2017-2018学年度甘肃省.天水市.第一中学.下学期高三第二次模拟 考试 数学(理科)试题(解析版)

由
，化为 sinBcosA=sinA﹣sinAcosB，
∴sin（A+B）=sinA， ∴sinC=sinA，A，C∈（0，π）． ∴C=A，又 b=c， ∴△ABC 是等边三角形， 设该三角形的边长为 a，则：a2=12+22﹣2×2×cosθ．
则 SOACB= ×1×2sinθ+ a2
=sinθ+ （12+22﹣2×2cosθ）
故选：D． 5．C 【解析】 由题意知：
或
故答案选 6．D 【解析】
∵向量 满足
，
∴
=3，解得 =﹣2．
则
=
=
4．
故选：D． 7．A 【解析】根据几何体的三视图如图所示可知,该几何体为一个长方体挖去一个顶点在长方体的下 底面,底面为正方形且与长方体的上底面相同的四棱锥,体积为长方体的体积减去四棱锥的体积
大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.”假设墙厚16 尺，现 用程序框图描述该问题，则输出 n
考场号
不
订
准考证号
装
只
卷
姓名
此
A．
B．
C．
D．
5．已知数列 是公比为 的等比数列，且
成等差数列，则公比 的值为
A．
B． -2 C． 1 或
D． -1 或
A． 2 B． 4 C． 6 D． 8
高三第二次模拟 考试 数学（理科）试题
数学 答 案
参考答案 1．C 【解析】 由题意可得：
∴
∴
故选：C
点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解，在进行集合的
运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用 Venn 图表示；
集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.
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2
并判断能否有 90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关； (2)在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取 6 名，再从这 6 名“体育达人”中选取 2 名作冬奥会 知识讲座.记其中女职工的人数为 ，求的 分布列与数学期望. 附表及公式：
（1）求不等式 （2）若不等式
的解集； 对于
上任意一点， 是线段 上的点，
A．
B．
C．
D． 1
二、填空题
y 2x 2 0, 13．设实数 x ， y 满足{ x y 2 0, 则 x y 2 的取值范围是__________.
x3 x 2 0,
14． 1 x1 x6 的展开式中， x3 的系数是_____________.（用数字作答）
10．函数
y

x 1 的图象大致为 ex
6．设向量 满足
,则
A． 6 B．
C． 10 D．
A．
B．
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1
班级
C．
D．
11．在 中， 分别为内角
所对的边，且满足
，若点 是
外
一点，
,则平面四边形
面积的最大值是
A．
B．
C． 3 D．
12．设 为坐标原点， 是以 为焦点的抛物线
且
,则直线 的斜率的最大值为
5
取到 2，6 点时取到最大值 2
故取值范围是

4 5
,
2
点睛：本题考查了线性规划求范围问题，先画出可行域，将问题进行化简，转化为求两点连线
的斜率问题，结合图形就可以求得范围，本题重点是转化为几何意义
14． 5
【解析】由题意可知， 1 x6 展开式的通项为
Tr1 C6r 16r x r 1 r C6r xr 则 1 x1 x6 的展开式中，含 x3 的项为
2．C
【解析】Q
1 ai 1 i

1 ai1 i 1 i1 i

1
a
1
2
ai
是纯虚数，
1a 0
{
，计算得出 a 1
1 a 0
故选 C
3．A
【解析】 x 2 1 2x 0 ， x 2 1 2x
x20 则{ 1 2x 0
封 座位号
密
2017-2018 学年度甘肃省天水市第一中学下学期
高三第二次模拟 考试 数学（理科）试题
数学
注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
=2sin（θ﹣ ）+ ，
当 θ= 时，SOACB 取得最大值
．
故选：B． 点睛：四边形的面积往往转化为两个三角形面积之和，从而所求问题转化为三角函数的有界性 问题，结合条件易得结果. 12．C 【解析】
试题分析：设
，由题意
，显然
时不符合题意，故
，则
，当且仅当
，可得： 时取等号，故选 C．
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2
恒成立，求实数 的取值范围.
.
20．在平面直角坐标系 xOy 中，点 F1 3, 0 ，圆 F2 : x2 y2 2 3x 13 0 ，点 Q 是圆上
一动点，线段 F1Q 的中垂线与线段 F2Q 交于点 P . （1）求动点 P 的轨迹 E 的方程；
（2）若直线 l 与曲线 E 相交于 A, B 两点，且存在点 D 4, 0（其中 A, B, D 不共线），使得 ADB
x 2 1 2x
解得 1 x 1
32Leabharlann x 1 0 ，解集为 1 x 1 x 1
故 p 是 q 成立的充分不必要条件
故选 A
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4．D 【解析】
∵已知 α 是锐角，若
，∴cos（α﹣ ）=
=，
则 cos2α=sin（ ﹣2α）=﹣sin（2α﹣ ）=﹣2sin（α﹣ ）cos（α﹣ ）=﹣2× × ﹣ ，
的中心为
为
圆 上的点，
分别以
为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，
分别以
为折痕折起
，使得
重合，得到一个四棱锥，
当该四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍时，该四棱锥的外接球的体积为__________．
三、解答题
17．已知在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且有
.
（1）求角 的大小；
（2）当 时，求 的最大值.
一、单选题 1．已知集合
，则
A．
B．
C．
D．
2．设 i 为虚数单位， a R ，若 1 ai 是纯虚数，则 a 1 i
A． 2 B． 2 C． 1 D． 1 3．已知条件 p ： x 2 1 2x 0 ，条件 q ： x 1 0 ，则 p 是 q 成立的
x 1
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
8．C 【解析】
∵随机变量 X 服从正态分布 N（2，σ2）， μ=2，得对称轴是 x=2． P（ξ＜4）=0.8 ∴P（ξ≥4）=P（ξ≤0）=0.2， ∴P（0＜ξ＜4）=0.6 ∴P（0＜ξ＜2）=0.3． 故选：C． 点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法
①熟记 P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1. 9．D
18．四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,侧面 PAD 底面 ABCD , BCD 60o , PA PD 2 , E 是 BC 中点,点 Q 在侧棱 PC 上.
（Ⅰ）求证: AD PB ; （Ⅱ）若 Q 是 PC 中点,求二面角 E DQ C 的余弦值; （Ⅲ）是否存在 Q ,使 PA / / 平面 DEQ ?若存在,求出 PQ 的值;若不存在,说明理由.
，
，外接球的体积 V=
故答案为：
【解析】 S 0, a 1, n 1
（1） S 2 16, a 1 , n 2 ； 2
（2） S 4 1 16, a 1 , n 4 ；
2
4
（3） S 8 3 16, a 1 , n 8 ；
4
8
（4） S 16 7 16 ，输出 8. 8
在极坐标系中，曲线 的极坐标方程为
,以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为
极轴，建立极坐标系，直线 的参数方程为
（t 为参数).
（1）写出曲线 的参数方程和直线 的普通方程；
（2）已知点 是曲线 上一点，，求点 到直线 的最小距离.
23．已知函数
.
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3
2017-2018 学年度甘肃省天水市第一中学下学期
4 5
,
2
16． 【解析】
连接 OE 交 AB 于点 I，设 E，F，G，H 重合于点 P，正方形的边长为 x（x ），则 OI= ，
IE= ，因为该四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍，所以
,解得 x=4，
【解析】
如图，先画出可行域，化简 x y 2 1 y 1
x3
x3
其几何意义表示可行域内的点与 3，1 两点连线的斜率，当取到 2，0 点时取到最小值 4 ，当
考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式． 【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式
的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件
，利用向量的运算
可知
，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则
易出问题．
13．

15．甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北 京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了.如果这三位同学 中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是_____________.
16．如图，图形纸片的圆心为 ，半径为 ，该纸片上的正方形
C． 充要条件
D． 既不充分也不必要条件
4．已知 是锐角，若
,则
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A． 64 B． 32 C． 96 D． 48
8．已知随机变量 服从正态分布
,且
A． 0.6 B． 0.4 C． 0.3 D． 0.2 9．《九章算术》上有这样一道题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺， 大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，
13 C63x3 xn 12 C62x2 20x3 15x3 5x3 ，所以 x3 的系数是 5
15．乙 【解析】(1)假设甲说的是假话，乙、丙说的是真话，则甲所说与乙相矛盾 （2）若乙说的是假话，甲、丙说的是真话，则甲没申请，丙没申请故申请人为乙
设该四棱锥的外接球的球心为 Q，半径为 R，则 OC= ，OP=
被 x 轴平分，证明：直线 l 过定点.
21．已知函数 f x ex 1 x2 ax .
2
（1）当 a 1时，试判断函数 f x 的单调性；
（2）若 a 1 e ，求证：函数 f x 在1, 上的最小值小于 1 .
2
22．选修 4-4：坐标系与参数方程
故选 D。
10．C
【解析】因为 y
x ex
1
，所以
y
'


x ex
，令 y ' 0, x 0 ，令 y '
0, x
0 ，令 y ' 0, x 0 ，
所以在 , 0 为增函数，在 0, 为减函数，且 x 0 是函数的极大值点，结合 4 个函数的图象，
选 C. 11．B 【解析】
4 4 6 1 4 4 6 64 ,故正确答案为 A. 3
点睛: 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐， 宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的
1
长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思 考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几 何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
PC
19．第 23 届冬季奥运会于 2018 年 2 月 9 日至 2 月 25 日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放 寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调 查，得到如下频数分布表：
(1)若讲每天收看比赛转播时间不低于 3 小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达 人”，请根据频数分布表补全 列联表：