………………………………………6分 (2)解: 2
24()()2f x a x a
a =+--,显然(0)2f =-,对称轴2
0x a
=-<.……………8分 ①当224a --<-即02a <<时,2
()(,0)a a
ϕ∈-且(())4f a ϕ=-.
令,解得x
=
.取()a ϕ==
. 02a <<,∴()1a ϕ>- ……………………………………………12分
②当424a --
≥-,即2a ≥时,2
()a a
ϕ<-.且(())4f a ϕ=.
令2
424ax x +-=,解得x
=
取()a ϕ== 2a ≥,()3a ϕ∴≥-.当且仅当2a =时,取等号.
综上:当2a =时,()a ϕ取最小值3-.………………………………………………16分。